Subgroups — #105261

Order 512.

708 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 333 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20473	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₈×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1451	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₄×H(3,ℤ/4)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#7860	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#7854	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#7854	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#1770	—	2	2	no	—
16	C₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
17	#1752	—	2	2	no	—
18	C₈×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
19	#1744	C₄	1	2	yes	complemented
20	#1744	C₄	1	2	yes	complemented
21	C₂×H(3,ℤ/4)	C₄	1	4	yes	—
22	C₄×#97	C₄	1	2	yes	complemented
23	C₄²×C₈	C₄	1	2	yes	complemented
24	#1451	—	2	2	no	—
25	#1451	—	2	2	no	—
26	C₂×#322	C₄	1	2	yes	complemented
27	C₂×#322	C₄	1	2	yes	complemented
28	#1275	C₄	1	4	yes	complemented
29	#1274	C₄	1	4	yes	complemented
30	#1274	C₄	1	4	yes	complemented
31	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
32	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
33	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
34	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
35	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	#431	—	2	1	no	—
37	#431	—	2	1	no	—
38	#431	—	2	1	no	—
39	#431	—	2	1	no	—
40	#431	—	2	1	no	—
41	#431	—	2	1	no	—
42	#431	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	#431	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	#431	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	#431	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	#431	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	#431	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
49	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
50	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
51	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
52	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
53	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
54	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
55	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
56	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
57	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
58	C₂×#97	—	2	4	no	—
59	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
61	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₄×C₈	Q₈	1	2	yes	—
74	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
75	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
76	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
77	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
78	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
79	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
80	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
81	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
82	#376	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	#376	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	H(3,ℤ/4)	—	2	8	no	—
87	#336	—	2	4	no	—
88	#336	—	2	4	no	—
89	#322	—	2	4	no	—
90	#322	—	2	4	no	—
91	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
94	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
95	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
96	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
97	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
98	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
99	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
100	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
101	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
102	C₂²×C₈	C₄²	1	4	yes	—
103	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
104	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
105	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
106	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
107	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
108	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
109	#117	—	2	4	no	—
110	#117	—	2	4	no	—
111	#117	—	2	4	no	—
112	#117	M₁₆	1	8	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
119	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄²	C₄²	1	4	yes	—
122	C₂×C₄²	C₄²	1	4	yes	—
123	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
135	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
136	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
137	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
138	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
139	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
140	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
143	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
144	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
145	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
146	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
147	#97	—	2	2	no	—
148	#97	—	2	2	no	—
149	#97	—	4	8	no	—
150	C₄×C₈	—	2	2	no	—
151	C₄×C₈	—	2	2	no	—
152	C₄×C₈	—	2	2	no	—
153	C₄×C₈	—	2	2	no	—
154	C₄×C₈	—	2	2	no	—
155	C₄×C₈	—	4	8	no	—
156	C₄×C₈	C₄²	1	4	yes	—
157	C₄×C₈	C₄²	1	4	yes	—
158	C₄×C₈	C₄²	1	4	yes	—
159	C₄×C₈	C₄²	1	1	yes	characteristic
160	C₄×C₈	C₄²	1	1	yes	characteristic
161	C₄×C₈	C₄²	1	1	yes	characteristic
162	C₄×C₈	C₄²	1	1	yes	characteristic
163	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
164	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
165	C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
166	C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
167	C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
168	C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
169	#95	—	2	2	no	—
170	#95	—	2	2	no	—
171	#95	—	2	2	no	—
172	#95	—	2	2	no	—
173	C₂⁴	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
178	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
181	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
185	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
197	C₂²×C₄	#131	1	4	yes	—
198	M₁₆	—	4	4	no	—
199	M₁₆	—	4	4	no	—
200	C₂×C₈	—	2	4	no	—
201	C₂×C₈	—	2	4	no	—
202	C₂×C₈	—	2	4	no	—
203	C₂×C₈	—	2	4	no	—
204	C₂×C₈	—	2	4	no	—
205	C₂×C₈	—	2	4	no	—
206	C₂×C₈	—	2	4	no	—
207	C₂×C₈	—	2	4	no	—
208	C₂×C₈	—	2	4	no	—
209	C₂×C₈	—	4	2	no	—
210	C₂×C₈	—	4	2	no	—
211	C₂×C₈	—	4	2	no	—
212	C₂×C₈	—	4	4	no	—
213	C₂×C₈	—	4	4	no	—
214	C₂×C₈	—	4	4	no	—
215	C₂×C₈	#95	1	2	yes	—
216	C₂×C₈	#95	1	2	yes	—
217	C₂×C₈	#95	1	2	yes	—
218	C₂×C₈	#95	1	2	yes	—
219	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
220	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
221	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
222	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
223	C₄²	—	2	4	no	—
224	C₄²	—	2	4	no	—
225	C₄²	—	2	4	no	—
226	C₄²	—	4	4	no	—
227	C₄²	—	4	4	no	—
228	C₄²	—	4	4	no	—
229	C₄²	—	4	4	no	—
230	C₄²	#97	1	8	yes	complemented
231	C₄²	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
232	C₄²	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
233	C₄²	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
234	C₄²	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
235	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
236	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
237	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
238	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
239	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
240	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
241	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
244	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₄²	C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
246	C₄²	C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
247	C₂³	—	4	1	no	—
248	C₂³	—	4	1	no	—
249	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂³	C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂³	#435	1	4	yes	—
253	C₂×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂×C₄	—	2	8	no	—
260	C₂×C₄	—	4	1	no	—
261	C₂×C₄	—	4	1	no	—
262	C₂×C₄	—	4	1	no	—
263	C₂×C₄	—	4	1	no	—
264	C₂×C₄	—	4	1	no	—
265	C₂×C₄	—	4	1	no	—
266	C₂×C₄	—	4	4	no	—
267	C₂×C₄	—	4	4	no	—
268	C₂×C₄	—	4	4	no	—
269	C₂×C₄	—	4	4	no	—
270	C₂×C₄	—	4	4	no	—
271	C₂×C₄	C₄³	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₄	C₂×#95	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₄	#376	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
277	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	C₂×#97	1	2	yes	—
284	C₂×C₄	C₄×M₁₆	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	C₄×M₁₆	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	#405	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	#405	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	#405	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	#435	1	4	yes	—
290	C₂×C₄	#436	1	4	yes	—
291	C₂×C₄	#446	1	4	yes	—
292	C₈	—	2	2	no	—
293	C₈	—	2	2	no	—
294	C₈	—	2	2	no	—
295	C₈	—	4	4	no	—
296	C₈	—	4	4	no	—
297	C₈	—	4	4	no	—
298	C₈	—	4	4	no	—
299	C₈	H(3,ℤ/4)	1	4	yes	complemented
300	C₂²	—	2	1	no	—
301	C₂²	—	2	1	no	—
302	C₂²	—	2	1	no	—
303	C₂²	—	2	1	no	—
304	C₂²	—	2	1	no	—
305	C₂²	—	2	1	no	—
306	C₂²	—	4	4	no	—
307	C₂²	C₄×#95	1	1	yes	characteristic
308	C₂²	#1752	1	2	yes	—
309	C₂²	#1753	1	2	yes	—
310	C₂²	#1771	1	2	yes	—
311	C₄	—	2	1	no	—
312	C₄	—	2	1	no	—
313	C₄	—	2	1	no	—
314	C₄	—	2	1	no	—
315	C₄	—	2	1	no	—
316	C₄	—	2	1	no	—
317	C₄	—	4	8	no	—
318	C₄	—	8	4	no	—
319	C₄	C₄×#97	1	1	yes	characteristic
320	C₄	#1726	1	1	yes	characteristic
321	C₄	C₂×H(3,ℤ/4)	1	2	yes	—
322	C₄	#1747	1	2	yes	—
323	C₄	#1753	1	2	yes	—
324	C₄	#1770	1	2	yes	—
325	C₄	#1771	1	2	yes	—
326	C₂	—	2	2	no	—
327	C₂	—	2	2	no	—
328	C₂	—	2	2	no	—
329	C₂	#10696	1	1	yes	characteristic
330	C₂	C₄×H(3,ℤ/4)	1	1	yes	characteristic
331	C₂	#10699	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₄²	C₂×C₄²
commutator	C₂×C₄	C₄³
Frattini, cosocle	C₂²×C₄²	C₂³
socle	C₂²	C₄×#95
prime radical	C₂⁴	C₄×D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
19. #1744	C₄	semidirect
20. #1744	C₄	semidirect
22. C₄×#97	C₄	semidirect
23. C₄²×C₈	C₄	semidirect
26. C₂×#322	C₄	semidirect
27. C₂×#322	C₄	semidirect
28. #1275	C₄	semidirect
29. #1274	C₄	semidirect
30. #1274	C₄	semidirect
230. C₄²	#97	semidirect
299. C₈	H(3,ℤ/4)	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20473	2
C₈×#117	2
C₂×#1451	2
C₄×H(3,ℤ/4)	2
#7860	2
#7854	2