Subgroups — #105367

Order 512.

826 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 326 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₈×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1744	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×C₈×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₄×#339	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#7890	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂×#1278	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂×#1276	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₈×C₄⋊C₄	C₄	1	4	yes	complemented
16	C₈×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
17	#1744	—	2	2	no	—
18	#1744	—	2	1	no	—
19	#1744	C₄	1	4	yes	complemented
20	C₂×#339	C₄	1	4	yes	—
21	C₂×#336	—	2	2	no	—
22	C₄²×C₈	—	2	1	no	—
23	C₈×M₁₆	—	2	2	no	—
24	C₈×M₁₆	C₄	1	4	yes	complemented
25	C₂×#322	—	2	1	no	—
26	C₂×C₈²	—	2	1	no	—
27	#1279	C₄	1	4	yes	complemented
28	#1278	C₄	1	4	yes	complemented
29	#1276	C₄	1	4	yes	complemented
30	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
31	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
32	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
33	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
34	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
35	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
36	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	#431	—	2	1	no	—
39	#431	—	2	1	no	—
40	#431	—	2	1	no	—
41	#431	—	2	1	no	—
42	#431	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	#431	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	#431	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	#431	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
49	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
50	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
51	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
52	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×#97	—	2	1	no	—
55	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
56	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
57	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
58	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
59	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
60	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
61	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
62	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄×C₈	Q₈	1	2	yes	—
72	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
75	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
76	#376	—	2	1	no	—
77	C₄³	—	2	1	no	—
78	C₄³	—	2	1	no	—
79	C₄³	—	2	1	no	—
80	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	#339	C₈	1	16	yes	complemented
83	#336	—	2	8	no	—
84	#336	—	2	4	no	—
85	#322	—	2	4	no	—
86	C₈²	—	2	4	no	—
87	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
88	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
91	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
92	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
93	C₂×M₁₆	C₄²	1	4	yes	—
94	C₂×M₁₆	C₂×C₈	1	8	yes	—
95	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
96	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
97	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
98	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
99	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
100	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
101	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
102	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
103	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
104	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
105	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
106	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
107	#117	—	2	4	no	—
108	#117	C₂×C₈	1	8	yes	—
109	C₂×C₄⋊C₄	C₄²	1	4	yes	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
111	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
112	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
113	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
114	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
119	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
121	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
122	C₂×C₄²	C₄²	1	4	yes	—
123	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	8	yes	—
124	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
136	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
137	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
138	C₄⋊C₈	C₄²	1	4	yes	—
139	C₄⋊C₈	C₄²	1	4	yes	—
140	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
143	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
144	#97	—	2	2	no	—
145	#97	—	2	2	no	—
146	C₄×C₈	—	2	2	no	—
147	C₄×C₈	—	2	2	no	—
148	C₄×C₈	—	2	2	no	—
149	C₄×C₈	—	2	2	no	—
150	C₄×C₈	—	2	2	no	—
151	C₄×C₈	—	2	2	no	—
152	C₄×C₈	—	2	2	no	—
153	C₄×C₈	—	2	2	no	—
154	C₄×C₈	—	2	2	no	—
155	C₄×C₈	—	4	8	no	—
156	C₄×C₈	C₄²	1	4	yes	—
157	C₄×C₈	C₄²	1	4	yes	—
158	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
159	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
160	C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
161	C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
162	C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
163	#95	—	2	2	no	—
164	#95	—	2	2	no	—
165	C₂⁴	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
171	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
172	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
173	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
174	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
176	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
181	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
191	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
192	C₂²×C₄	#131	1	4	yes	—
193	M₁₆	—	2	4	no	—
194	M₁₆	—	2	8	no	—
195	M₁₆	C₄×C₈	1	8	yes	complemented
196	C₂×C₈	—	2	4	no	—
197	C₂×C₈	—	2	4	no	—
198	C₂×C₈	—	2	4	no	—
199	C₂×C₈	—	2	8	no	—
200	C₂×C₈	—	2	4	no	—
201	C₂×C₈	—	2	4	no	—
202	C₂×C₈	—	2	4	no	—
203	C₂×C₈	—	4	4	no	—
204	C₂×C₈	—	4	4	no	—
205	C₂×C₈	—	4	4	no	—
206	C₂×C₈	—	4	4	no	—
207	C₂×C₈	—	4	4	no	—
208	C₂×C₈	—	4	4	no	—
209	C₂×C₈	—	4	4	no	—
210	C₂×C₈	#95	1	4	yes	—
211	C₂×C₈	#95	1	4	yes	—
212	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
213	C₄⋊C₄	C₄×C₈	1	8	yes	—
214	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
215	C₄²	—	2	4	no	—
216	C₄²	—	2	8	no	—
217	C₄²	—	2	8	no	—
218	C₄²	—	4	4	no	—
219	C₄²	—	4	4	no	—
220	C₄²	—	4	4	no	—
221	C₄²	—	4	4	no	—
222	C₄²	—	4	4	no	—
223	C₄²	—	4	4	no	—
224	C₄²	C₄×C₈	1	8	yes	complemented
225	C₄²	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
226	C₄²	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
227	C₄²	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
228	C₄²	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
229	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
230	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
231	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
232	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
233	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
234	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
235	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
236	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
237	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
238	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₄²	C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
240	C₄²	C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
241	C₂³	—	2	2	no	—
242	C₂³	—	2	2	no	—
243	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂³	C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂³	C₈×D₄	1	4	yes	—
247	C₂×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂×C₄	—	2	8	no	—
258	C₂×C₄	—	2	8	no	—
259	C₂×C₄	—	4	4	no	—
260	C₂×C₄	—	4	4	no	—
261	C₂×C₄	—	4	16	no	—
262	C₂×C₄	—	4	4	no	—
263	C₂×C₄	—	4	4	no	—
264	C₂×C₄	C₄³	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₄	C₂×#95	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₄	#376	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈	1	2	yes	—
279	C₂×C₄	#405	1	2	yes	—
280	C₂×C₄	#405	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	#405	1	2	yes	—
282	C₂×C₄	#421	1	4	yes	—
283	C₂×C₄	C₈×D₄	1	4	yes	—
284	C₂×C₄	C₈×D₄	1	4	yes	—
285	C₂×C₄	#444	1	4	yes	—
286	C₂×C₄	C₈×Q₈	1	4	yes	—
287	C₈	—	2	4	no	—
288	C₈	—	2	4	no	—
289	C₈	—	2	8	no	—
290	C₈	—	4	4	no	—
291	C₈	—	4	4	no	—
292	C₈	—	4	4	no	—
293	C₂²	—	2	1	no	—
294	C₂²	—	2	1	no	—
295	C₂²	—	2	1	no	—
296	C₂²	—	2	1	no	—
297	C₂²	—	2	8	no	—
298	C₂²	C₄×#95	1	1	yes	characteristic
299	C₂²	C₈×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
300	C₂²	C₈×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
301	C₂²	#1759	1	2	yes	—
302	C₂²	#1765	1	2	yes	—
303	C₂²	C₈×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
304	C₄	—	2	1	no	—
305	C₄	—	2	1	no	—
306	C₄	—	2	1	no	—
307	C₄	—	2	1	no	—
308	C₄	—	4	8	no	—
309	C₄	—	4	8	no	—
310	C₄	C₄²×C₈	1	1	yes	characteristic
311	C₄	#1726	1	1	yes	characteristic
312	C₄	#1733	1	2	yes	—
313	C₄	C₈×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
314	C₄	#1759	1	2	yes	—
315	C₄	#1765	1	2	yes	—
316	C₄	C₈×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
317	C₄	C₈×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
318	C₄	#1773	1	2	yes	—
319	C₂	—	2	2	no	—
320	C₂	—	2	2	no	—
321	C₂	#8191	1	4	yes	—
322	C₂	C₈×#95	1	1	yes	characteristic
323	C₂	#10701	1	1	yes	characteristic
324	C₂	#10707	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄²	C₂×D₄
commutator	C₄	C₄²×C₈
Frattini, cosocle	C₂²×C₄²	C₂³
socle	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂⁴	C₄×D₄
LCS	G ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄² ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
15. C₈×C₄⋊C₄	C₄	semidirect
19. #1744	C₄	semidirect
24. C₈×M₁₆	C₄	semidirect
27. #1279	C₄	semidirect
28. #1278	C₄	semidirect
29. #1276	C₄	semidirect
82. #339	C₈	semidirect
195. M₁₆	C₄×C₈	semidirect
224. C₄²	C₄×C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₈×#117	2
C₂×#1744	2
C₂×C₈×M₁₆	2
C₄×#339	2
#7890	2
C₂×#1278	2
C₂×#1276	2