Subgroups — #105482

Order 512.

1550 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 261 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×C₂²⋊C₈	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1273	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	C₂³×M₁₆	C₄	1	2	yes	—
5	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
6	C₂²×C₂²⋊C₈	C₄	1	4	yes	—
7	C₂×C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
8	C₂×C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
9	C₂²×#97	C₄	1	2	yes	—
10	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
12	C₄×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
13	C₄×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
14	C₂×#336	C₄	1	4	yes	—
15	#1273	—	2	8	no	—
16	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
17	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
19	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
20	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
21	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
22	C₂²×M₁₆	C₈	1	8	yes	complemented
23	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
24	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
25	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
26	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
27	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
29	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
30	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
31	C₂²×C₄²	Q₈	1	2	yes	—
32	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
34	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
35	C₄×M₁₆	—	2	32	no	—
36	C₂×#97	—	2	8	no	—
37	C₂×#97	—	2	4	no	—
38	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
39	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
40	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
41	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
42	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
43	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
44	C₂×C₄×C₈	D₄	1	8	yes	—
45	#336	—	2	8	no	—
46	C₂⁵	C₄²	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
48	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
49	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
50	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
51	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
52	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
53	C₂³×C₄	C₄²	1	2	yes	—
54	C₂³×C₄	C₄²	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
56	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
57	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
58	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
59	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
60	C₂³×C₄	M₁₆	1	4	yes	—
61	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
64	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
65	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
66	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
67	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
68	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
69	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
70	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
71	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
72	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
73	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
74	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
75	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
76	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
77	C₂²×C₈	C₂×C₈	1	8	yes	—
78	C₂²×C₈	M₁₆	1	8	yes	—
79	C₂²×C₈	M₁₆	1	16	yes	complemented
80	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
83	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
84	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
85	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
86	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
87	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
88	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
89	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
90	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
91	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
92	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
93	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
96	C₂²⋊C₈	—	2	32	no	—
97	#97	—	2	16	no	—
98	C₄×C₈	—	2	16	no	—
99	C₄×C₈	—	4	4	no	—
100	C₄×C₈	—	4	8	no	—
101	C₄×C₈	—	4	4	no	—
102	C₂⁴	—	2	2	no	—
103	C₂⁴	—	2	4	no	—
104	C₂⁴	—	2	2	no	—
105	C₂⁴	—	2	4	no	—
106	C₂⁴	#95	1	2	yes	—
107	C₂⁴	C₄×C₈	1	2	yes	—
108	C₂⁴	#97	1	2	yes	—
109	C₂⁴	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
112	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
113	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
114	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
115	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
116	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
117	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
118	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
119	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
120	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
121	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
122	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
123	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
124	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
125	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
126	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
127	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
128	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
129	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
130	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
131	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
132	C₂²×C₄	#95	1	4	yes	—
133	C₂²×C₄	#95	1	2	yes	—
134	C₂²×C₄	C₄×C₈	1	2	yes	—
135	C₂²×C₄	#97	1	2	yes	—
136	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	8	yes	—
137	C₂²×C₄	C₄⋊C₈	1	8	yes	—
138	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
139	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
141	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
143	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
144	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
145	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
146	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
147	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
148	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
149	C₂²×C₄	#131	1	8	yes	—
150	M₁₆	—	2	64	no	—
151	C₂×C₈	—	2	8	no	—
152	C₂×C₈	—	2	8	no	—
153	C₂×C₈	—	2	8	no	—
154	C₂×C₈	—	2	8	no	—
155	C₂×C₈	—	2	8	no	—
156	C₂×C₈	—	2	8	no	—
157	C₂×C₈	—	2	16	no	—
158	C₂×C₈	—	2	32	no	—
159	C₂×C₈	—	4	8	no	—
160	C₂×C₈	—	4	8	no	—
161	C₂×C₈	—	4	16	no	—
162	C₂×C₈	C₂²⋊C₈	1	16	yes	complemented
163	C₄²	—	2	2	no	—
164	C₄²	—	2	4	no	—
165	C₄²	—	2	2	no	—
166	C₄²	—	2	8	no	—
167	C₄²	—	2	8	no	—
168	C₄²	#120	1	4	yes	—
169	C₄²	#121	1	4	yes	—
170	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
171	C₄²	#123	1	4	yes	—
172	C₂³	—	2	2	no	—
173	C₂³	—	2	8	no	—
174	C₂³	—	2	8	no	—
175	C₂³	—	2	4	no	—
176	C₂³	—	2	2	no	—
177	C₂³	—	2	4	no	—
178	C₂³	—	2	4	no	—
179	C₂³	—	2	4	no	—
180	C₂³	—	4	4	no	—
181	C₂³	—	4	4	no	—
182	C₂³	—	4	8	no	—
183	C₂³	#336	1	4	yes	—
184	C₂³	C₂×#95	1	1	yes	characteristic
185	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
186	C₂³	C₂×C₄×C₈	1	1	yes	characteristic
187	C₂³	C₂×#97	1	1	yes	characteristic
188	C₂³	C₄×M₁₆	1	4	yes	—
189	C₂³	C₄×M₁₆	1	2	yes	—
190	C₂³	#405	1	4	yes	—
191	C₂×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂×C₄	—	2	16	no	—
196	C₂×C₄	—	2	8	no	—
197	C₂×C₄	—	2	8	no	—
198	C₂×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂×C₄	—	4	8	no	—
202	C₂×C₄	—	4	16	no	—
203	C₂×C₄	—	4	16	no	—
204	C₂×C₄	#336	1	4	yes	—
205	C₂×C₄	#379	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
207	C₂×C₄	#381	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₄	#385	1	4	yes	—
209	C₂×C₄	#386	1	4	yes	—
210	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
211	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
212	C₂×C₄	#407	1	4	yes	—
213	C₂×C₄	#407	1	2	yes	—
214	C₂×C₄	#407	1	4	yes	—
215	C₂×C₄	#408	1	4	yes	—
216	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	2	yes	—
217	C₂×C₄	#423	1	2	yes	—
218	C₂×C₄	#423	1	4	yes	—
219	C₂×C₄	#424	1	4	yes	—
220	C₂×C₄	#431	1	4	yes	—
221	C₂×C₄	#432	1	4	yes	—
222	C₂×C₄	#435	1	16	yes	—
223	C₂×C₄	#436	1	16	yes	—
224	C₈	—	2	16	no	—
225	C₈	—	4	16	no	—
226	C₂²	—	2	8	no	—
227	C₂²	—	2	4	no	—
228	C₂²	—	4	2	no	—
229	C₂²	—	4	2	no	—
230	C₂²	—	4	8	no	—
231	C₂²	—	4	8	no	—
232	C₂²	—	4	4	no	—
233	C₂²	C₂²⋊#95	1	1	yes	characteristic
234	C₂²	C₈×M₁₆	1	4	yes	—
235	C₂²	#1451	1	4	yes	—
236	C₂²	#1453	1	4	yes	—
237	C₂²	#1455	1	4	yes	—
238	C₂²	C₂×#336	1	1	yes	characteristic
239	C₂²	#1728	1	2	yes	—
240	C₂²	#1728	1	1	yes	characteristic
241	C₂²	#1729	1	2	yes	—
242	C₂²	C₄×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
243	C₂²	#1749	1	2	yes	—
244	C₂²	#1753	1	8	yes	—
245	C₄	—	2	4	no	—
246	C₄	—	4	4	no	—
247	C₄	#1779	1	2	yes	—
248	C₄	#1797	1	4	yes	—
249	C₄	#1817	1	2	yes	—
250	C₄	#1851	1	8	yes	—
251	C₄	#1870	1	8	yes	—
252	C₂	—	4	4	no	—
253	C₂	#7848	1	2	yes	—
254	C₂	#7850	1	1	yes	characteristic
255	C₂	#7852	1	1	yes	characteristic
256	C₂	#8146	1	4	yes	—
257	C₂	#8147	1	4	yes	—
258	C₂	#10712	1	1	yes	characteristic
259	C₂	#10715	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄²	C₂³
commutator	C₂³	C₂×C₄×C₈
socle	C₂⁴	C₂×C₄²
prime radical	C₂⁵	C₄²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1273	C₂	semidirect
22. C₂²×M₁₆	C₈	semidirect
79. C₂²×C₈	M₁₆	semidirect
162. C₂×C₈	C₂²⋊C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×M₁₆	2
C₂×C₄×C₂²⋊C₈	2
C₂×#1273	2