Subgroups — #105508

Order 512.

1558 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 392 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1797	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₄×#380	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1279	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₂³×M₁₆	—	2	1	no	—
6	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂²×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
9	C₂×C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
10	C₂×C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
11	C₂×C₄×M₁₆	C₄	1	4	yes	complemented
12	C₂²×#97	—	2	1	no	—
13	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#380	C₄	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
17	#1797	—	2	2	no	—
18	#1797	C₄	1	4	yes	complemented
19	C₂×#336	—	2	1	no	—
20	C₄⋊#95	C₄	1	2	yes	—
21	#1434	—	2	1	no	—
22	C₂²⋊#95	—	2	1	no	—
23	C₄×#95	—	2	1	no	—
24	#1279	—	2	8	no	—
25	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
26	C₂⁴×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
27	C₂⁴×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
29	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
30	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
31	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
32	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
33	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
34	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
35	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
36	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
37	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
38	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
39	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
45	C₂²×C₄²	Q₈	1	2	yes	—
46	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
48	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
49	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
52	C₂×C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
53	C₄×M₁₆	—	2	16	no	—
54	C₄×M₁₆	—	2	16	no	—
55	C₂×#97	—	2	8	no	—
56	C₂×#97	—	2	4	no	—
57	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
58	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	C₂×C₄×C₈	D₄	1	8	yes	—
61	#380	—	2	8	no	—
62	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
63	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
64	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
65	C₂×#95	—	2	2	no	—
66	C₂×#95	—	2	2	no	—
67	C₂×#95	—	2	2	no	—
68	C₂×#95	—	2	2	no	—
69	#336	—	2	4	no	—
70	C₂⁵	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
72	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
73	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
74	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
75	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
76	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
77	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
78	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
79	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
80	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
81	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
82	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
83	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
84	C₂³×C₄	C₄²	1	2	yes	—
85	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
91	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂×M₁₆	—	2	64	no	—
97	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
98	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
99	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
100	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
101	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
102	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
105	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
106	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
107	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
108	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
109	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
110	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	M₁₆	1	8	yes	complemented
113	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
116	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
121	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
123	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
124	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
125	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
127	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
128	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
129	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
130	C₂×C₄²	C₄²	1	2	yes	—
131	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
132	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
135	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
136	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
139	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
142	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
143	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
144	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
145	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
146	#97	—	2	16	no	—
147	C₄×C₈	—	2	4	no	—
148	C₄×C₈	—	2	8	no	—
149	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	complemented
150	#95	—	2	8	no	—
151	#95	—	4	4	no	—
152	#95	—	4	4	no	—
153	#95	—	4	2	no	—
154	#95	—	4	2	no	—
155	C₂⁴	—	2	2	no	—
156	C₂⁴	—	2	2	no	—
157	C₂⁴	—	2	2	no	—
158	C₂⁴	—	2	2	no	—
159	C₂⁴	—	2	1	no	—
160	C₂⁴	—	2	1	no	—
161	C₂⁴	—	2	2	no	—
162	C₂⁴	#95	1	2	yes	—
163	C₂⁴	#104	1	4	yes	—
164	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²×C₄	#95	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	#95	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	#95	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	#104	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	#131	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	#137	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	#137	1	2	yes	—
231	M₁₆	—	2	64	no	—
232	C₂×C₈	—	2	32	no	—
233	C₂×C₈	—	2	8	no	—
234	C₂×C₈	—	2	8	no	—
235	C₂×C₈	—	2	8	no	—
236	C₂×C₈	—	4	4	no	—
237	C₂×C₈	—	4	4	no	—
238	C₂×C₈	—	4	4	no	—
239	C₂×C₈	—	8	4	no	—
240	C₂×C₈	—	8	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
244	C₄²	—	2	4	no	—
245	C₄²	—	2	2	no	—
246	C₄²	—	2	4	no	—
247	C₄²	—	2	2	no	—
248	C₄²	—	2	4	no	—
249	C₄²	—	2	4	no	—
250	C₄²	—	2	4	no	—
251	C₄²	—	8	4	no	—
252	C₄²	—	8	4	no	—
253	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
254	C₄²	#117	1	2	yes	—
255	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
256	C₄²	#120	1	2	yes	—
257	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
258	C₄²	#123	1	2	yes	—
259	C₂³	—	2	8	no	—
260	C₂³	—	2	2	no	—
261	C₂³	—	2	2	no	—
262	C₂³	—	2	2	no	—
263	C₂³	—	2	2	no	—
264	C₂³	—	2	2	no	—
265	C₂³	—	2	2	no	—
266	C₂³	—	2	8	no	—
267	C₂³	—	2	4	no	—
268	C₂³	—	2	4	no	—
269	C₂³	—	4	4	no	—
270	C₂³	—	4	2	no	—
271	C₂³	—	4	2	no	—
272	C₂³	—	4	2	no	—
273	C₂³	—	4	2	no	—
274	C₂³	—	4	4	no	—
275	C₂³	#339	1	4	yes	—
276	C₂³	C₂×#95	1	1	yes	characteristic
277	C₂³	#386	1	2	yes	—
278	C₂³	#407	1	2	yes	—
279	C₂³	#408	1	2	yes	—
280	C₂³	#417	1	2	yes	—
281	C₂³	#418	1	1	yes	characteristic
282	C₂³	#419	1	1	yes	characteristic
283	C₂³	C₂×#104	1	2	yes	—
284	C₂³	C₂×#104	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	—	2	8	no	—
286	C₂×C₄	—	2	8	no	—
287	C₂×C₄	—	2	16	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	8	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	1	no	—
293	C₂×C₄	—	2	1	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	1	no	—
296	C₂×C₄	—	2	1	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	4	4	no	—
304	C₂×C₄	—	4	2	no	—
305	C₂×C₄	—	4	2	no	—
306	C₂×C₄	—	4	8	no	—
307	C₂×C₄	—	4	8	no	—
308	C₂×C₄	—	4	4	no	—
309	C₂×C₄	—	4	4	no	—
310	C₂×C₄	—	4	8	no	—
311	C₂×C₄	—	4	8	no	—
312	C₂×C₄	—	4	8	no	—
313	C₂×C₄	—	4	8	no	—
314	C₂×C₄	—	8	4	no	—
315	C₂×C₄	—	8	4	no	—
316	C₂×C₄	—	8	4	no	—
317	C₂×C₄	—	8	4	no	—
318	C₂×C₄	#339	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	#379	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	#381	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₄×M₁₆	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	#405	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	#417	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	#418	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	#419	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	#423	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	#424	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#428	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	#428	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	#435	1	8	yes	—
336	C₂×C₄	#436	1	8	yes	—
337	C₂×C₄	#468	1	4	yes	—
338	C₂×C₄	#468	1	4	yes	—
339	C₂×C₄	#469	1	4	yes	—
340	C₂×C₄	#470	1	4	yes	—
341	C₈	—	2	16	no	—
342	C₈	—	8	4	no	—
343	C₂²	—	2	4	no	—
344	C₂²	—	2	4	no	—
345	C₂²	—	2	4	no	—
346	C₂²	—	4	8	no	—
347	C₂²	—	4	8	no	—
348	C₂²	—	4	2	no	—
349	C₂²	—	4	2	no	—
350	C₂²	—	4	2	no	—
351	C₂²	—	4	2	no	—
352	C₂²	C₂²⋊#95	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	#1483	1	4	yes	—
354	C₂²	#1484	1	2	yes	—
355	C₂²	#1485	1	2	yes	—
356	C₂²	#1489	1	4	yes	—
357	C₂²	#1490	1	2	yes	—
358	C₂²	#1491	1	2	yes	—
359	C₂²	#1728	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	#1729	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	C₂×#339	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	C₂×#339	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	#1736	1	1	yes	characteristic
364	C₂²	#1736	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	#1870	1	4	yes	—
366	C₂²	#1894	1	2	yes	—
367	C₂²	#1895	1	2	yes	—
368	C₂²	#1896	1	4	yes	—
369	C₄	—	2	1	no	—
370	C₄	—	2	4	no	—
371	C₄	—	2	1	no	—
372	C₄	—	2	2	no	—
373	C₄	—	4	2	no	—
374	C₄	—	4	2	no	—
375	C₄	—	8	8	no	—
376	C₄	#1753	1	4	yes	—
377	C₄	#1809	1	4	yes	—
378	C₄	#1851	1	4	yes	—
379	C₄	#1894	1	2	yes	—
380	C₄	#1895	1	2	yes	—
381	C₂	—	4	4	no	—
382	C₂	#7895	1	1	yes	characteristic
383	C₂	#7896	1	1	yes	characteristic
384	C₂	#7903	1	1	yes	characteristic
385	C₂	#7904	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#9077	1	4	yes	—
387	C₂	#9078	1	4	yes	—
388	C₂	#10715	1	1	yes	characteristic
389	C₂	#10719	1	1	yes	characteristic
390	C₂	#10722	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³×C₄	C₂×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂×C₄²
Frattini, cosocle	C₂²×C₄²	C₂³
socle	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂⁵	C₂²⋊C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. C₂×#1279	C₂	semidirect
11. C₂×C₄×M₁₆	C₄	semidirect
18. #1797	C₄	semidirect
112. C₂×C₄⋊C₄	M₁₆	semidirect
149. C₄×C₈	C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×M₁₆	2
C₂×#1797	2
C₄×#380	2
C₂×#1279	2