Subgroups — #10574876

Order 512.

21861 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 335 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#63103	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#62859	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
3	#60401	C₂	1	24	yes	maximal, complemented
4	#60400	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#60398	C₂	1	12	yes	maximal, complemented
6	C₂×#3028	C₂	1	12	yes	maximal, complemented
7	#60070	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	2₋¹⁺⁶	—	2	12	no	—
9	2₋¹⁺⁶	C₂²	1	4	yes	—
10	H(7,𝔽₂)	—	2	12	no	—
11	H(7,𝔽₂)	C₂²	1	12	yes	—
12	C₂×#585	—	2	24	no	—
13	C₂×#585	C₂²	1	12	yes	—
14	C₂×#585	C₂²	1	3	yes	—
15	C₂²×2₋¹⁺⁴	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
16	#3500	—	2	12	no	—
17	#3499	—	2	12	no	—
18	#3489	—	2	24	no	—
19	#3486	C₂²	1	12	yes	complemented
20	#3485	C₂²	1	36	yes	complemented
21	#3449	C₂²	1	18	yes	complemented
22	C₂×#536	C₂²	1	18	yes	complemented
23	#3428	C₂²	1	3	yes	complemented
24	#3028	C₂²	1	48	yes	complemented
25	#3028	C₂²	1	96	yes	complemented
26	#3027	C₂²	1	16	yes	complemented
27	#3026	C₂²	1	96	yes	complemented
28	#3025	C₂²	1	96	yes	complemented
29	C₂×#458	C₂²	1	96	yes	complemented
30	#2884	C₂²	1	12	yes	complemented
31	#2883	C₂²	1	36	yes	complemented
32	C₂×#410	C₂²	1	36	yes	complemented
33	#585	—	2	64	no	—
34	#585	—	2	192	no	—
35	#585	—	2	72	no	—
36	#585	—	2	24	no	—
37	#585	—	2	48	no	—
38	#585	—	2	144	no	—
39	#585	—	2	72	no	—
40	#585	—	2	24	no	—
41	#585	C₂³	1	16	yes	—
42	#585	C₂³	1	48	yes	—
43	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	96	no	—
44	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	12	no	—
45	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	12	no	—
46	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	48	no	—
47	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	36	no	—
48	C₂×2₋¹⁺⁴	D₄	1	12	yes	complemented
49	C₂×2₋¹⁺⁴	C₂³	1	6	yes	—
50	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	96	no	—
51	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	144	no	—
52	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	36	no	—
53	C₂×H(5,𝔽₂)	D₄	1	12	yes	complemented
54	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂³	1	48	yes	—
55	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂³	1	18	yes	—
56	C₂²×#41	—	2	64	no	—
57	C₂²×#41	—	2	72	no	—
58	C₂²×#41	D₄	1	24	yes	complemented
59	C₂²×#41	C₂³	1	18	yes	—
60	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×#41	C₂³	1	3	yes	complemented
62	C₂²×#41	C₂³	1	6	yes	complemented
63	C₂³×Q₈	C₂³	1	3	yes	complemented
64	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	complemented
65	D₄×Q₈	—	2	48	no	—
66	#548	—	2	48	no	—
67	#547	—	2	144	no	—
68	#546	—	2	144	no	—
69	#537	—	2	36	no	—
70	#536	—	2	36	no	—
71	#536	—	2	36	no	—
72	#536	—	2	18	no	—
73	#536	C₂³	1	36	yes	complemented
74	#536	C₂³	1	72	yes	complemented
75	#535	—	2	18	no	—
76	#535	C₂³	1	12	yes	complemented
77	#534	C₂³	1	72	yes	complemented
78	#532	—	2	36	no	—
79	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	18	no	—
80	C₂×#124	—	2	18	no	—
81	#525	—	2	36	no	—
82	#525	C₂³	1	72	yes	complemented
83	C₂×#123	C₂³	1	72	yes	complemented
84	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	36	no	—
85	#520	—	2	12	no	—
86	#519	C₂³	1	6	yes	complemented
87	#518	C₂³	1	18	yes	complemented
88	C₄×#41	—	2	12	no	—
89	C₂×#117	C₂³	1	18	yes	complemented
90	#458	C₂³	1	384	yes	complemented
91	B(4,𝔽₂)	C₂³	1	128	yes	complemented
92	#410	C₂³	1	48	yes	complemented
93	#410	C₂³	1	144	yes	complemented
94	C₂×#99	C₂³	1	144	yes	complemented
95	2₋¹⁺⁴	—	2	192	no	—
96	2₋¹⁺⁴	—	2	288	no	—
97	2₋¹⁺⁴	—	2	192	no	—
98	2₋¹⁺⁴	—	2	96	no	—
99	2₋¹⁺⁴	—	2	144	no	—
100	2₋¹⁺⁴	—	2	48	no	—
101	2₋¹⁺⁴	—	2	48	no	—
102	2₋¹⁺⁴	—	4	16	no	—
103	2₋¹⁺⁴	—	4	48	no	—
104	H(5,𝔽₂)	—	2	64	no	—
105	H(5,𝔽₂)	—	2	288	no	—
106	H(5,𝔽₂)	—	2	576	no	—
107	H(5,𝔽₂)	—	2	96	no	—
108	H(5,𝔽₂)	—	2	144	no	—
109	H(5,𝔽₂)	—	2	48	no	—
110	H(5,𝔽₂)	—	2	288	no	—
111	H(5,𝔽₂)	—	2	144	no	—
112	H(5,𝔽₂)	C₂⁴	1	64	yes	—
113	C₂×#41	—	2	288	no	—
114	C₂×#41	—	2	48	no	—
115	C₂×#41	—	2	192	no	—
116	C₂×#41	—	2	576	no	—
117	C₂×#41	—	2	288	no	—
118	C₂×#41	—	2	144	no	—
119	C₂×#41	—	2	96	no	—
120	C₂×#41	—	2	96	no	—
121	C₂×#41	—	2	72	no	—
122	C₂×#41	—	2	96	no	—
123	C₂×#41	—	2	72	no	—
124	C₂×#41	—	2	288	no	—
125	C₂×#41	—	2	144	no	—
126	C₂×#41	—	2	72	no	—
127	C₂×#41	—	2	18	no	—
128	C₂×#41	—	2	18	no	—
129	C₂×#41	C₂×D₄	1	36	yes	—
130	C₂×#41	C₂×D₄	1	36	yes	—
131	C₂×#41	C₂×D₄	1	72	yes	—
132	C₂×#41	C₂×D₄	1	24	yes	—
133	C₂×#41	C₂×D₄	1	12	yes	—
134	C₂×#41	C₂×D₄	1	12	yes	—
135	C₂×#41	C₂⁴	1	36	yes	—
136	C₂×#41	C₂⁴	1	12	yes	—
137	C₂²×Q₈	—	2	64	no	—
138	C₂²×Q₈	—	2	72	no	—
139	C₂²×Q₈	—	2	24	no	—
140	C₂²×Q₈	—	2	18	no	—
141	C₂²×Q₈	—	2	18	no	—
142	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	18	yes	—
143	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	24	yes	—
144	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	3	yes	—
145	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	6	yes	—
146	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×D₄	—	2	192	no	—
148	C₂²×D₄	—	2	72	no	—
149	C₂²×D₄	—	2	144	no	—
150	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	18	yes	—
151	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	72	yes	—
152	C₂²×D₄	C₂⁴	1	36	yes	—
153	C₂²×D₄	C₂⁴	1	6	yes	—
154	C₂²×D₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×D₄	C₂⁴	1	3	yes	—
156	C₂³×C₄	—	2	48	no	—
157	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	36	yes	—
158	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
159	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
160	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
161	C₄⋊Q₈	—	2	36	no	—
162	C₄⋊Q₈	—	2	72	no	—
163	#127	—	2	12	no	—
164	#124	—	2	12	no	—
165	#124	—	2	36	no	—
166	#124	—	2	72	no	—
167	#123	—	2	144	no	—
168	#123	—	2	72	no	—
169	#123	C₂⁴	1	144	yes	—
170	C₂²⋊Q₈	—	2	72	no	—
171	C₂²⋊Q₈	—	2	72	no	—
172	C₂²⋊Q₈	—	2	144	no	—
173	#121	—	2	72	no	—
174	#121	—	2	144	no	—
175	#121	—	2	24	no	—
176	#120	—	2	72	no	—
177	#120	C₂⁴	1	48	yes	—
178	C₄×Q₈	—	2	24	no	—
179	C₄×D₄	—	2	72	no	—
180	C₄×D₄	—	2	144	no	—
181	#117	—	2	18	no	—
182	#117	—	2	18	no	—
183	#117	C₂⁴	1	12	yes	—
184	#117	C₂⁴	1	36	yes	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	18	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	72	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	72	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	36	yes	—
189	C₂×C₄²	—	2	18	no	—
190	#99	C₂⁴	1	192	yes	—
191	C₂⁴	—	2	48	no	—
192	C₂⁴	C₂²×D₄	1	36	yes	—
193	C₂⁴	C₂⁵	1	2	yes	—
194	C₂⁴	C₂⁵	1	3	yes	—
195	#41	—	2	64	no	—
196	#41	—	2	576	no	—
197	#41	—	2	576	no	—
198	#41	—	2	192	no	—
199	#41	—	2	192	no	—
200	#41	—	2	96	no	—
201	#41	—	2	288	no	—
202	#41	—	2	72	no	—
203	#41	—	2	144	no	—
204	#41	—	2	72	no	—
205	#41	—	2	24	no	—
206	#41	—	2	192	no	—
207	#41	—	2	24	no	—
208	#41	—	2	144	no	—
209	#41	—	4	96	no	—
210	#41	—	4	12	no	—
211	#41	—	4	36	no	—
212	#41	#120	1	16	yes	—
213	#41	#120	1	48	yes	—
214	C₂×Q₈	—	2	288	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	96	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	48	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	96	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	72	no	—
219	C₂×Q₈	—	2	9	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	36	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	9	no	—
222	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
223	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
224	C₂×Q₈	—	4	36	no	—
225	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	36	yes	—
226	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	12	yes	—
227	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	12	yes	—
228	C₂×D₄	—	2	576	no	—
229	C₂×D₄	—	2	144	no	—
230	C₂×D₄	—	2	288	no	—
231	C₂×D₄	—	2	96	no	—
232	C₂×D₄	—	2	192	no	—
233	C₂×D₄	—	2	144	no	—
234	C₂×D₄	—	2	288	no	—
235	C₂×D₄	—	2	36	no	—
236	C₂×D₄	—	2	48	no	—
237	C₂×D₄	—	2	72	no	—
238	C₂×D₄	—	2	3	no	—
239	C₂×D₄	—	2	3	no	—
240	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	72	yes	—
241	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	36	yes	—
242	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
243	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	36	yes	—
244	C₂×D₄	C₂⁵	1	24	yes	—
245	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	144	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	192	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	72	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	72	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	36	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	36	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	36	no	—
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	36	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	72	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	24	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	18	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	18	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂⁵	1	6	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	C₂⁵	1	3	yes	—
261	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	144	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	36	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	2	144	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	2	36	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
267	C₂²⋊C₄	C₂⁵	1	24	yes	—
268	C₄²	—	2	12	no	—
269	C₄²	—	2	36	no	—
270	C₂³	—	2	64	no	—
271	C₂³	—	2	72	no	—
272	C₂³	—	2	6	no	—
273	C₂³	—	8	3	no	—
274	C₂³	—	8	2	no	—
275	C₂³	—	8	36	no	—
276	C₂³	—	16	48	no	—
277	C₂³	C₂³×D₄	1	24	yes	—
278	C₂³	C₂³×D₄	1	18	yes	—
279	C₂³	C₂⁶	1	1	yes	characteristic
280	Q₈	—	2	64	no	—
281	Q₈	—	2	72	no	—
282	Q₈	—	2	24	no	—
283	Q₈	—	4	3	no	—
284	Q₈	—	4	24	no	—
285	Q₈	—	4	9	no	—
286	Q₈	C₂×#120	1	16	yes	—
287	D₄	—	2	192	no	—
288	D₄	—	2	48	no	—
289	D₄	—	2	144	no	—
290	D₄	—	2	72	no	—
291	D₄	—	2	24	no	—
292	D₄	—	4	24	no	—
293	D₄	—	4	1	no	—
294	D₄	—	4	3	no	—
295	D₄	—	8	48	no	—
296	D₄	C₂×#120	1	48	yes	—
297	C₂×C₄	—	2	192	no	—
298	C₂×C₄	—	2	72	no	—
299	C₂×C₄	—	2	24	no	—
300	C₂×C₄	—	2	144	no	—
301	C₂×C₄	—	2	24	no	—
302	C₂×C₄	—	2	24	no	—
303	C₂×C₄	—	2	18	no	—
304	C₂×C₄	—	4	24	no	—
305	C₂×C₄	—	4	24	no	—
306	C₂×C₄	—	8	36	no	—
307	C₂×C₄	C₂×#120	1	12	yes	—
308	C₂×C₄	C₂×#120	1	36	yes	—
309	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	24	yes	—
310	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	3	yes	—
311	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	18	yes	—
312	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	3	yes	—
313	C₂²	—	2	24	no	—
314	C₂²	—	4	18	no	—
315	C₂²	—	4	1	no	—
316	C₂²	—	4	24	no	—
317	C₂²	—	4	12	no	—
318	C₂²	—	4	2	no	—
319	C₂²	—	8	72	no	—
320	C₂²	—	8	64	no	—
321	C₂²	C₂²×#120	1	12	yes	—
322	C₂²	C₂⁴×D₄	1	3	yes	—
323	C₄	—	2	24	no	—
324	C₄	—	4	24	no	—
325	C₄	—	4	6	no	—
326	C₄	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
327	C₄	C₂²×#120	1	12	yes	—
328	C₄	C₂²×#120	1	3	yes	—
329	C₂	—	2	3	no	—
330	C₂	—	2	12	no	—
331	C₂	—	4	24	no	—
332	C₂	—	8	2	no	—
333	C₂	C₂³×#120	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂	C₂³×#120
commutator, Frattini, cosocle	C₂³	C₂⁶
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂ ◁ C₂²×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #63103	C₂	semidirect
2. #62859	C₂	semidirect
3. #60401	C₂	semidirect
4. #60400	C₂	semidirect
5. #60398	C₂	semidirect
6. C₂×#3028	C₂	semidirect
7. #60070	C₂	semidirect
15. C₂²×2₋¹⁺⁴	C₂²	semidirect
19. #3486	C₂²	semidirect
20. #3485	C₂²	semidirect
21. #3449	C₂²	semidirect
22. C₂×#536	C₂²	semidirect
23. #3428	C₂²	semidirect
24. #3028	C₂²	semidirect
25. #3028	C₂²	semidirect
26. #3027	C₂²	semidirect
27. #3026	C₂²	semidirect
28. #3025	C₂²	semidirect
29. C₂×#458	C₂²	semidirect
30. #2884	C₂²	semidirect
31. #2883	C₂²	semidirect
32. C₂×#410	C₂²	semidirect
48. C₂×2₋¹⁺⁴	D₄	semidirect
53. C₂×H(5,𝔽₂)	D₄	semidirect
58. C₂²×#41	D₄	semidirect
61. C₂²×#41	C₂³	semidirect
62. C₂²×#41	C₂³	semidirect
63. C₂³×Q₈	C₂³	semidirect
64. C₂³×Q₈	C₂³	semidirect
73. #536	C₂³	semidirect
74. #536	C₂³	semidirect
76. #535	C₂³	semidirect
77. #534	C₂³	semidirect
82. #525	C₂³	semidirect
83. C₂×#123	C₂³	semidirect
86. #519	C₂³	semidirect
87. #518	C₂³	semidirect
89. C₂×#117	C₂³	semidirect
90. #458	C₂³	semidirect
91. B(4,𝔽₂)	C₂³	semidirect
92. #410	C₂³	semidirect
93. #410	C₂³	semidirect
94. C₂×#99	C₂³	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#63103	2
#62859	2
#60401	2
#60400	2
#60398	2
C₂×#3028	2
#60070	2