Subgroups — C₂³×#471 #10574886

Order 512.

10842 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 321 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×#137	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂³×AGL(1,ℤ/8)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂⁴×SD₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂³×#131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂²×#471	C₂	1	56	yes	maximal, direct product factor
6	C₂³×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂³×#101	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂³×#100	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂³×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂⁴×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂⁴×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#137	—	2	14	no	—
13	C₂²×#137	C₂²	1	28	yes	complemented
14	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	—	2	14	no	—
15	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	28	yes	—
16	C₂³×Q₁₆	—	2	1	no	—
17	C₂³×SD₁₆	—	2	1	no	—
18	C₂³×SD₁₆	—	2	1	no	—
19	C₂³×SD₁₆	—	2	1	no	—
20	C₂³×SD₁₆	—	2	1	no	—
21	C₂³×SD₁₆	—	2	14	no	—
22	C₂³×SD₁₆	C₂²	1	28	yes	complemented
23	C₂³×D₈	—	2	1	no	—
24	C₂²×#131	—	2	14	no	—
25	C₂²×#131	C₂²	1	28	yes	complemented
26	C₂³×M₁₆	—	2	1	no	—
27	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂⁴×C₈	—	2	1	no	—
31	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#471	C₂²	1	448	yes	direct product factor
33	C₂²×#108	C₂²	1	28	yes	complemented
34	C₂²×#101	C₂²	1	28	yes	complemented
35	C₂²×#100	C₂²	1	28	yes	complemented
36	C₂⁶	—	2	1	no	—
37	C₂²×#41	—	2	7	no	—
38	C₂²×#41	—	2	7	no	—
39	C₂²×#41	D₄	1	14	yes	—
40	C₂²×#41	C₂³	1	14	yes	—
41	C₂³×Q₈	—	2	7	no	—
42	C₂³×Q₈	—	2	7	no	—
43	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
44	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
45	C₂³×Q₈	—	2	7	no	—
46	C₂³×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×Q₈	C₂³	1	14	yes	—
48	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
49	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
50	C₂³×D₄	—	2	7	no	—
51	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
52	C₂³×D₄	—	2	7	no	—
53	C₂³×D₄	—	2	7	no	—
54	C₂³×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×D₄	C₂³	1	14	yes	—
56	C₂⁴×C₄	—	2	1	no	—
57	C₂⁴×C₄	—	2	1	no	—
58	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#137	—	2	168	no	—
60	C₂×#137	C₂³	1	112	yes	complemented
61	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	168	no	—
62	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂³	1	112	yes	—
63	C₂²×Q₁₆	—	2	28	no	—
64	C₂²×SD₁₆	—	2	28	no	—
65	C₂²×SD₁₆	—	2	28	no	—
66	C₂²×SD₁₆	—	2	28	no	—
67	C₂²×SD₁₆	—	2	28	no	—
68	C₂²×SD₁₆	—	2	168	no	—
69	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	112	yes	complemented
70	C₂²×D₈	—	2	28	no	—
71	C₂×#131	—	2	168	no	—
72	C₂×#131	C₂³	1	112	yes	complemented
73	C₂²×M₁₆	—	2	7	no	—
74	C₂²×M₁₆	—	2	7	no	—
75	C₂²×M₁₆	—	2	7	no	—
76	C₂²×M₁₆	—	2	28	no	—
77	C₂²×M₁₆	C₂³	1	14	yes	—
78	C₂²×M₁₆	C₂³	1	14	yes	—
79	C₂²×M₁₆	C₂³	1	14	yes	—
80	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
81	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
82	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
83	C₂³×C₈	—	2	28	no	—
84	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂³×C₈	D₄	1	14	yes	—
87	C₂³×C₈	C₂³	1	14	yes	—
88	#471	C₂³	1	512	yes	direct product factor
89	C₂×#108	C₂³	1	112	yes	complemented
90	C₂×#101	C₂³	1	112	yes	complemented
91	C₂×#100	C₂³	1	112	yes	complemented
92	C₂⁵	—	2	1	no	—
93	C₂⁵	—	2	14	no	—
94	C₂⁵	—	4	7	no	—
95	C₂⁵	—	4	1	no	—
96	C₂⁵	—	8	8	no	—
97	C₂⁵	#41	1	1	yes	characteristic
98	C₂×#41	—	2	84	no	—
99	C₂×#41	—	2	42	no	—
100	C₂×#41	—	2	42	no	—
101	C₂×#41	C₂×D₄	1	84	yes	—
102	C₂×#41	C₂⁴	1	28	yes	—
103	C₂²×Q₈	—	2	7	no	—
104	C₂²×Q₈	—	2	42	no	—
105	C₂²×Q₈	—	2	14	no	—
106	C₂²×Q₈	—	2	42	no	—
107	C₂²×Q₈	—	2	14	no	—
108	C₂²×Q₈	—	2	42	no	—
109	C₂²×Q₈	—	4	7	no	—
110	C₂²×Q₈	—	4	7	no	—
111	C₂²×Q₈	—	4	42	no	—
112	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	14	yes	—
113	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	28	yes	—
114	C₂²×D₄	—	2	14	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	14	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	7	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	14	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	14	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	42	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	42	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	42	no	—
122	C₂²×D₄	—	4	7	no	—
123	C₂²×D₄	—	4	7	no	—
124	C₂²×D₄	—	4	42	no	—
125	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	14	yes	—
126	C₂²×D₄	C₂⁴	1	28	yes	—
127	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
128	C₂³×C₄	—	2	14	no	—
129	C₂³×C₄	—	2	14	no	—
130	C₂³×C₄	—	2	14	no	—
131	C₂³×C₄	—	4	7	no	—
132	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
133	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	7	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	7	yes	—
135	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂³×C₄	#41	1	7	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂⁴	1	7	yes	—
139	#137	—	2	224	no	—
140	#137	C₂⁴	1	64	yes	complemented
141	AGL(1,ℤ/8)	—	2	224	no	—
142	AGL(1,ℤ/8)	C₂⁴	1	64	yes	—
143	C₂×Q₁₆	—	2	112	no	—
144	C₂×SD₁₆	—	2	112	no	—
145	C₂×SD₁₆	—	2	112	no	—
146	C₂×SD₁₆	—	2	112	no	—
147	C₂×SD₁₆	—	2	112	no	—
148	C₂×SD₁₆	—	2	224	no	—
149	C₂×SD₁₆	C₂⁴	1	64	yes	complemented
150	C₂×D₈	—	2	112	no	—
151	#131	—	2	224	no	—
152	#131	C₂⁴	1	64	yes	complemented
153	C₂×M₁₆	—	2	42	no	—
154	C₂×M₁₆	—	2	42	no	—
155	C₂×M₁₆	—	2	42	no	—
156	C₂×M₁₆	—	2	112	no	—
157	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	28	yes	—
158	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	28	yes	—
159	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	28	yes	—
160	C₂²×C₈	—	2	14	no	—
161	C₂²×C₈	—	2	14	no	—
162	C₂²×C₈	—	2	14	no	—
163	C₂²×C₈	—	2	112	no	—
164	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	14	yes	—
165	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	14	yes	—
166	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	84	yes	—
167	C₂²×C₈	C₂⁴	1	28	yes	—
168	#108	C₂⁴	1	64	yes	complemented
169	#101	C₂⁴	1	64	yes	complemented
170	#100	C₂⁴	1	64	yes	complemented
171	C₂⁴	—	2	8	no	—
172	C₂⁴	—	2	14	no	—
173	C₂⁴	—	2	28	no	—
174	C₂⁴	—	4	8	no	—
175	C₂⁴	—	4	42	no	—
176	C₂⁴	—	4	14	no	—
177	C₂⁴	—	8	56	no	—
178	C₂⁴	—	8	56	no	—
179	C₂⁴	—	8	8	no	—
180	C₂⁴	#121	1	7	yes	—
181	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
182	C₂⁴	C₂×#41	1	7	yes	—
183	#41	—	2	168	no	—
184	#41	—	2	28	no	—
185	#41	—	2	28	no	—
186	#41	C₂²×D₄	1	56	yes	—
187	#41	C₂⁵	1	8	yes	—
188	C₂×Q₈	—	2	42	no	—
189	C₂×Q₈	—	2	28	no	—
190	C₂×Q₈	—	2	28	no	—
191	C₂×Q₈	—	2	28	no	—
192	C₂×Q₈	—	2	28	no	—
193	C₂×Q₈	—	2	28	no	—
194	C₂×Q₈	—	4	42	no	—
195	C₂×Q₈	—	4	42	no	—
196	C₂×Q₈	—	4	84	no	—
197	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	28	yes	—
198	C₂×Q₈	C₂⁵	1	8	yes	—
199	C₂×D₄	—	2	84	no	—
200	C₂×D₄	—	2	28	no	—
201	C₂×D₄	—	2	42	no	—
202	C₂×D₄	—	2	28	no	—
203	C₂×D₄	—	2	28	no	—
204	C₂×D₄	—	2	28	no	—
205	C₂×D₄	—	2	28	no	—
206	C₂×D₄	—	2	28	no	—
207	C₂×D₄	—	4	42	no	—
208	C₂×D₄	—	4	42	no	—
209	C₂×D₄	—	4	84	no	—
210	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	28	yes	—
211	C₂×D₄	C₂⁵	1	8	yes	—
212	C₂²×C₄	—	2	14	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	84	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	28	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	28	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	42	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	14	no	—
218	C₂²×C₄	#121	1	7	yes	—
219	C₂²×C₄	#121	1	7	yes	—
220	C₂²×C₄	#121	1	42	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	7	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	7	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	21	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	21	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂×#41	1	21	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂⁵	1	7	yes	—
227	Q₁₆	—	2	64	no	—
228	SD₁₆	—	2	64	no	—
229	SD₁₆	—	2	64	no	—
230	SD₁₆	—	2	64	no	—
231	SD₁₆	—	2	64	no	—
232	D₈	—	2	64	no	—
233	M₁₆	—	2	28	no	—
234	M₁₆	—	2	28	no	—
235	M₁₆	—	2	28	no	—
236	M₁₆	—	2	64	no	—
237	M₁₆	C₂⁵	1	8	yes	—
238	M₁₆	C₂⁵	1	8	yes	—
239	M₁₆	C₂⁵	1	8	yes	—
240	C₂×C₈	—	2	28	no	—
241	C₂×C₈	—	2	28	no	—
242	C₂×C₈	—	2	28	no	—
243	C₂×C₈	—	2	64	no	—
244	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	28	yes	—
245	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	28	yes	—
246	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	56	yes	—
247	C₂×C₈	C₂⁵	1	8	yes	—
248	C₂³	—	2	28	no	—
249	C₂³	—	2	28	no	—
250	C₂³	—	2	28	no	—
251	C₂³	—	2	8	no	—
252	C₂³	—	4	56	no	—
253	C₂³	—	4	28	no	—
254	C₂³	—	4	28	no	—
255	C₂³	—	8	56	no	—
256	C₂³	—	8	168	no	—
257	C₂³	—	8	56	no	—
258	C₂³	#471	1	8	yes	direct product factor
259	C₂³	C₂×#121	1	21	yes	—
260	C₂³	C₂×#121	1	7	yes	—
261	C₂³	C₂²×#41	1	7	yes	—
262	Q₈	—	2	28	no	—
263	Q₈	—	2	8	no	—
264	Q₈	—	2	8	no	—
265	Q₈	—	4	28	no	—
266	Q₈	—	4	28	no	—
267	Q₈	C₂³×D₄	1	8	yes	—
268	D₄	—	2	8	no	—
269	D₄	—	2	56	no	—
270	D₄	—	2	8	no	—
271	D₄	—	2	8	no	—
272	D₄	—	2	28	no	—
273	D₄	—	4	28	no	—
274	D₄	—	4	28	no	—
275	D₄	C₂³×D₄	1	8	yes	—
276	C₂×C₄	—	2	28	no	—
277	C₂×C₄	—	2	8	no	—
278	C₂×C₄	—	2	56	no	—
279	C₂×C₄	—	2	8	no	—
280	C₂×C₄	—	4	28	no	—
281	C₂×C₄	—	4	28	no	—
282	C₂×C₄	C₂×#121	1	21	yes	—
283	C₂×C₄	C₂×#121	1	21	yes	—
284	C₂×C₄	C₂×#121	1	42	yes	—
285	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	7	yes	—
286	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	7	yes	—
287	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	7	yes	—
288	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	7	yes	—
289	C₂×C₄	C₂²×#41	1	7	yes	—
290	C₂×C₄	C₂⁶	1	1	yes	characteristic
291	C₈	—	2	8	no	—
292	C₈	—	2	8	no	—
293	C₈	—	2	8	no	—
294	C₈	C₂³×D₄	1	8	yes	—
295	C₈	C₂³×D₄	1	8	yes	—
296	C₂²	—	2	42	no	—
297	C₂²	—	2	14	no	—
298	C₂²	—	2	8	no	—
299	C₂²	—	4	56	no	—
300	C₂²	—	4	8	no	—
301	C₂²	—	8	8	no	—
302	C₂²	—	8	56	no	—
303	C₂²	—	8	56	no	—
304	C₂²	C₂×#471	1	28	yes	direct product factor
305	C₂²	C₂²×#121	1	7	yes	—
306	C₂²	C₂²×#121	1	7	yes	—
307	C₂²	C₂³×#41	1	1	yes	characteristic
308	C₄	—	2	8	no	—
309	C₄	—	4	8	no	—
310	C₄	C₂²×#121	1	7	yes	—
311	C₄	C₂²×#121	1	7	yes	—
312	C₄	C₂⁴×D₄	1	1	yes	characteristic
313	C₄	C₂⁴×D₄	1	1	yes	characteristic
314	C₂	—	2	1	no	—
315	C₂	—	2	7	no	—
316	C₂	—	4	8	no	—
317	C₂	—	8	8	no	—
318	C₂	C₂²×#471	1	14	yes	direct product factor
319	C₂	C₂³×#121	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁶
prime radical	C₂³×AGL(1,ℤ/8)	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂⁴×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂³×#137	C₂	semidirect
3. C₂⁴×SD₁₆	C₂	semidirect
4. C₂³×#131	C₂	semidirect
5. C₂²×#471	C₂	direct (N × H)
6. C₂³×#108	C₂	semidirect
7. C₂³×#101	C₂	semidirect
8. C₂³×#100	C₂	semidirect
13. C₂²×#137	C₂²	semidirect
22. C₂³×SD₁₆	C₂²	semidirect
25. C₂²×#131	C₂²	semidirect
32. C₂×#471	C₂²	direct (N × H)
33. C₂²×#108	C₂²	semidirect
34. C₂²×#101	C₂²	semidirect
35. C₂²×#100	C₂²	semidirect
60. C₂×#137	C₂³	semidirect
69. C₂²×SD₁₆	C₂³	semidirect
72. C₂×#131	C₂³	semidirect
88. #471	C₂³	direct (N × H)
89. C₂×#108	C₂³	semidirect
90. C₂×#101	C₂³	semidirect
91. C₂×#100	C₂³	semidirect
140. #137	C₂⁴	semidirect
149. C₂×SD₁₆	C₂⁴	semidirect
152. #131	C₂⁴	semidirect
168. #108	C₂⁴	semidirect
169. #101	C₂⁴	semidirect
170. #100	C₂⁴	semidirect
258. C₂³	#471	direct (N × H)
304. C₂²	C₂×#471	direct (N × H)
318. C₂	C₂²×#471	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×#137	2
C₂³×AGL(1,ℤ/8)	2
C₂⁴×SD₁₆	2
C₂³×#131	2
C₂²×#471	2
C₂³×#108	2
C₂³×#101	2
C₂³×#100	2

Subgroups — C23×#471 #10574886

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂³×#471 #10574886