Subgroups — C₂²×#3078 #10575016

Order 512.

7834 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 367 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#533	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂³×C₄×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#3078	C₂	1	48	yes	maximal, direct product factor
4	C₂²×#479	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₂²×#477	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂²×#475	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂²×#428	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₂²×#423	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂²×#419	C₂	1	2	yes	maximal
10	C₂⁴×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#533	—	2	12	no	—
13	C₂×#533	C₂²	1	24	yes	—
14	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×#125	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
18	C₂²×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
19	C₂²×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
20	C₂²×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
21	C₂²×C₄×Q₈	—	2	12	no	—
22	C₂²×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
23	C₂²×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
24	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	24	yes	—
27	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂³×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
29	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂³×C₄²	—	2	1	no	—
31	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#3078	C₂²	1	256	yes	direct product factor
33	C₂×#479	C₂²	1	96	yes	complemented
34	C₂×#477	C₂²	1	48	yes	complemented
35	C₂×#475	C₂²	1	48	yes	complemented
36	C₂×#428	C₂²	1	48	yes	—
37	C₂²×#107	C₂²	1	4	yes	—
38	C₂²×#106	C₂²	1	4	yes	—
39	C₂×#423	C₂²	1	24	yes	—
40	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#419	C₂²	1	48	yes	—
43	C₂²×#103	C₂²	1	4	yes	—
44	C₂²×#103	C₂²	1	4	yes	—
45	C₂³×Q₈	—	2	6	no	—
46	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
47	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
48	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
49	C₂³×Q₈	—	2	8	no	—
50	C₂³×Q₈	Q₈	1	16	yes	complemented
51	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂³×Q₈	C₂³	1	12	yes	—
53	C₂⁴×C₄	—	2	1	no	—
54	C₂⁴×C₄	—	2	1	no	—
55	C₂⁴×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂⁴×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×M₁₆	—	2	16	no	—
59	C₂²×M₁₆	C₂³	1	24	yes	—
60	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
61	#533	—	2	96	no	—
62	#533	C₂³	1	64	yes	—
63	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
65	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	12	yes	—
66	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	12	yes	—
67	C₂×#125	—	2	12	no	—
68	C₂×#125	C₂³	1	24	yes	—
69	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
70	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
71	C₂×C₄×Q₈	—	2	24	no	—
72	C₂×C₄×Q₈	—	2	24	no	—
73	C₂×C₄×Q₈	—	2	12	no	—
74	C₂×C₄×Q₈	—	2	12	no	—
75	C₂×C₄×Q₈	—	2	96	no	—
76	C₂×C₄×Q₈	—	2	24	no	—
77	C₂×C₄×Q₈	—	2	24	no	—
78	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	24	yes	—
79	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	24	yes	—
80	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	64	yes	—
81	C₂×#117	—	2	12	no	—
82	C₂×#117	C₂³	1	24	yes	—
83	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
84	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
85	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
86	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
87	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
88	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
89	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
90	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
91	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
92	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
96	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
97	C₂²×C₄²	—	2	24	no	—
98	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
99	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
100	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
101	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×C₄²	D₄	1	12	yes	—
104	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×C₄²	C₂³	1	12	yes	—
107	#479	C₂³	1	256	yes	complemented
108	#477	C₂³	1	128	yes	complemented
109	#475	C₂³	1	128	yes	complemented
110	#428	C₂³	1	128	yes	—
111	C₂×#107	C₂³	1	48	yes	—
112	C₂×#106	C₂³	1	48	yes	—
113	#423	C₂³	1	64	yes	—
114	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	24	yes	—
115	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	24	yes	—
116	#419	C₂³	1	128	yes	—
117	C₂×#103	C₂³	1	48	yes	—
118	C₂×#103	C₂³	1	48	yes	—
119	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
121	C₂²×Q₈	—	2	96	no	—
122	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
123	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
124	C₂²×Q₈	—	2	24	no	—
125	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
126	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
127	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
128	C₂²×Q₈	—	2	48	no	—
129	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
130	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
131	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	16	yes	—
132	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	96	yes	complemented
133	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	12	yes	—
134	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	16	yes	—
135	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
136	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
137	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
138	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
139	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
140	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
141	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
142	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
143	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
144	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
145	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
146	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
150	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
151	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
154	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
155	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
156	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
157	C₂×M₁₆	—	2	96	no	—
158	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	32	yes	—
159	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
160	C₂²×C₈	C₂⁴	1	24	yes	—
161	C₄⋊Q₈	—	2	24	no	—
162	C₄⋊Q₈	—	2	24	no	—
163	C₄⋊Q₈	C₂⁴	1	16	yes	—
164	C₄⋊Q₈	C₂⁴	1	16	yes	—
165	#125	—	2	48	no	—
166	#125	C₂⁴	1	32	yes	—
167	C₂²⋊Q₈	—	2	64	no	—
168	C₂²⋊Q₈	—	2	64	no	—
169	C₄×Q₈	—	2	64	no	—
170	C₄×Q₈	—	2	64	no	—
171	C₄×Q₈	—	2	48	no	—
172	C₄×Q₈	—	2	48	no	—
173	C₄×Q₈	—	2	64	no	—
174	C₄×Q₈	—	2	64	no	—
175	C₄×Q₈	C₂⁴	1	32	yes	—
176	C₄×Q₈	C₂⁴	1	32	yes	—
177	#117	—	2	48	no	—
178	#117	C₂⁴	1	32	yes	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
192	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
193	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
194	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
195	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
196	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
197	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
198	C₂×C₄²	—	2	64	no	—
199	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
200	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
201	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
202	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
203	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
204	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	48	yes	—
205	C₂×C₄²	C₂⁴	1	6	yes	—
206	C₂×C₄²	C₂⁴	1	6	yes	—
207	C₂×C₄²	C₂⁴	1	16	yes	—
208	#107	C₂⁴	1	64	yes	—
209	#106	C₂⁴	1	64	yes	—
210	C₄⋊C₈	C₂⁴	1	32	yes	—
211	C₄⋊C₈	C₂⁴	1	32	yes	—
212	#103	C₂⁴	1	64	yes	—
213	#103	C₂⁴	1	64	yes	—
214	C₂⁴	—	2	4	no	—
215	C₂⁴	—	2	4	no	—
216	C₂⁴	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
217	C₂⁴	C₂²×D₄	1	6	yes	—
218	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂×Q₈	—	2	48	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	96	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	192	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
226	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
227	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
228	C₂×Q₈	—	4	48	no	—
229	C₂×Q₈	—	4	48	no	—
230	C₂×Q₈	C₂²×Q₈	1	48	yes	—
231	C₂×Q₈	C₂²×Q₈	1	64	yes	complemented
232	C₂×Q₈	C₂⁵	1	8	yes	—
233	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	96	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	48	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
250	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	48	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
252	C₂²×C₄	#137	1	8	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	24	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂×#41	1	24	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂⁵	1	3	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂⁵	1	4	yes	—
268	M₁₆	—	2	64	no	—
269	C₂×C₈	—	2	48	no	—
270	C₂×C₈	C₂⁵	1	16	yes	—
271	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
281	C₄⋊C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
282	C₄⋊C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
283	C₄⋊C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
284	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
285	C₄²	—	2	32	no	—
286	C₄²	—	2	32	no	—
287	C₄²	—	2	32	no	—
288	C₄²	C₂²×D₄	1	16	yes	—
289	C₄²	C₂²×D₄	1	16	yes	—
290	C₄²	C₂²×D₄	1	12	yes	—
291	C₄²	C₂²×D₄	1	12	yes	—
292	C₄²	C₂⁵	1	4	yes	—
293	C₄²	C₂⁵	1	4	yes	—
294	C₂³	—	2	32	no	—
295	C₂³	—	2	12	no	—
296	C₂³	—	2	12	no	—
297	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	24	yes	—
298	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
299	C₂³	C₂×#137	1	4	yes	—
300	C₂³	#575	1	4	yes	—
301	C₂³	C₂³×D₄	1	4	yes	—
302	C₂³	C₂³×D₄	1	3	yes	—
303	Q₈	—	2	8	no	—
304	Q₈	—	2	48	no	—
305	Q₈	—	2	64	no	—
306	Q₈	—	4	32	no	—
307	Q₈	—	4	32	no	—
308	Q₈	C₂³×Q₈	1	16	yes	—
309	C₂×C₄	—	2	8	no	—
310	C₂×C₄	—	2	48	no	—
311	C₂×C₄	—	2	64	no	—
312	C₂×C₄	—	2	12	no	—
313	C₂×C₄	—	2	12	no	—
314	C₂×C₄	—	2	12	no	—
315	C₂×C₄	—	2	32	no	—
316	C₂×C₄	—	2	8	no	—
317	C₂×C₄	—	2	8	no	—
318	C₂×C₄	—	2	8	no	—
319	C₂×C₄	—	4	16	no	—
320	C₂×C₄	—	4	32	no	—
321	C₂×C₄	—	4	24	no	—
322	C₂×C₄	—	4	24	no	—
323	C₂×C₄	—	4	24	no	—
324	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	48	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	24	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	12	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×#137	1	24	yes	—
328	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	4	yes	—
329	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	4	yes	—
330	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	4	yes	—
331	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	4	yes	—
332	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	3	yes	—
333	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	6	yes	—
335	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	8	yes	—
336	C₂×C₄	C₂²×#41	1	6	yes	—
337	C₂×C₄	C₂²×#41	1	8	yes	—
338	C₂×C₄	C₂⁶	1	1	yes	characteristic
339	C₈	—	2	16	no	—
340	C₂²	—	2	48	no	—
341	C₂²	—	2	4	no	—
342	C₂²	—	2	4	no	—
343	C₂²	#3078	1	16	yes	direct product factor
344	C₂²	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
345	C₂²	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	6	yes	—
346	C₂²	C₂²×#137	1	6	yes	—
347	C₂²	C₂×#575	1	6	yes	—
348	C₂²	C₂⁴×D₄	1	1	yes	characteristic
349	C₄	—	2	4	no	—
350	C₄	—	2	4	no	—
351	C₄	—	2	4	no	—
352	C₄	—	2	16	no	—
353	C₄	—	4	8	no	—
354	C₄	—	4	8	no	—
355	C₄	—	4	8	no	—
356	C₄	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
357	C₄	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	6	yes	—
358	C₄	C₂²×#137	1	8	yes	—
359	C₄	C₂⁴×Q₈	1	1	yes	characteristic
360	C₄	C₂³×#41	1	1	yes	characteristic
361	C₂	—	2	8	no	—
362	C₂	C₂×#3078	1	12	yes	direct product factor
363	C₂	C₂³×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
364	C₂	C₂³×#137	1	1	yes	characteristic
365	C₂	C₂²×#575	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁶
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#3078	C₂	direct (N × H)
4. C₂²×#479	C₂	semidirect
5. C₂²×#477	C₂	semidirect
6. C₂²×#475	C₂	semidirect
32. #3078	C₂²	direct (N × H)
33. C₂×#479	C₂²	semidirect
34. C₂×#477	C₂²	semidirect
35. C₂×#475	C₂²	semidirect
50. C₂³×Q₈	Q₈	semidirect
107. #479	C₂³	semidirect
108. #477	C₂³	semidirect
109. #475	C₂³	semidirect
132. C₂²×Q₈	C₂×Q₈	semidirect
231. C₂×Q₈	C₂²×Q₈	semidirect
343. C₂²	#3078	direct (N × H)
362. C₂	C₂×#3078	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#533	2
C₂³×C₄×Q₈	2
C₂×#3078	2
C₂²×#479	2
C₂²×#477	2
C₂²×#475	2
C₂²×#428	2
C₂²×#423	2
C₂²×#419	2

Subgroups — C22×#3078 #10575016

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#3078 #10575016