Subgroups — C₂²×#3126 #10575085

Order 512.

7894 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 354 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#540	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#519	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#3126	C₂	1	48	yes	maximal, direct product factor
4	C₂²×#482	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂²×#479	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂²×#460	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂²×#448	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#440	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂²×C₄×SD₁₆	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂²×#433	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂⁴×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂³×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂³×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#540	—	2	12	no	—
15	C₂×#540	C₂²	1	24	yes	—
16	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×#123	—	2	2	no	—
19	C₂²×#121	—	2	2	no	—
20	C₂²×#121	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#519	—	2	12	no	—
22	C₂×#519	C₂²	1	24	yes	complemented
23	C₂²×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
24	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂²×#117	—	2	2	no	—
28	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#3126	C₂²	1	256	yes	direct product factor
31	C₂×#482	C₂²	1	48	yes	complemented
32	C₂×#479	C₂²	1	48	yes	complemented
33	C₂×#460	C₂²	1	48	yes	complemented
34	C₂×#448	C₂²	1	48	yes	complemented
35	C₂×#440	C₂²	1	48	yes	complemented
36	C₂×C₄×SD₁₆	C₂²	1	48	yes	complemented
37	C₂×#433	C₂²	1	24	yes	complemented
38	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂²×#103	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂²×#103	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂²×#102	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂²×#102	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×Q₈	—	2	16	no	—
49	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
50	C₂³×Q₈	—	2	6	no	—
51	C₂³×Q₈	C₂³	1	12	yes	—
52	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
54	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
55	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂⁴×C₄	—	2	1	no	—
57	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
58	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×SD₁₆	—	2	16	no	—
60	C₂²×SD₁₆	—	2	16	no	—
61	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	24	yes	—
62	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	24	yes	—
63	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
65	#540	—	2	96	no	—
66	#540	C₂³	1	64	yes	—
67	C₂×#127	—	2	6	no	—
68	C₂×#127	C₂³	1	12	yes	—
69	C₂×#125	—	2	6	no	—
70	C₂×#125	C₂³	1	12	yes	—
71	C₂×#123	—	2	48	no	—
72	C₂×#121	—	2	12	no	—
73	C₂×#121	—	2	48	no	—
74	C₂×#121	C₂³	1	24	yes	—
75	#519	—	2	96	no	—
76	#519	C₂³	1	64	yes	complemented
77	C₂×C₄×Q₈	—	2	48	no	—
78	C₂×C₄×Q₈	—	2	12	no	—
79	C₂×C₄×Q₈	—	2	12	no	—
80	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	24	yes	—
81	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	24	yes	—
82	C₂×C₄×D₄	—	2	12	no	—
83	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	24	yes	—
84	C₂×#117	—	2	6	no	—
85	C₂×#117	—	2	48	no	—
86	C₂×#117	D₄	1	12	yes	—
87	C₂×#117	C₂³	1	12	yes	—
88	C₂×#117	C₂³	1	12	yes	—
89	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
90	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
91	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
92	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
93	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
96	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
97	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
98	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
99	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
100	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
101	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
102	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	#482	C₂³	1	128	yes	complemented
105	#479	C₂³	1	128	yes	complemented
106	#460	C₂³	1	128	yes	complemented
107	#448	C₂³	1	128	yes	complemented
108	#440	C₂³	1	128	yes	complemented
109	C₄×SD₁₆	C₂³	1	128	yes	complemented
110	#433	C₂³	1	64	yes	complemented
111	C₂×#107	C₂³	1	24	yes	—
112	C₂×#106	C₂³	1	24	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	24	yes	—
114	C₂×#103	C₂³	1	24	yes	—
115	C₂×#103	C₂³	1	24	yes	—
116	C₂×#102	C₂³	1	24	yes	—
117	C₂×#102	C₂³	1	24	yes	—
118	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	24	yes	—
119	C₂×#97	C₂³	1	12	yes	—
120	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	12	yes	—
121	C₂⁵	—	2	2	no	—
122	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×Q₈	—	2	96	no	—
124	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
125	C₂²×Q₈	—	2	96	no	—
126	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
127	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
128	C₂²×Q₈	—	2	24	no	—
129	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
130	C₂²×Q₈	#41	1	16	yes	—
131	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	16	yes	—
132	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	12	yes	—
133	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
134	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
135	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
136	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
137	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
138	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
139	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
140	C₂²×D₄	C₂⁴	1	12	yes	—
141	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
142	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
143	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
144	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
145	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
146	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
147	C₂³×C₄	—	2	24	no	—
148	C₂³×C₄	—	8	8	no	—
149	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
150	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
154	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
155	C₂×SD₁₆	—	2	96	no	—
156	C₂×SD₁₆	—	2	96	no	—
157	C₂×SD₁₆	C₂⁴	1	32	yes	—
158	C₂×SD₁₆	C₂⁴	1	32	yes	—
159	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
160	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
161	C₂²×C₈	C₂⁴	1	12	yes	—
162	C₂²×C₈	C₂⁴	1	12	yes	—
163	#127	—	2	24	no	—
164	#127	C₂⁴	1	16	yes	—
165	#125	—	2	24	no	—
166	#125	C₂⁴	1	16	yes	—
167	#123	—	2	128	no	—
168	#121	—	2	48	no	—
169	#121	—	2	128	no	—
170	#121	C₂⁴	1	32	yes	—
171	C₄×Q₈	—	2	128	no	—
172	C₄×Q₈	—	2	48	no	—
173	C₄×Q₈	—	2	48	no	—
174	C₄×Q₈	C₂⁴	1	32	yes	—
175	C₄×Q₈	C₂⁴	1	32	yes	—
176	C₄×D₄	—	2	48	no	—
177	C₄×D₄	C₂⁴	1	32	yes	—
178	#117	—	2	24	no	—
179	#117	—	2	128	no	—
180	#117	C₂×D₄	1	48	yes	—
181	#117	C₂⁴	1	16	yes	—
182	#117	C₂⁴	1	16	yes	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	24	yes	—
189	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
190	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
192	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
193	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	24	yes	—
195	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
196	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
197	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
198	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
199	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
200	C₂×C₄²	C₂⁴	1	6	yes	—
201	C₂×C₄²	C₂⁴	1	6	yes	—
202	#107	C₂⁴	1	32	yes	—
203	#106	C₂⁴	1	32	yes	—
204	C₄⋊C₈	C₂⁴	1	32	yes	—
205	#103	C₂⁴	1	32	yes	—
206	#103	C₂⁴	1	32	yes	—
207	#102	C₂⁴	1	32	yes	—
208	#102	C₂⁴	1	32	yes	—
209	C₂²⋊C₈	C₂⁴	1	32	yes	—
210	#97	C₂⁴	1	16	yes	—
211	C₄×C₈	C₂⁴	1	16	yes	—
212	C₂⁴	—	2	4	no	—
213	C₂⁴	—	2	8	no	—
214	C₂⁴	—	2	12	no	—
215	C₂⁴	—	4	8	no	—
216	C₂⁴	—	4	8	no	—
217	C₂⁴	—	4	8	no	—
218	C₂⁴	C₂²×D₄	1	6	yes	—
219	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂×Q₈	—	2	192	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	96	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	64	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	48	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
226	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
227	C₂×Q₈	C₂×#41	1	48	yes	—
228	C₂×Q₈	C₂⁵	1	8	yes	—
229	C₂×D₄	—	2	32	no	—
230	C₂×D₄	—	2	12	no	—
231	C₂×D₄	—	2	32	no	—
232	C₂×D₄	—	2	24	no	—
233	C₂×D₄	—	2	24	no	—
234	C₂×D₄	—	4	24	no	—
235	C₂×D₄	—	8	48	no	—
236	C₂×D₄	—	8	48	no	—
237	C₂×D₄	C₂⁵	1	8	yes	—
238	C₂²×C₄	—	2	96	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
252	C₂²×C₄	—	8	48	no	—
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂⁵	1	4	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂⁵	1	3	yes	—
261	SD₁₆	—	2	64	no	—
262	SD₁₆	—	2	64	no	—
263	C₂×C₈	—	2	24	no	—
264	C₂×C₈	—	2	24	no	—
265	C₂×C₈	C₂⁵	1	8	yes	—
266	C₂×C₈	C₂⁵	1	8	yes	—
267	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
272	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	32	yes	—
273	C₄⋊C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
274	C₄⋊C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
275	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
278	C₂²⋊C₄	C₂²×D₄	1	32	yes	—
279	C₄²	—	2	32	no	—
280	C₄²	—	2	32	no	—
281	C₄²	—	2	16	no	—
282	C₄²	C₂²×D₄	1	12	yes	—
283	C₄²	C₂²×D₄	1	12	yes	—
284	C₄²	C₂⁵	1	4	yes	—
285	C₄²	C₂⁵	1	4	yes	—
286	C₂³	—	2	12	no	—
287	C₂³	—	2	24	no	—
288	C₂³	—	2	8	no	—
289	C₂³	—	4	16	no	—
290	C₂³	—	4	24	no	—
291	C₂³	—	4	24	no	—
292	C₂³	—	4	24	no	—
293	C₂³	—	8	32	no	—
294	C₂³	#525	1	4	yes	—
295	C₂³	#577	1	8	yes	—
296	C₂³	C₂³×D₄	1	4	yes	—
297	C₂³	C₂³×D₄	1	3	yes	—
298	Q₈	—	2	64	no	—
299	Q₈	—	2	8	no	—
300	Q₈	—	2	48	no	—
301	Q₈	C₂²×#41	1	16	yes	—
302	D₄	—	2	8	no	—
303	D₄	—	2	8	no	—
304	D₄	—	4	24	no	—
305	D₄	—	8	32	no	—
306	D₄	—	8	32	no	—
307	C₂×C₄	—	2	64	no	—
308	C₂×C₄	—	2	8	no	—
309	C₂×C₄	—	2	48	no	—
310	C₂×C₄	—	2	12	no	—
311	C₂×C₄	—	2	24	no	—
312	C₂×C₄	—	2	24	no	—
313	C₂×C₄	—	2	8	no	—
314	C₂×C₄	—	2	24	no	—
315	C₂×C₄	—	2	8	no	—
316	C₂×C₄	—	2	8	no	—
317	C₂×C₄	—	4	24	no	—
318	C₂×C₄	—	4	24	no	—
319	C₂×C₄	—	8	32	no	—
320	C₂×C₄	#525	1	12	yes	—
321	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	8	yes	—
322	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	8	yes	—
323	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	3	yes	—
325	C₂×C₄	C₂²×#41	1	12	yes	—
326	C₂×C₄	C₂⁶	1	1	yes	characteristic
327	C₈	—	2	8	no	—
328	C₈	—	2	8	no	—
329	C₂²	—	2	8	no	—
330	C₂²	—	2	4	no	—
331	C₂²	—	4	24	no	—
332	C₂²	—	4	8	no	—
333	C₂²	—	4	8	no	—
334	C₂²	—	4	8	no	—
335	C₂²	—	8	48	no	—
336	C₂²	#3126	1	16	yes	direct product factor
337	C₂²	C₂×#525	1	6	yes	—
338	C₂²	C₂×#577	1	12	yes	—
339	C₂²	C₂⁴×D₄	1	1	yes	characteristic
340	C₄	—	2	8	no	—
341	C₄	—	2	8	no	—
342	C₄	—	2	16	no	—
343	C₄	—	2	4	no	—
344	C₄	—	4	8	no	—
345	C₄	—	4	8	no	—
346	C₄	C₂×#525	1	6	yes	—
347	C₄	C₂³×#41	1	2	yes	—
348	C₂	—	4	4	no	—
349	C₂	—	8	8	no	—
350	C₂	C₂×#3126	1	12	yes	direct product factor
351	C₂	C₂²×#525	1	1	yes	characteristic
352	C₂	C₂²×#577	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁶
prime radical	C₂²×#540	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂²×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#519	C₂	semidirect
3. C₂×#3126	C₂	direct (N × H)
4. C₂²×#482	C₂	semidirect
5. C₂²×#479	C₂	semidirect
6. C₂²×#460	C₂	semidirect
7. C₂²×#448	C₂	semidirect
8. C₂²×#440	C₂	semidirect
9. C₂²×C₄×SD₁₆	C₂	semidirect
10. C₂²×#433	C₂	semidirect
22. C₂×#519	C₂²	semidirect
30. #3126	C₂²	direct (N × H)
31. C₂×#482	C₂²	semidirect
32. C₂×#479	C₂²	semidirect
33. C₂×#460	C₂²	semidirect
34. C₂×#448	C₂²	semidirect
35. C₂×#440	C₂²	semidirect
36. C₂×C₄×SD₁₆	C₂²	semidirect
37. C₂×#433	C₂²	semidirect
76. #519	C₂³	semidirect
104. #482	C₂³	semidirect
105. #479	C₂³	semidirect
106. #460	C₂³	semidirect
107. #448	C₂³	semidirect
108. #440	C₂³	semidirect
109. C₄×SD₁₆	C₂³	semidirect
110. #433	C₂³	semidirect
336. C₂²	#3126	direct (N × H)
350. C₂	C₂×#3126	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#540	2
C₂²×#519	2
C₂×#3126	2
C₂²×#482	2
C₂²×#479	2
C₂²×#460	2
C₂²×#448	2
C₂²×#440	2
C₂²×C₄×SD₁₆	2
C₂²×#433	2

Subgroups — C22×#3126 #10575085

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#3126 #10575085