Subgroups — C₂²×#3156 #10575239

Order 512.

12442 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 329 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×#137	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂³×#135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂⁴×Q₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂²×#536	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#3156	C₂	1	48	yes	maximal, direct product factor
6	C₂²×#497	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂²×#495	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#494	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂²×#405	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂³×#41	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂⁴×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×#137	—	2	32	no	—
13	C₂²×#137	C₂²	1	48	yes	complemented
14	C₂²×#135	—	2	16	no	—
15	C₂²×#135	C₂²	1	24	yes	—
16	C₂³×Q₁₆	—	2	16	no	—
17	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	24	yes	complemented
22	C₂³×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂³×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂³×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#536	—	2	24	no	—
28	C₂×#536	C₂²	1	48	yes	complemented
29	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂²×#124	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂²×#123	—	2	4	no	—
32	C₂²×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
33	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#3156	C₂²	1	256	yes	direct product factor
35	C₂×#497	C₂²	1	96	yes	complemented
36	C₂×#495	C₂²	1	48	yes	complemented
37	C₂×#494	C₂²	1	48	yes	complemented
38	C₂×#405	C₂²	1	24	yes	complemented
39	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂²×#41	—	2	12	no	—
42	C₂²×#41	—	2	16	no	—
43	C₂²×#41	—	2	16	no	—
44	C₂²×#41	C₂³	1	24	yes	—
45	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
46	C₂³×Q₈	—	2	12	no	—
47	C₂³×Q₈	—	2	16	no	—
48	C₂³×Q₈	—	2	16	no	—
49	C₂³×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂³×Q₈	C₂³	1	24	yes	—
51	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
53	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
55	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
56	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#137	—	2	384	no	—
58	C₂×#137	C₂³	1	128	yes	complemented
59	C₂×#135	—	2	192	no	—
60	C₂×#135	C₂³	1	64	yes	—
61	C₂²×Q₁₆	—	2	16	no	—
62	C₂²×Q₁₆	—	2	16	no	—
63	C₂²×Q₁₆	—	2	192	no	—
64	C₂²×Q₁₆	—	2	8	no	—
65	C₂²×Q₁₆	—	2	32	no	—
66	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	12	yes	—
67	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	24	yes	—
68	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	48	yes	—
69	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	24	yes	—
70	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	64	yes	complemented
71	C₂²×SD₁₆	—	2	16	no	—
72	C₂²×SD₁₆	—	2	32	no	—
73	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	48	yes	—
74	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	24	yes	—
75	C₂²×D₈	—	2	8	no	—
76	C₂²×D₈	C₂³	1	12	yes	—
77	C₂²×M₁₆	D₄	1	16	yes	—
78	C₂²×M₁₆	C₂³	1	12	yes	—
79	C₂³×C₈	D₄	1	16	yes	—
80	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂³×C₈	C₂³	1	12	yes	—
84	#536	—	2	192	no	—
85	#536	C₂³	1	128	yes	complemented
86	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	24	no	—
87	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	48	yes	—
88	C₂×#124	—	2	24	no	—
89	C₂×#124	C₂³	1	48	yes	—
90	C₂×#123	—	2	96	no	—
91	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	96	no	—
92	C₂×#117	D₄	1	12	yes	—
93	C₂×#117	C₂³	1	12	yes	—
94	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
95	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
96	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
97	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
98	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
99	#497	C₂³	1	256	yes	complemented
100	#495	C₂³	1	128	yes	complemented
101	#494	C₂³	1	128	yes	complemented
102	#405	C₂³	1	64	yes	complemented
103	C₂×#97	C₂³	1	24	yes	—
104	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	24	yes	—
105	C₂⁵	—	2	2	no	—
106	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂×#41	—	2	48	no	—
108	C₂×#41	—	2	96	no	—
109	C₂×#41	—	2	96	no	—
110	C₂×#41	—	4	96	no	—
111	C₂×#41	C₂⁴	1	32	yes	—
112	C₂²×Q₈	—	2	24	no	—
113	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
114	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
115	C₂²×Q₈	—	2	48	no	—
116	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
117	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
118	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
119	C₂²×Q₈	—	2	96	no	—
120	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
121	C₂²×Q₈	—	2	96	no	—
122	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
123	C₂²×Q₈	—	4	96	no	—
124	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	24	yes	—
125	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	12	yes	—
126	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	32	yes	—
127	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
128	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
129	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
130	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
131	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
132	C₂²×D₄	C₂⁴	1	12	yes	—
133	C₂³×C₄	—	2	24	no	—
134	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
135	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
136	C₂³×C₄	—	2	24	no	—
137	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
138	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
139	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
140	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
141	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
143	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
144	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
145	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
146	#137	—	2	512	no	—
147	#135	—	2	256	no	—
148	C₂×Q₁₆	—	2	96	no	—
149	C₂×Q₁₆	—	2	96	no	—
150	C₂×Q₁₆	—	2	256	no	—
151	C₂×Q₁₆	—	2	48	no	—
152	C₂×Q₁₆	—	2	192	no	—
153	C₂×Q₁₆	C₂⁴	1	32	yes	—
154	C₂×Q₁₆	C₂⁴	1	32	yes	—
155	C₂×Q₁₆	C₂⁴	1	16	yes	—
156	C₂×Q₁₆	C₂⁴	1	64	yes	—
157	C₂×SD₁₆	—	2	96	no	—
158	C₂×SD₁₆	—	2	192	no	—
159	C₂×SD₁₆	C₂⁴	1	32	yes	—
160	C₂×SD₁₆	C₂⁴	1	64	yes	—
161	C₂×D₈	—	2	48	no	—
162	C₂×D₈	C₂⁴	1	16	yes	—
163	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	96	yes	—
164	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	16	yes	—
165	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
166	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
167	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	96	yes	—
168	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
169	C₂²×C₈	C₂⁴	1	6	yes	—
170	C₂²×C₈	C₂⁴	1	6	yes	—
171	C₂²×C₈	C₂⁴	1	16	yes	—
172	C₂²×C₈	C₂⁴	1	12	yes	—
173	C₄⋊Q₈	—	2	96	no	—
174	C₄⋊Q₈	C₂⁴	1	64	yes	—
175	#124	—	2	96	no	—
176	#124	C₂⁴	1	64	yes	—
177	#123	—	2	256	no	—
178	C₂²⋊Q₈	—	2	256	no	—
179	#117	C₂×D₄	1	48	yes	—
180	#117	C₂⁴	1	16	yes	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	96	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	24	yes	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	96	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	24	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂⁴	1	12	yes	—
187	#97	C₂⁴	1	32	yes	—
188	C₄×C₈	C₂⁴	1	32	yes	—
189	C₂⁴	—	2	8	no	—
190	C₂⁴	—	2	12	no	—
191	C₂⁴	—	4	8	no	—
192	C₂⁴	—	4	16	no	—
193	C₂⁴	#127	1	8	yes	—
194	C₂⁴	C₂²×D₄	1	6	yes	—
195	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
196	#41	—	2	64	no	—
197	#41	—	2	64	no	—
198	#41	—	4	192	no	—
199	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
200	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
201	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
202	C₂×Q₈	—	2	48	no	—
203	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
204	C₂×Q₈	—	2	48	no	—
205	C₂×Q₈	—	2	64	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	64	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	96	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	48	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	192	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	24	no	—
212	C₂×Q₈	C₂⁵	1	16	yes	—
213	C₂×Q₈	C₂⁵	1	8	yes	—
214	C₂×D₄	—	2	32	no	—
215	C₂×D₄	—	2	24	no	—
216	C₂×D₄	—	2	24	no	—
217	C₂×D₄	—	2	12	no	—
218	C₂×D₄	—	4	96	no	—
219	C₂×D₄	—	4	24	no	—
220	C₂×D₄	C₂⁵	1	8	yes	—
221	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	96	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	96	no	—
230	C₂²×C₄	#127	1	8	yes	—
231	C₂²×C₄	#127	1	48	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	24	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	24	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	24	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂⁵	1	3	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂⁵	1	4	yes	—
242	Q₁₆	—	2	64	no	—
243	Q₁₆	—	2	64	no	—
244	Q₁₆	—	2	32	no	—
245	Q₁₆	—	2	128	no	—
246	SD₁₆	—	2	64	no	—
247	SD₁₆	—	2	128	no	—
248	D₈	—	2	32	no	—
249	M₁₆	C₂²×D₄	1	64	yes	—
250	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	24	yes	—
251	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	24	yes	—
252	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	64	yes	—
253	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	48	yes	—
254	C₂×C₈	C₂⁵	1	4	yes	—
255	C₂×C₈	C₂⁵	1	8	yes	—
256	C₂×C₈	C₂⁵	1	4	yes	—
257	C₄⋊C₄	—	2	128	no	—
258	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	32	yes	—
259	C₂²⋊C₄	—	2	128	no	—
260	C₂²⋊C₄	C₂²×D₄	1	32	yes	—
261	C₄²	C₂²×D₄	1	24	yes	—
262	C₄²	C₂⁵	1	8	yes	—
263	C₂³	—	2	32	no	—
264	C₂³	—	2	24	no	—
265	C₂³	—	2	8	no	—
266	C₂³	—	4	24	no	—
267	C₂³	—	4	48	no	—
268	C₂³	—	8	32	no	—
269	C₂³	C₂×#127	1	24	yes	—
270	C₂³	C₂×#127	1	4	yes	—
271	C₂³	#578	1	8	yes	—
272	C₂³	C₂³×D₄	1	4	yes	—
273	C₂³	C₂³×D₄	1	3	yes	—
274	Q₈	—	2	16	no	—
275	Q₈	—	2	8	no	—
276	Q₈	—	2	16	no	—
277	Q₈	—	2	8	no	—
278	Q₈	—	4	64	no	—
279	Q₈	—	4	48	no	—
280	Q₈	—	4	24	no	—
281	D₄	—	2	8	no	—
282	D₄	—	2	8	no	—
283	D₄	—	4	64	no	—
284	D₄	—	4	24	no	—
285	C₂×C₄	—	2	48	no	—
286	C₂×C₄	—	2	16	no	—
287	C₂×C₄	—	2	8	no	—
288	C₂×C₄	—	4	24	no	—
289	C₂×C₄	—	4	64	no	—
290	C₂×C₄	—	4	48	no	—
291	C₂×C₄	—	4	64	no	—
292	C₂×C₄	C₂×#127	1	24	yes	—
293	C₂×C₄	C₂×#127	1	12	yes	—
294	C₂×C₄	C₂×#127	1	48	yes	—
295	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	16	yes	—
296	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	6	yes	—
297	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	6	yes	—
298	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	8	yes	—
299	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	8	yes	—
300	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	3	yes	—
301	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	4	yes	—
302	C₂×C₄	C₂⁶	1	1	yes	characteristic
303	C₈	C₂³×D₄	1	8	yes	—
304	C₈	C₂³×D₄	1	8	yes	—
305	C₈	C₂³×D₄	1	16	yes	—
306	C₂²	—	2	8	no	—
307	C₂²	—	2	48	no	—
308	C₂²	—	4	16	no	—
309	C₂²	—	4	8	no	—
310	C₂²	—	8	48	no	—
311	C₂²	#3156	1	16	yes	direct product factor
312	C₂²	C₂²×#127	1	8	yes	—
313	C₂²	C₂²×#127	1	6	yes	—
314	C₂²	C₂×#578	1	12	yes	—
315	C₂²	C₂⁴×D₄	1	1	yes	characteristic
316	C₄	—	2	16	no	—
317	C₄	—	4	8	no	—
318	C₄	—	4	16	no	—
319	C₄	C₂²×#127	1	8	yes	—
320	C₄	C₂²×#127	1	6	yes	—
321	C₄	C₂⁴×D₄	1	1	yes	characteristic
322	C₄	C₂⁴×D₄	1	1	yes	characteristic
323	C₂	—	2	8	no	—
324	C₂	—	8	8	no	—
325	C₂	C₂×#3156	1	12	yes	direct product factor
326	C₂	C₂³×#127	1	1	yes	characteristic
327	C₂	C₂²×#578	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁶
prime radical	C₂³×#135	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂²×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂³×#137	C₂	semidirect
3. C₂⁴×Q₁₆	C₂	semidirect
4. C₂²×#536	C₂	semidirect
5. C₂×#3156	C₂	direct (N × H)
6. C₂²×#497	C₂	semidirect
7. C₂²×#495	C₂	semidirect
8. C₂²×#494	C₂	semidirect
9. C₂²×#405	C₂	semidirect
13. C₂²×#137	C₂²	semidirect
21. C₂³×Q₁₆	C₂²	semidirect
28. C₂×#536	C₂²	semidirect
34. #3156	C₂²	direct (N × H)
35. C₂×#497	C₂²	semidirect
36. C₂×#495	C₂²	semidirect
37. C₂×#494	C₂²	semidirect
38. C₂×#405	C₂²	semidirect
58. C₂×#137	C₂³	semidirect
70. C₂²×Q₁₆	C₂³	semidirect
85. #536	C₂³	semidirect
99. #497	C₂³	semidirect
100. #495	C₂³	semidirect
101. #494	C₂³	semidirect
102. #405	C₂³	semidirect
311. C₂²	#3156	direct (N × H)
325. C₂	C₂×#3156	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×#137	2
C₂³×#135	2
C₂⁴×Q₁₆	2
C₂²×#536	2
C₂×#3156	2
C₂²×#497	2
C₂²×#495	2
C₂²×#494	2
C₂²×#405	2

Subgroups — C22×#3156 #10575239

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#3156 #10575239