Subgroups — C₂²×#3199 #10575407

Order 512.

9502 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 313 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#535	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#3199	C₂	1	48	yes	maximal, direct product factor
3	C₂²×#482	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	C₂²×#469	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂²×#466	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂²×#447	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂²×#408	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂³×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂⁴×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
10	C₂³×D₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂³×D₈	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
13	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
14	C₂×#535	—	2	24	no	—
15	C₂×#535	C₂²	1	48	yes	complemented
16	C₂²×#127	—	2	2	no	—
17	C₂²×#124	—	2	2	no	—
18	C₂²×#121	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂²×#121	C₂²	1	4	yes	complemented
20	C₂²×#120	—	2	2	no	—
21	C₂²×#120	—	2	2	no	—
22	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	complemented
23	#3199	C₂²	1	256	yes	direct product factor
24	C₂×#482	C₂²	1	96	yes	complemented
25	C₂×#469	C₂²	1	48	yes	complemented
26	C₂×#466	C₂²	1	48	yes	complemented
27	C₂×#447	C₂²	1	96	yes	complemented
28	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	complemented
29	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	complemented
30	C₂²×#102	C₂²	1	4	yes	complemented
31	C₂²×#102	C₂²	1	4	yes	complemented
32	C₂×#408	C₂²	1	24	yes	complemented
33	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	complemented
34	C₂⁶	—	2	2	no	—
35	C₂²×#41	—	4	4	no	—
36	C₂²×#41	—	4	4	no	—
37	C₂²×#41	D₄	1	12	yes	—
38	C₂²×#41	C₂³	1	12	yes	—
39	C₂³×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×D₄	—	2	4	no	—
41	C₂³×D₄	—	2	4	no	—
42	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
43	C₂³×D₄	—	2	12	no	—
44	C₂³×D₄	—	4	8	no	—
45	C₂³×D₄	—	4	8	no	—
46	C₂³×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×D₄	D₄	1	2	yes	—
48	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂³×D₄	C₂³	1	24	yes	complemented
50	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×D₈	—	4	8	no	—
53	C₂²×D₈	—	4	8	no	—
54	C₂²×D₈	C₂³	1	24	yes	—
55	C₂²×D₈	C₂³	1	24	yes	—
56	C₂²×M₁₆	—	4	4	no	—
57	C₂²×M₁₆	C₂³	1	12	yes	complemented
58	C₂³×C₈	—	4	4	no	—
59	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂³×C₈	C₂³	1	12	yes	complemented
62	#535	—	2	192	no	—
63	#535	C₂³	1	128	yes	complemented
64	C₂×#127	—	2	48	no	—
65	C₂×#124	—	2	48	no	—
66	C₂×#121	—	2	24	no	—
67	C₂×#121	—	2	24	no	—
68	C₂×#121	C₂³	1	48	yes	—
69	C₂×#121	C₂³	1	48	yes	complemented
70	C₂×#120	—	2	48	no	—
71	C₂×#120	—	2	48	no	—
72	C₂×#117	—	2	12	no	—
73	C₂×#117	C₂³	1	24	yes	complemented
74	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
76	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
77	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
78	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
79	#482	C₂³	1	256	yes	complemented
80	#469	C₂³	1	128	yes	complemented
81	#466	C₂³	1	128	yes	complemented
82	#447	C₂³	1	256	yes	complemented
83	C₂×#107	C₂³	1	24	yes	complemented
84	C₂×#106	C₂³	1	24	yes	complemented
85	C₂×#102	C₂³	1	48	yes	complemented
86	C₂×#102	C₂³	1	48	yes	complemented
87	#408	C₂³	1	64	yes	complemented
88	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	48	yes	complemented
89	C₂⁵	—	2	4	no	—
90	C₂⁵	—	2	24	no	—
91	C₂⁵	—	4	16	no	—
92	C₂⁵	—	8	16	no	—
93	C₂⁵	C₂×D₄	1	2	yes	—
94	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂×#41	—	4	48	no	—
96	C₂×#41	—	4	24	no	—
97	C₂×#41	—	4	24	no	—
98	C₂×#41	C₂×D₄	1	48	yes	—
99	C₂×#41	C₂⁴	1	16	yes	—
100	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
101	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
102	C₂²×D₄	—	2	48	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	48	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	48	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
109	C₂²×D₄	—	4	48	no	—
110	C₂²×D₄	—	4	48	no	—
111	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
112	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
113	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
114	C₂²×D₄	—	4	96	no	—
115	C₂²×D₄	—	8	16	no	—
116	C₂²×D₄	—	8	16	no	—
117	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
118	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	24	yes	—
119	C₂²×D₄	C₂⁴	1	24	yes	—
120	C₂²×D₄	C₂⁴	1	32	yes	complemented
121	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
123	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
124	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
125	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
126	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
127	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
128	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
133	C₂×D₈	—	4	48	no	—
134	C₂×D₈	—	4	48	no	—
135	C₂×D₈	C₂⁴	1	32	yes	—
136	C₂×D₈	C₂⁴	1	32	yes	—
137	C₂×M₁₆	—	4	24	no	—
138	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	16	yes	complemented
139	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
141	C₂²×C₈	—	4	24	no	—
142	C₂²×C₈	C₂⁴	1	12	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂⁴	1	12	yes	—
144	C₂²×C₈	C₂⁴	1	16	yes	complemented
145	#127	—	2	128	no	—
146	#124	—	2	128	no	—
147	#121	—	2	96	no	—
148	#121	—	2	96	no	—
149	#121	C₂⁴	1	64	yes	—
150	#121	C₂⁴	1	64	yes	complemented
151	#120	—	2	128	no	—
152	#120	—	2	128	no	—
153	#117	—	2	48	no	—
154	#117	C₂⁴	1	32	yes	complemented
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	24	yes	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
161	#107	C₂⁴	1	32	yes	complemented
162	#106	C₂⁴	1	32	yes	complemented
163	#102	C₂⁴	1	64	yes	complemented
164	#102	C₂⁴	1	64	yes	complemented
165	C₂²⋊C₈	C₂⁴	1	64	yes	complemented
166	C₂⁴	—	2	8	no	—
167	C₂⁴	—	2	4	no	—
168	C₂⁴	—	2	8	no	—
169	C₂⁴	—	2	16	no	—
170	C₂⁴	—	2	24	no	—
171	C₂⁴	—	2	32	no	—
172	C₂⁴	—	4	96	no	—
173	C₂⁴	—	4	16	no	—
174	C₂⁴	—	4	16	no	—
175	C₂⁴	—	4	16	no	—
176	C₂⁴	—	8	96	no	—
177	C₂⁴	—	8	128	no	—
178	C₂⁴	C₂²×D₄	1	12	yes	—
179	C₂⁴	C₂²×D₄	1	6	yes	—
180	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
181	#41	—	4	96	no	—
182	#41	—	4	16	no	—
183	#41	—	4	16	no	—
184	C₂×Q₈	—	4	24	no	—
185	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	16	yes	—
186	C₂×D₄	—	2	64	no	—
187	C₂×D₄	—	2	64	no	—
188	C₂×D₄	—	2	24	no	—
189	C₂×D₄	—	2	32	no	—
190	C₂×D₄	—	2	48	no	—
191	C₂×D₄	—	2	48	no	—
192	C₂×D₄	—	4	32	no	—
193	C₂×D₄	—	4	32	no	—
194	C₂×D₄	—	4	48	no	—
195	C₂×D₄	—	4	24	no	—
196	C₂×D₄	—	4	96	no	—
197	C₂×D₄	—	4	192	no	—
198	C₂×D₄	—	4	48	no	—
199	C₂×D₄	—	8	96	no	—
200	C₂×D₄	—	8	96	no	—
201	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
202	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	32	yes	—
203	C₂×D₄	C₂⁵	1	16	yes	—
204	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
214	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	24	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
219	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂⁵	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂⁵	1	3	yes	—
224	D₈	—	4	32	no	—
225	D₈	—	4	32	no	—
226	M₁₆	—	4	16	no	—
227	C₂×C₈	—	2	24	no	—
228	C₂×C₈	—	2	24	no	—
229	C₂×C₈	—	4	16	no	—
230	C₂×C₈	C₂⁵	1	8	yes	—
231	C₂×C₈	C₂⁵	1	8	yes	—
232	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
233	C₄⋊C₄	C₂⁵	1	16	yes	—
234	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
237	C₄²	—	2	32	no	—
238	C₂³	—	2	24	no	—
239	C₂³	—	2	12	no	—
240	C₂³	—	2	24	no	—
241	C₂³	—	2	48	no	—
242	C₂³	—	2	16	no	—
243	C₂³	—	4	64	no	—
244	C₂³	—	4	16	no	—
245	C₂³	—	4	32	no	—
246	C₂³	—	4	48	no	—
247	C₂³	—	4	48	no	—
248	C₂³	—	4	48	no	—
249	C₂³	—	8	64	no	—
250	C₂³	—	8	384	no	—
251	C₂³	—	8	64	no	—
252	C₂³	#534	1	4	yes	—
253	C₂³	#576	1	8	yes	—
254	C₂³	C₂³×D₄	1	8	yes	—
255	C₂³	C₂³×D₄	1	4	yes	—
256	C₂³	C₂³×D₄	1	3	yes	—
257	Q₈	—	4	16	no	—
258	D₄	—	2	16	no	—
259	D₄	—	2	16	no	—
260	D₄	—	4	32	no	—
261	D₄	—	4	16	no	—
262	D₄	—	4	64	no	—
263	D₄	—	4	48	no	—
264	D₄	—	8	64	no	—
265	D₄	—	8	64	no	—
266	C₂×C₄	—	2	24	no	—
267	C₂×C₄	—	2	12	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂×C₄	—	2	8	no	—
271	C₂×C₄	—	2	8	no	—
272	C₂×C₄	—	2	48	no	—
273	C₂×C₄	—	2	24	no	—
274	C₂×C₄	—	2	16	no	—
275	C₂×C₄	—	4	48	no	—
276	C₂×C₄	#534	1	12	yes	—
277	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	8	yes	—
278	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	4	yes	—
279	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	3	yes	—
280	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
281	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
282	C₂×C₄	C₂⁶	1	1	yes	characteristic
283	C₈	—	2	8	no	—
284	C₈	—	2	8	no	—
285	C₂²	—	2	8	no	—
286	C₂²	—	2	16	no	—
287	C₂²	—	2	8	no	—
288	C₂²	—	2	4	no	—
289	C₂²	—	4	24	no	—
290	C₂²	—	4	48	no	—
291	C₂²	—	4	16	no	—
292	C₂²	—	4	16	no	—
293	C₂²	—	4	16	no	—
294	C₂²	—	8	128	no	—
295	C₂²	—	8	96	no	—
296	C₂²	#3199	1	16	yes	direct product factor
297	C₂²	C₂×#534	1	6	yes	—
298	C₂²	C₂×#576	1	12	yes	—
299	C₂²	C₂⁴×D₄	1	1	yes	characteristic
300	C₄	—	2	8	no	—
301	C₄	—	2	4	no	—
302	C₄	—	4	16	no	—
303	C₄	C₂×#534	1	6	yes	—
304	C₄	C₂²×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
305	C₄	C₂²×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
306	C₂	—	4	4	no	—
307	C₂	—	4	8	no	—
308	C₂	—	8	16	no	—
309	C₂	C₂×#3199	1	12	yes	direct product factor
310	C₂	C₂²×#534	1	1	yes	characteristic
311	C₂	C₂²×#576	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁶
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂³×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#535	C₂	semidirect
2. C₂×#3199	C₂	direct (N × H)
3. C₂²×#482	C₂	semidirect
4. C₂²×#469	C₂	semidirect
5. C₂²×#466	C₂	semidirect
6. C₂²×#447	C₂	semidirect
7. C₂²×#408	C₂	semidirect
9. C₂⁴×D₄	C₂²	semidirect
12. C₂³×M₁₆	C₂²	semidirect
13. C₂⁴×C₈	C₂²	semidirect
15. C₂×#535	C₂²	semidirect
19. C₂²×#121	C₂²	semidirect
22. C₂²×#117	C₂²	semidirect
23. #3199	C₂²	direct (N × H)
24. C₂×#482	C₂²	semidirect
25. C₂×#469	C₂²	semidirect
26. C₂×#466	C₂²	semidirect
27. C₂×#447	C₂²	semidirect
28. C₂²×#107	C₂²	semidirect
29. C₂²×#106	C₂²	semidirect
30. C₂²×#102	C₂²	semidirect
31. C₂²×#102	C₂²	semidirect
32. C₂×#408	C₂²	semidirect
33. C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	semidirect
49. C₂³×D₄	C₂³	semidirect
57. C₂²×M₁₆	C₂³	semidirect
61. C₂³×C₈	C₂³	semidirect
63. #535	C₂³	semidirect
69. C₂×#121	C₂³	semidirect
73. C₂×#117	C₂³	semidirect
79. #482	C₂³	semidirect
80. #469	C₂³	semidirect
81. #466	C₂³	semidirect
82. #447	C₂³	semidirect
83. C₂×#107	C₂³	semidirect
84. C₂×#106	C₂³	semidirect
85. C₂×#102	C₂³	semidirect
86. C₂×#102	C₂³	semidirect
87. #408	C₂³	semidirect
88. C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	semidirect
120. C₂²×D₄	C₂⁴	semidirect
138. C₂×M₁₆	C₂⁴	semidirect
144. C₂²×C₈	C₂⁴	semidirect
150. #121	C₂⁴	semidirect
154. #117	C₂⁴	semidirect
161. #107	C₂⁴	semidirect
162. #106	C₂⁴	semidirect
163. #102	C₂⁴	semidirect
164. #102	C₂⁴	semidirect
165. C₂²⋊C₈	C₂⁴	semidirect
296. C₂²	#3199	direct (N × H)
309. C₂	C₂×#3199	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#535	2
C₂×#3199	2
C₂²×#482	2
C₂²×#469	2
C₂²×#466	2
C₂²×#447	2
C₂²×#408	2

Subgroups — C22×#3199 #10575407

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#3199 #10575407