Subgroups — C₂²×#3210 #10575483

Order 512.

8110 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 389 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#533	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#3210	C₂	1	48	yes	maximal, direct product factor
4	C₂²×#494	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂²×#492	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂²×#487	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂²×#486	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂²×#464	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	C₂²×#452	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	C₂²×#431	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂³×#41	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂³×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#533	—	2	12	no	—
15	C₂×#533	C₂²	1	24	yes	complemented
16	C₂×#532	—	2	12	no	—
17	C₂×#532	C₂²	1	24	yes	—
18	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×#125	—	2	1	no	—
23	C₂²×#124	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
25	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂²×#121	—	2	1	no	—
27	C₂²×#121	—	2	1	no	—
28	C₂²×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
29	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂²×C₄×D₄	—	2	1	no	—
31	C₂²×C₄×D₄	—	2	1	no	—
32	C₂²×#117	—	2	1	no	—
33	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#3210	C₂²	1	256	yes	direct product factor
35	C₂×#494	C₂²	1	24	yes	complemented
36	C₂×#492	C₂²	1	24	yes	complemented
37	C₂×#487	C₂²	1	24	yes	complemented
38	C₂×#486	C₂²	1	24	yes	complemented
39	C₂×#464	C₂²	1	96	yes	complemented
40	C₂×#452	C₂²	1	96	yes	complemented
41	C₂×#431	C₂²	1	24	yes	complemented
42	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂²×#103	C₂²	1	4	yes	—
44	C₂²×#102	C₂²	1	4	yes	—
45	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×#41	—	2	12	no	—
49	C₂²×#41	—	4	16	no	—
50	C₂²×#41	C₂³	1	24	yes	—
51	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
52	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
55	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
56	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
57	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
59	C₂⁴×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂⁴×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×Q₁₆	—	4	16	no	—
63	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	48	yes	—
64	C₂²×SD₁₆	—	4	16	no	—
65	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	48	yes	—
66	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
68	#533	—	2	96	no	—
69	#533	C₂³	1	64	yes	complemented
70	#532	—	2	96	no	—
71	#532	C₂³	1	64	yes	—
72	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
73	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
74	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
75	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	12	yes	—
76	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	12	yes	—
77	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	12	yes	—
78	C₂×#127	—	2	6	no	—
79	C₂×#127	C₂³	1	12	yes	—
80	C₂×#125	—	2	24	no	—
81	C₂×#124	—	2	12	no	—
82	C₂×#124	C₂³	1	24	yes	—
83	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
84	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
85	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	24	yes	—
86	C₂×#121	—	2	24	no	—
87	C₂×#121	—	2	24	no	—
88	C₂×C₄×Q₈	—	2	24	no	—
89	C₂×C₄×Q₈	—	2	12	no	—
90	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	24	yes	—
91	C₂×C₄×D₄	—	2	24	no	—
92	C₂×C₄×D₄	—	2	24	no	—
93	C₂×#117	—	2	24	no	—
94	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
95	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
96	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
97	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
98	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
99	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
100	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
101	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
103	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
104	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
105	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂²×C₄²	D₄	1	12	yes	—
109	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×C₄²	C₂³	1	12	yes	—
112	#494	C₂³	1	64	yes	complemented
113	#492	C₂³	1	64	yes	complemented
114	#487	C₂³	1	64	yes	complemented
115	#486	C₂³	1	64	yes	complemented
116	#464	C₂³	1	256	yes	complemented
117	#452	C₂³	1	256	yes	complemented
118	#431	C₂³	1	64	yes	complemented
119	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	24	yes	—
120	C₂×#103	C₂³	1	48	yes	—
121	C₂×#102	C₂³	1	48	yes	—
122	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	24	yes	—
123	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	12	yes	—
124	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	12	yes	—
125	C₂⁵	—	2	2	no	—
126	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂×#41	—	2	48	no	—
128	C₂×#41	—	4	96	no	—
129	C₂×#41	—	4	96	no	—
130	C₂×#41	C₂⁴	1	32	yes	—
131	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
132	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
133	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
134	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
135	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
136	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
137	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	12	yes	—
138	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	12	yes	—
139	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
140	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
141	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
142	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
143	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
144	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
145	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
146	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
147	C₂²×D₄	C₂⁴	1	12	yes	—
148	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
149	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
150	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
151	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
152	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
153	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
154	C₂³×C₄	—	2	24	no	—
155	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
156	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
157	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
158	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
159	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
165	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
166	C₂×Q₁₆	—	4	96	no	—
167	C₂×Q₁₆	C₂⁴	1	64	yes	—
168	C₂×SD₁₆	—	4	96	no	—
169	C₂×SD₁₆	C₂⁴	1	64	yes	—
170	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
171	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
172	C₂²×C₈	C₂⁴	1	12	yes	—
173	C₂²×C₈	C₂⁴	1	12	yes	—
174	C₄⋊Q₈	—	2	24	no	—
175	C₄⋊Q₈	—	2	24	no	—
176	C₄⋊Q₈	—	2	24	no	—
177	C₄⋊Q₈	C₂⁴	1	16	yes	—
178	C₄⋊Q₈	C₂⁴	1	16	yes	—
179	C₄⋊Q₈	C₂⁴	1	16	yes	—
180	#127	—	2	24	no	—
181	#127	C₂⁴	1	16	yes	—
182	#125	—	2	64	no	—
183	#124	—	2	48	no	—
184	#124	C₂⁴	1	32	yes	—
185	C₂²⋊Q₈	—	2	64	no	—
186	C₂²⋊Q₈	—	2	48	no	—
187	C₂²⋊Q₈	C₂⁴	1	32	yes	—
188	#121	—	2	64	no	—
189	#121	—	2	64	no	—
190	C₄×Q₈	—	2	64	no	—
191	C₄×Q₈	—	2	48	no	—
192	C₄×Q₈	C₂⁴	1	32	yes	—
193	C₄×D₄	—	2	64	no	—
194	C₄×D₄	—	2	64	no	—
195	#117	—	2	64	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
204	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
205	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
206	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
207	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
208	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
209	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
210	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
211	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
212	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
213	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	48	yes	—
214	C₂×C₄²	C₂⁴	1	6	yes	—
215	C₂×C₄²	C₂⁴	1	6	yes	—
216	C₂×C₄²	C₂⁴	1	16	yes	—
217	C₄⋊C₈	C₂⁴	1	32	yes	—
218	#103	C₂⁴	1	64	yes	—
219	#102	C₂⁴	1	64	yes	—
220	C₂²⋊C₈	C₂⁴	1	32	yes	—
221	C₄×C₈	C₂⁴	1	16	yes	—
222	C₄×C₈	C₂⁴	1	16	yes	—
223	C₂⁴	—	2	4	no	—
224	C₂⁴	—	2	4	no	—
225	C₂⁴	—	2	4	no	—
226	C₂⁴	—	2	12	no	—
227	C₂⁴	—	4	8	no	—
228	C₂⁴	—	4	8	no	—
229	C₂⁴	—	4	8	no	—
230	C₂⁴	C₂²×D₄	1	6	yes	—
231	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
232	#41	—	4	64	no	—
233	#41	—	4	192	no	—
234	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
235	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
236	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
237	C₂×Q₈	—	2	48	no	—
238	C₂×Q₈	—	2	48	no	—
239	C₂×Q₈	—	4	24	no	—
240	C₂×Q₈	—	4	24	no	—
241	C₂×Q₈	—	4	48	no	—
242	C₂×Q₈	C₂⁵	1	8	yes	—
243	C₂×Q₈	C₂⁵	1	8	yes	—
244	C₂×D₄	—	2	32	no	—
245	C₂×D₄	—	2	16	no	—
246	C₂×D₄	—	2	16	no	—
247	C₂×D₄	—	2	12	no	—
248	C₂×D₄	—	2	48	no	—
249	C₂×D₄	—	4	96	no	—
250	C₂×D₄	—	4	24	no	—
251	C₂×D₄	—	4	48	no	—
252	C₂×D₄	—	4	48	no	—
253	C₂×D₄	C₂⁵	1	8	yes	—
254	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	96	no	—
266	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
267	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
269	C₂²×C₄	#135	1	8	yes	—
270	C₂²×C₄	#137	1	8	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
278	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
280	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
281	C₂²×C₄	C₂⁵	1	4	yes	—
282	C₂²×C₄	C₂⁵	1	3	yes	—
283	Q₁₆	—	4	64	no	—
284	SD₁₆	—	4	64	no	—
285	C₂×C₈	—	2	24	no	—
286	C₂×C₈	—	2	24	no	—
287	C₂×C₈	C₂⁵	1	8	yes	—
288	C₂×C₈	C₂⁵	1	8	yes	—
289	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
297	C₄⋊C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
298	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
301	C₄²	—	2	32	no	—
302	C₄²	C₂²×D₄	1	16	yes	—
303	C₄²	C₂²×D₄	1	16	yes	—
304	C₄²	C₂²×D₄	1	12	yes	—
305	C₄²	C₂²×D₄	1	12	yes	—
306	C₄²	C₂⁵	1	4	yes	—
307	C₄²	C₂⁵	1	4	yes	—
308	C₂³	—	2	12	no	—
309	C₂³	—	2	12	no	—
310	C₂³	—	2	12	no	—
311	C₂³	—	2	8	no	—
312	C₂³	—	4	16	no	—
313	C₂³	—	4	24	no	—
314	C₂³	—	4	24	no	—
315	C₂³	—	4	24	no	—
316	C₂³	—	8	32	no	—
317	C₂³	#535	1	4	yes	—
318	C₂³	C₂×#135	1	4	yes	—
319	C₂³	C₂×#137	1	4	yes	—
320	C₂³	C₂³×D₄	1	4	yes	—
321	C₂³	C₂³×D₄	1	3	yes	—
322	Q₈	—	2	16	no	—
323	Q₈	—	2	16	no	—
324	Q₈	—	4	24	no	—
325	Q₈	—	4	24	no	—
326	Q₈	—	4	32	no	—
327	D₄	—	2	16	no	—
328	D₄	—	4	64	no	—
329	D₄	—	4	24	no	—
330	D₄	—	4	32	no	—
331	D₄	—	4	32	no	—
332	C₂×C₄	—	2	12	no	—
333	C₂×C₄	—	2	12	no	—
334	C₂×C₄	—	2	12	no	—
335	C₂×C₄	—	2	8	no	—
336	C₂×C₄	—	2	24	no	—
337	C₂×C₄	—	2	32	no	—
338	C₂×C₄	—	2	32	no	—
339	C₂×C₄	—	2	8	no	—
340	C₂×C₄	—	2	8	no	—
341	C₂×C₄	—	2	8	no	—
342	C₂×C₄	—	4	64	no	—
343	C₂×C₄	—	4	24	no	—
344	C₂×C₄	—	4	24	no	—
345	C₂×C₄	—	4	24	no	—
346	C₂×C₄	#535	1	12	yes	—
347	C₂×C₄	C₂×#135	1	24	yes	—
348	C₂×C₄	C₂×#137	1	24	yes	—
349	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	4	yes	—
350	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	4	yes	—
351	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	4	yes	—
352	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	3	yes	—
353	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	4	yes	—
354	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	4	yes	—
355	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	12	yes	—
356	C₂×C₄	C₂⁶	1	1	yes	characteristic
357	C₈	—	2	8	no	—
358	C₈	—	2	8	no	—
359	C₂²	—	2	4	no	—
360	C₂²	—	2	4	no	—
361	C₂²	—	2	4	no	—
362	C₂²	—	4	24	no	—
363	C₂²	—	4	8	no	—
364	C₂²	—	4	8	no	—
365	C₂²	—	4	8	no	—
366	C₂²	—	8	48	no	—
367	C₂²	#3210	1	16	yes	direct product factor
368	C₂²	C₂×#535	1	6	yes	—
369	C₂²	C₂²×#135	1	6	yes	—
370	C₂²	C₂²×#137	1	6	yes	—
371	C₂²	C₂⁴×D₄	1	1	yes	characteristic
372	C₄	—	2	4	no	—
373	C₄	—	2	4	no	—
374	C₄	—	2	4	no	—
375	C₄	—	4	8	no	—
376	C₄	—	4	8	no	—
377	C₄	—	4	8	no	—
378	C₄	C₂×#535	1	6	yes	—
379	C₄	C₂²×#135	1	8	yes	—
380	C₄	C₂²×#137	1	8	yes	—
381	C₄	C₂²×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
382	C₂	—	4	4	no	—
383	C₂	—	8	8	no	—
384	C₂	C₂×#3210	1	12	yes	direct product factor
385	C₂	C₂²×#535	1	1	yes	characteristic
386	C₂	C₂³×#135	1	1	yes	characteristic
387	C₂	C₂³×#137	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁶
prime radical	C₂²×#532	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#533	C₂	semidirect
3. C₂×#3210	C₂	direct (N × H)
4. C₂²×#494	C₂	semidirect
5. C₂²×#492	C₂	semidirect
6. C₂²×#487	C₂	semidirect
7. C₂²×#486	C₂	semidirect
8. C₂²×#464	C₂	semidirect
9. C₂²×#452	C₂	semidirect
10. C₂²×#431	C₂	semidirect
15. C₂×#533	C₂²	semidirect
34. #3210	C₂²	direct (N × H)
35. C₂×#494	C₂²	semidirect
36. C₂×#492	C₂²	semidirect
37. C₂×#487	C₂²	semidirect
38. C₂×#486	C₂²	semidirect
39. C₂×#464	C₂²	semidirect
40. C₂×#452	C₂²	semidirect
41. C₂×#431	C₂²	semidirect
69. #533	C₂³	semidirect
112. #494	C₂³	semidirect
113. #492	C₂³	semidirect
114. #487	C₂³	semidirect
115. #486	C₂³	semidirect
116. #464	C₂³	semidirect
117. #452	C₂³	semidirect
118. #431	C₂³	semidirect
367. C₂²	#3210	direct (N × H)
384. C₂	C₂×#3210	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#533	2
C₂²×#532	2
C₂×#3210	2
C₂²×#494	2
C₂²×#492	2
C₂²×#487	2
C₂²×#486	2
C₂²×#464	2
C₂²×#452	2
C₂²×#431	2

Subgroups — C22×#3210 #10575483

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#3210 #10575483