Subgroups — C₂²×#3228 #10575683

Order 512.

7678 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 377 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#533	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#3228	C₂	1	48	yes	maximal, direct product factor
4	C₂²×#500	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂²×#498	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂²×#486	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂²×#486	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂²×#482	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	C₂²×#478	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	C₂²×#431	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂³×#41	—	2	1	no	—
12	C₂×#533	—	2	12	no	—
13	C₂×#533	C₂²	1	24	yes	complemented
14	C₂×#532	—	2	12	no	—
15	C₂×#532	C₂²	1	24	yes	—
16	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×#125	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×#124	—	2	1	no	—
22	C₂²×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
23	C₂²×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
24	C₂²×#121	—	2	1	no	—
25	C₂²×#121	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂²×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
27	C₂²×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
28	C₂²×C₄×D₄	—	2	1	no	—
29	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#3228	C₂²	1	256	yes	direct product factor
33	C₂×#500	C₂²	1	24	yes	complemented
34	C₂×#498	C₂²	1	24	yes	complemented
35	C₂×#486	C₂²	1	24	yes	complemented
36	C₂×#486	C₂²	1	24	yes	complemented
37	C₂×#482	C₂²	1	96	yes	complemented
38	C₂×#478	C₂²	1	96	yes	complemented
39	C₂×#431	C₂²	1	24	yes	complemented
40	C₂²×#107	C₂²	1	4	yes	—
41	C₂²×#106	C₂²	1	4	yes	—
42	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂²×#102	C₂²	1	4	yes	—
44	C₂²×#102	C₂²	1	4	yes	—
45	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×#41	—	2	24	no	—
49	C₂²×#41	—	4	16	no	—
50	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
51	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
52	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
53	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
54	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
55	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
56	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
58	C₂⁴×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂⁴×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
63	#533	—	2	96	no	—
64	#533	C₂³	1	64	yes	complemented
65	#532	—	2	96	no	—
66	#532	C₂³	1	64	yes	—
67	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
68	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
69	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
70	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	12	yes	—
71	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	12	yes	—
72	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	12	yes	—
73	C₂×#127	—	2	6	no	—
74	C₂×#127	C₂³	1	12	yes	—
75	C₂×#125	—	2	12	no	—
76	C₂×#125	C₂³	1	24	yes	—
77	C₂×#124	—	2	24	no	—
78	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
79	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
80	C₂×#121	—	2	24	no	—
81	C₂×#121	—	2	12	no	—
82	C₂×#121	C₂³	1	24	yes	—
83	C₂×C₄×Q₈	—	2	24	no	—
84	C₂×C₄×Q₈	—	2	24	no	—
85	C₂×C₄×D₄	—	2	24	no	—
86	C₂×C₄×D₄	—	2	12	no	—
87	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	24	yes	—
88	C₂×#117	—	2	12	no	—
89	C₂×#117	C₂³	1	24	yes	—
90	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
91	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
92	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
93	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
94	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
95	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
99	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
100	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
101	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
102	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×C₄²	D₄	1	12	yes	—
105	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×C₄²	C₂³	1	12	yes	—
108	#500	C₂³	1	64	yes	complemented
109	#498	C₂³	1	64	yes	complemented
110	#486	C₂³	1	64	yes	complemented
111	#486	C₂³	1	64	yes	complemented
112	#482	C₂³	1	256	yes	complemented
113	#478	C₂³	1	256	yes	complemented
114	#431	C₂³	1	64	yes	complemented
115	C₂×#107	C₂³	1	48	yes	—
116	C₂×#106	C₂³	1	48	yes	—
117	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	24	yes	—
118	C₂×#102	C₂³	1	48	yes	—
119	C₂×#102	C₂³	1	48	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	24	yes	—
121	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	12	yes	—
122	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	12	yes	—
123	C₂⁵	—	2	2	no	—
124	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂×#41	—	2	64	no	—
126	C₂×#41	—	4	192	no	—
127	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
128	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
129	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
130	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
131	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
132	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
133	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
134	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
135	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
136	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
137	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
138	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
139	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
140	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
141	C₂²×D₄	C₂⁴	1	12	yes	—
142	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
143	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
144	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
145	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
146	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
147	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
148	C₂³×C₄	—	2	24	no	—
149	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
150	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
151	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
152	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
153	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
159	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
161	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
162	C₂²×C₈	C₂⁴	1	12	yes	—
163	C₂²×C₈	C₂⁴	1	12	yes	—
164	C₄⋊Q₈	—	2	24	no	—
165	C₄⋊Q₈	—	2	24	no	—
166	C₄⋊Q₈	—	2	24	no	—
167	C₄⋊Q₈	C₂⁴	1	16	yes	—
168	C₄⋊Q₈	C₂⁴	1	16	yes	—
169	C₄⋊Q₈	C₂⁴	1	16	yes	—
170	#127	—	2	24	no	—
171	#127	C₂⁴	1	16	yes	—
172	#125	—	2	48	no	—
173	#125	C₂⁴	1	32	yes	—
174	#124	—	2	64	no	—
175	C₂²⋊Q₈	—	2	64	no	—
176	C₂²⋊Q₈	—	2	64	no	—
177	#121	—	2	64	no	—
178	#121	—	2	48	no	—
179	#121	C₂⁴	1	32	yes	—
180	C₄×Q₈	—	2	64	no	—
181	C₄×Q₈	—	2	64	no	—
182	C₄×D₄	—	2	64	no	—
183	C₄×D₄	—	2	48	no	—
184	C₄×D₄	C₂⁴	1	32	yes	—
185	#117	—	2	48	no	—
186	#117	C₂⁴	1	32	yes	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
196	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
197	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
201	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
202	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
203	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
204	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
205	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
206	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	48	yes	—
207	C₂×C₄²	C₂⁴	1	6	yes	—
208	C₂×C₄²	C₂⁴	1	6	yes	—
209	C₂×C₄²	C₂⁴	1	16	yes	—
210	#107	C₂⁴	1	64	yes	—
211	#106	C₂⁴	1	64	yes	—
212	C₄⋊C₈	C₂⁴	1	32	yes	—
213	#102	C₂⁴	1	64	yes	—
214	#102	C₂⁴	1	64	yes	—
215	C₂²⋊C₈	C₂⁴	1	32	yes	—
216	C₄×C₈	C₂⁴	1	16	yes	—
217	C₄×C₈	C₂⁴	1	16	yes	—
218	C₂⁴	—	2	4	no	—
219	C₂⁴	—	2	4	no	—
220	C₂⁴	—	2	4	no	—
221	C₂⁴	—	2	12	no	—
222	C₂⁴	—	4	8	no	—
223	C₂⁴	—	4	8	no	—
224	C₂⁴	—	4	8	no	—
225	C₂⁴	C₂²×D₄	1	6	yes	—
226	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
227	#41	—	4	256	no	—
228	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
231	C₂×Q₈	—	4	48	no	—
232	C₂×Q₈	—	4	48	no	—
233	C₂×Q₈	—	4	48	no	—
234	C₂×D₄	—	2	32	no	—
235	C₂×D₄	—	2	12	no	—
236	C₂×D₄	—	2	16	no	—
237	C₂×D₄	—	2	16	no	—
238	C₂×D₄	—	2	48	no	—
239	C₂×D₄	—	4	96	no	—
240	C₂×D₄	—	4	24	no	—
241	C₂×D₄	—	4	48	no	—
242	C₂×D₄	—	4	48	no	—
243	C₂×D₄	C₂⁵	1	8	yes	—
244	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	96	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
259	C₂²×C₄	#135	1	8	yes	—
260	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
270	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	8	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂⁵	1	4	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂⁵	1	3	yes	—
273	C₂×C₈	—	2	24	no	—
274	C₂×C₈	—	2	24	no	—
275	C₂×C₈	C₂⁵	1	8	yes	—
276	C₂×C₈	C₂⁵	1	8	yes	—
277	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
285	C₄⋊C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
286	C₄⋊C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
287	C₄⋊C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
288	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
291	C₄²	—	2	32	no	—
292	C₄²	C₂²×D₄	1	16	yes	—
293	C₄²	C₂²×D₄	1	12	yes	—
294	C₄²	C₂²×D₄	1	16	yes	—
295	C₄²	C₂²×D₄	1	12	yes	—
296	C₄²	C₂⁵	1	4	yes	—
297	C₄²	C₂⁵	1	4	yes	—
298	C₂³	—	2	12	no	—
299	C₂³	—	2	12	no	—
300	C₂³	—	2	12	no	—
301	C₂³	—	2	8	no	—
302	C₂³	—	4	16	no	—
303	C₂³	—	4	24	no	—
304	C₂³	—	4	24	no	—
305	C₂³	—	4	24	no	—
306	C₂³	—	8	32	no	—
307	C₂³	#536	1	4	yes	—
308	C₂³	C₂×#135	1	4	yes	—
309	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
310	C₂³	C₂³×D₄	1	4	yes	—
311	C₂³	C₂³×D₄	1	3	yes	—
312	Q₈	—	4	32	no	—
313	Q₈	—	4	32	no	—
314	Q₈	—	4	32	no	—
315	D₄	—	2	16	no	—
316	D₄	—	4	64	no	—
317	D₄	—	4	24	no	—
318	D₄	—	4	32	no	—
319	D₄	—	4	32	no	—
320	C₂×C₄	—	2	12	no	—
321	C₂×C₄	—	2	12	no	—
322	C₂×C₄	—	2	12	no	—
323	C₂×C₄	—	2	8	no	—
324	C₂×C₄	—	2	24	no	—
325	C₂×C₄	—	2	32	no	—
326	C₂×C₄	—	2	32	no	—
327	C₂×C₄	—	2	8	no	—
328	C₂×C₄	—	2	8	no	—
329	C₂×C₄	—	2	8	no	—
330	C₂×C₄	—	4	64	no	—
331	C₂×C₄	—	4	24	no	—
332	C₂×C₄	—	4	24	no	—
333	C₂×C₄	—	4	24	no	—
334	C₂×C₄	#536	1	12	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×#135	1	24	yes	—
336	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	24	yes	—
337	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	4	yes	—
338	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	4	yes	—
339	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	4	yes	—
340	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	3	yes	—
341	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	4	yes	—
342	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	4	yes	—
343	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	12	yes	—
344	C₂×C₄	C₂⁶	1	1	yes	characteristic
345	C₈	—	2	8	no	—
346	C₈	—	2	8	no	—
347	C₂²	—	2	4	no	—
348	C₂²	—	2	4	no	—
349	C₂²	—	2	4	no	—
350	C₂²	—	4	24	no	—
351	C₂²	—	4	8	no	—
352	C₂²	—	4	8	no	—
353	C₂²	—	4	8	no	—
354	C₂²	—	8	48	no	—
355	C₂²	#3228	1	16	yes	direct product factor
356	C₂²	C₂×#536	1	6	yes	—
357	C₂²	C₂²×#135	1	6	yes	—
358	C₂²	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	6	yes	—
359	C₂²	C₂⁴×D₄	1	1	yes	characteristic
360	C₄	—	2	4	no	—
361	C₄	—	2	4	no	—
362	C₄	—	2	4	no	—
363	C₄	—	4	8	no	—
364	C₄	—	4	8	no	—
365	C₄	—	4	8	no	—
366	C₄	C₂×#536	1	6	yes	—
367	C₄	C₂²×#135	1	8	yes	—
368	C₄	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
369	C₄	C₂²×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
370	C₂	—	4	4	no	—
371	C₂	—	8	8	no	—
372	C₂	C₂×#3228	1	12	yes	direct product factor
373	C₂	C₂²×#536	1	1	yes	characteristic
374	C₂	C₂³×#135	1	1	yes	characteristic
375	C₂	C₂³×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁶
prime radical	C₂²×#532	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#533	C₂	semidirect
3. C₂×#3228	C₂	direct (N × H)
4. C₂²×#500	C₂	semidirect
5. C₂²×#498	C₂	semidirect
6. C₂²×#486	C₂	semidirect
7. C₂²×#486	C₂	semidirect
8. C₂²×#482	C₂	semidirect
9. C₂²×#478	C₂	semidirect
10. C₂²×#431	C₂	semidirect
13. C₂×#533	C₂²	semidirect
32. #3228	C₂²	direct (N × H)
33. C₂×#500	C₂²	semidirect
34. C₂×#498	C₂²	semidirect
35. C₂×#486	C₂²	semidirect
36. C₂×#486	C₂²	semidirect
37. C₂×#482	C₂²	semidirect
38. C₂×#478	C₂²	semidirect
39. C₂×#431	C₂²	semidirect
64. #533	C₂³	semidirect
108. #500	C₂³	semidirect
109. #498	C₂³	semidirect
110. #486	C₂³	semidirect
111. #486	C₂³	semidirect
112. #482	C₂³	semidirect
113. #478	C₂³	semidirect
114. #431	C₂³	semidirect
355. C₂²	#3228	direct (N × H)
372. C₂	C₂×#3228	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#533	2
C₂²×#532	2
C₂×#3228	2
C₂²×#500	2
C₂²×#498	2
C₂²×#486	2
C₂²×#482	2
C₂²×#478	2
C₂²×#431	2

Subgroups — C22×#3228 #10575683

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#3228 #10575683