Subgroups — C₂²×#3291 #10576166

Order 512.

10450 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 342 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#577	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
2	C₂×#3291	C₂	1	48	yes	maximal, direct product factor
3	C₂²×#492	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂²×#471	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₂²×#456	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂²×#453	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂²×#443	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂²×2₋¹⁺⁴	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	2	yes	complemented
10	C₂×#577	—	2	48	no	—
11	C₂×#577	C₂²	1	96	yes	complemented
12	C₂²×#137	—	2	4	no	—
13	C₂²×#137	C₂²	1	4	yes	complemented
14	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
15	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂²×#135	—	2	4	no	—
17	C₂²×#135	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂³×SD₁₆	—	2	4	no	—
19	C₂³×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
20	C₂²×#131	C₂²	1	4	yes	complemented
21	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
22	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#3291	C₂²	1	256	yes	direct product factor
24	C₂×#492	C₂²	1	24	yes	complemented
25	C₂×#471	C₂²	1	96	yes	complemented
26	C₂×#456	C₂²	1	48	yes	complemented
27	C₂×#453	C₂²	1	48	yes	complemented
28	C₂×#443	C₂²	1	48	yes	complemented
29	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	complemented
30	C₂²×#104	C₂²	1	4	yes	complemented
31	C₂²×#101	C₂²	1	2	yes	complemented
32	C₂²×#100	C₂²	1	2	yes	complemented
33	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
34	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	24	no	—
35	C₂×2₋¹⁺⁴	—	4	6	no	—
36	C₂×2₋¹⁺⁴	C₂³	1	24	yes	—
37	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	24	no	—
38	C₂×H(5,𝔽₂)	—	4	6	no	—
39	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂³	1	24	yes	complemented
40	C₂²×#41	—	2	4	no	—
41	C₂²×#41	—	2	4	no	—
42	C₂²×#41	—	4	2	no	—
43	C₂²×#41	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂³×Q₈	—	2	4	no	—
45	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂³×D₄	—	2	4	no	—
47	C₂³×D₄	—	4	1	no	—
48	C₂³×D₄	—	4	2	no	—
49	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
50	#577	—	2	384	no	—
51	#577	C₂³	1	256	yes	complemented
52	C₂×#137	—	2	24	no	—
53	C₂×#137	—	2	96	no	—
54	C₂×#137	C₂³	1	48	yes	complemented
55	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	24	no	—
56	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	96	no	—
57	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂³	1	48	yes	—
58	C₂×#135	—	2	96	no	—
59	C₂×#135	D₄	1	24	yes	complemented
60	C₂×#135	C₂³	1	24	yes	—
61	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
62	C₂²×Q₁₆	D₄	1	2	yes	complemented
63	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
64	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
65	C₂²×SD₁₆	—	2	96	no	—
66	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
67	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
68	C₂²×SD₁₆	—	2	24	no	—
69	C₂²×SD₁₆	D₄	1	4	yes	complemented
70	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	48	yes	complemented
71	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
72	C₂²×D₈	D₄	1	2	yes	complemented
73	C₂×#131	—	2	24	no	—
74	C₂×#131	C₂³	1	48	yes	complemented
75	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
76	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
77	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
78	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	3	no	—
80	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	12	yes	complemented
81	C₂×#127	—	4	3	no	—
82	C₂×#127	C₂³	1	12	yes	—
83	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
84	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	#492	C₂³	1	64	yes	complemented
86	#471	C₂³	1	256	yes	complemented
87	#456	C₂³	1	128	yes	complemented
88	#453	C₂³	1	128	yes	complemented
89	#443	C₂³	1	128	yes	complemented
90	C₂×#108	C₂³	1	24	yes	complemented
91	C₂×#104	C₂³	1	48	yes	complemented
92	C₂×#101	C₂³	1	24	yes	complemented
93	C₂×#100	C₂³	1	24	yes	complemented
94	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	12	yes	complemented
95	C₂⁵	—	2	2	no	—
96	C₂⁵	—	4	2	no	—
97	2₋¹⁺⁴	—	2	96	no	—
98	2₋¹⁺⁴	—	4	24	no	—
99	2₋¹⁺⁴	—	4	48	no	—
100	2₋¹⁺⁴	C₂⁴	1	32	yes	—
101	H(5,𝔽₂)	—	2	96	no	—
102	H(5,𝔽₂)	—	4	24	no	—
103	H(5,𝔽₂)	—	4	48	no	—
104	H(5,𝔽₂)	C₂⁴	1	32	yes	complemented
105	C₂×#41	—	2	12	no	—
106	C₂×#41	—	2	12	no	—
107	C₂×#41	—	2	48	no	—
108	C₂×#41	—	2	48	no	—
109	C₂×#41	—	4	24	no	—
110	C₂×#41	—	4	24	no	—
111	C₂×#41	—	4	24	no	—
112	C₂×#41	—	4	24	no	—
113	C₂×#41	C₂×D₄	1	24	yes	—
114	C₂×#41	C₂⁴	1	24	yes	—
115	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
116	C₂²×Q₈	—	2	48	no	—
117	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
118	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
119	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
120	C₂²×Q₈	—	4	24	no	—
121	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
122	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	12	yes	—
123	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	48	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
127	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
128	C₂²×D₄	—	4	24	no	—
129	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
130	C₂²×D₄	—	4	12	no	—
131	C₂²×D₄	—	4	24	no	—
132	C₂²×D₄	—	4	24	no	—
133	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
134	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
135	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
136	C₂²×D₄	C₂⁴	1	12	yes	—
137	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
138	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
139	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
140	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
141	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
142	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
143	#137	—	2	96	no	—
144	#137	—	2	256	no	—
145	#137	C₂⁴	1	64	yes	complemented
146	AGL(1,ℤ/8)	—	2	96	no	—
147	AGL(1,ℤ/8)	—	2	256	no	—
148	AGL(1,ℤ/8)	C₂⁴	1	64	yes	—
149	#135	—	2	256	no	—
150	#135	C₂×D₄	1	96	yes	complemented
151	#135	C₂⁴	1	32	yes	—
152	C₂×Q₁₆	—	2	48	no	—
153	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	24	yes	complemented
154	C₂×SD₁₆	—	2	48	no	—
155	C₂×SD₁₆	—	2	48	no	—
156	C₂×SD₁₆	—	2	256	no	—
157	C₂×SD₁₆	—	2	48	no	—
158	C₂×SD₁₆	—	2	48	no	—
159	C₂×SD₁₆	—	2	96	no	—
160	C₂×SD₁₆	C₂×D₄	1	48	yes	complemented
161	C₂×SD₁₆	C₂⁴	1	64	yes	complemented
162	C₂×D₈	—	2	48	no	—
163	C₂×D₈	C₂×D₄	1	24	yes	complemented
164	#131	—	2	96	no	—
165	#131	C₂⁴	1	64	yes	complemented
166	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
167	C₂×M₁₆	—	2	48	no	—
168	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	24	yes	—
169	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₈	—	2	48	no	—
171	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
174	C₂²×C₈	C₂⁴	1	12	yes	—
175	C₄⋊Q₈	—	4	12	no	—
176	C₄⋊Q₈	C₂⁴	1	16	yes	complemented
177	#127	—	4	12	no	—
178	#127	C₂⁴	1	16	yes	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
181	C₂×C₄²	C₂⁴	1	6	yes	—
182	#108	C₂⁴	1	32	yes	complemented
183	#104	C₂⁴	1	64	yes	complemented
184	#101	C₂⁴	1	32	yes	complemented
185	#100	C₂⁴	1	32	yes	complemented
186	C₄×C₈	C₂⁴	1	16	yes	complemented
187	C₂⁴	—	2	4	no	—
188	C₂⁴	—	2	12	no	—
189	C₂⁴	—	4	24	no	—
190	C₂⁴	—	4	2	no	—
191	C₂⁴	—	4	6	no	—
192	C₂⁴	—	8	8	no	—
193	C₂⁴	—	16	8	no	—
194	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
195	#41	—	2	48	no	—
196	#41	—	2	24	no	—
197	#41	—	2	24	no	—
198	#41	—	2	64	no	—
199	#41	—	2	64	no	—
200	#41	—	4	32	no	—
201	#41	—	4	96	no	—
202	#41	—	4	96	no	—
203	#41	—	4	96	no	—
204	#41	C₂²×D₄	1	48	yes	—
205	#41	C₂⁵	1	16	yes	—
206	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
208	C₂×Q₈	—	2	64	no	—
209	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
210	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	24	no	—
212	C₂×Q₈	—	4	96	no	—
213	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
214	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
215	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	24	yes	—
216	C₂×Q₈	C₂⁵	1	8	yes	—
217	C₂×D₄	—	2	24	no	—
218	C₂×D₄	—	2	24	no	—
219	C₂×D₄	—	2	64	no	—
220	C₂×D₄	—	2	12	no	—
221	C₂×D₄	—	2	24	no	—
222	C₂×D₄	—	2	24	no	—
223	C₂×D₄	—	2	12	no	—
224	C₂×D₄	—	4	96	no	—
225	C₂×D₄	—	4	48	no	—
226	C₂×D₄	—	4	16	no	—
227	C₂×D₄	—	4	32	no	—
228	C₂×D₄	—	4	96	no	—
229	C₂×D₄	—	4	24	no	—
230	C₂×D₄	—	4	12	no	—
231	C₂×D₄	—	4	12	no	—
232	C₂×D₄	—	8	48	no	—
233	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	24	yes	—
234	C₂×D₄	C₂⁵	1	8	yes	—
235	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	48	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂⁵	1	3	yes	—
249	Q₁₆	—	2	64	no	—
250	Q₁₆	C₂²×D₄	1	32	yes	complemented
251	SD₁₆	—	2	64	no	—
252	SD₁₆	—	2	64	no	—
253	SD₁₆	—	2	64	no	—
254	SD₁₆	—	2	64	no	—
255	SD₁₆	C₂²×D₄	1	64	yes	complemented
256	D₈	—	2	64	no	—
257	D₈	C₂²×D₄	1	32	yes	complemented
258	M₁₆	—	2	24	no	—
259	M₁₆	—	2	64	no	—
260	M₁₆	C₂⁵	1	16	yes	—
261	C₂×C₈	—	2	24	no	—
262	C₂×C₈	—	2	64	no	—
263	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	12	yes	—
264	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	12	yes	—
265	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	24	yes	—
266	C₂×C₈	C₂⁵	1	8	yes	—
267	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
268	C₄²	—	2	6	no	—
269	C₄²	C₂⁵	1	4	yes	—
270	C₂³	—	2	4	no	—
271	C₂³	—	2	24	no	—
272	C₂³	—	2	8	no	—
273	C₂³	—	4	32	no	—
274	C₂³	—	4	16	no	—
275	C₂³	—	4	12	no	—
276	C₂³	—	4	12	no	—
277	C₂³	—	8	24	no	—
278	C₂³	—	8	8	no	—
279	C₂³	—	16	12	no	—
280	C₂³	—	16	48	no	—
281	C₂³	D₄²	1	3	yes	—
282	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
283	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
284	Q₈	—	2	24	no	—
285	Q₈	—	2	16	no	—
286	Q₈	—	4	32	no	—
287	Q₈	—	4	24	no	—
288	Q₈	C₂³×D₄	1	16	yes	—
289	D₄	—	2	16	no	—
290	D₄	—	2	48	no	—
291	D₄	—	2	16	no	—
292	D₄	—	2	24	no	—
293	D₄	—	4	64	no	—
294	D₄	—	4	32	no	—
295	D₄	—	4	24	no	—
296	D₄	—	8	32	no	—
297	D₄	C₂³×D₄	1	16	yes	—
298	C₂×C₄	—	2	24	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	24	no	—
301	C₂×C₄	—	2	16	no	—
302	C₂×C₄	—	2	48	no	—
303	C₂×C₄	—	2	8	no	—
304	C₂×C₄	—	4	32	no	—
305	C₂×C₄	—	4	64	no	—
306	C₂×C₄	—	4	12	no	—
307	C₂×C₄	—	4	12	no	—
308	C₂×C₄	D₄²	1	6	yes	—
309	C₂×C₄	D₄²	1	6	yes	—
310	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	6	yes	—
311	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	6	yes	—
312	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
313	C₂×C₄	C₂⁶	1	1	yes	characteristic
314	C₈	—	2	16	no	—
315	C₈	C₂³×D₄	1	8	yes	—
316	C₈	C₂³×D₄	1	8	yes	—
317	C₂²	—	2	6	no	—
318	C₂²	—	2	6	no	—
319	C₂²	—	2	16	no	—
320	C₂²	—	4	48	no	—
321	C₂²	—	4	8	no	—
322	C₂²	—	8	8	no	—
323	C₂²	—	8	24	no	—
324	C₂²	—	16	12	no	—
325	C₂²	—	16	32	no	—
326	C₂²	#3291	1	4	yes	direct product factor
327	C₂²	C₂×D₄²	1	3	yes	—
328	C₂²	C₂×D₄²	1	3	yes	—
329	C₂²	C₂²×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
330	C₄	—	2	8	no	—
331	C₄	—	2	16	no	—
332	C₄	—	4	8	no	—
333	C₄	C₂×D₄²	1	6	yes	—
334	C₄	C₂⁴×D₄	1	2	yes	—
335	C₂	—	2	1	no	—
336	C₂	—	2	3	no	—
337	C₂	—	4	16	no	—
338	C₂	—	8	8	no	—
339	C₂	C₂×#3291	1	6	yes	direct product factor
340	C₂	C₂²×D₄²	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁶
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#577	C₂	semidirect
2. C₂×#3291	C₂	direct (N × H)
3. C₂²×#492	C₂	semidirect
4. C₂²×#471	C₂	semidirect
5. C₂²×#456	C₂	semidirect
6. C₂²×#453	C₂	semidirect
7. C₂²×#443	C₂	semidirect
9. C₂²×H(5,𝔽₂)	C₂²	semidirect
11. C₂×#577	C₂²	semidirect
13. C₂²×#137	C₂²	semidirect
19. C₂³×SD₁₆	C₂²	semidirect
20. C₂²×#131	C₂²	semidirect
21. C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
23. #3291	C₂²	direct (N × H)
24. C₂×#492	C₂²	semidirect
25. C₂×#471	C₂²	semidirect
26. C₂×#456	C₂²	semidirect
27. C₂×#453	C₂²	semidirect
28. C₂×#443	C₂²	semidirect
29. C₂²×#108	C₂²	semidirect
30. C₂²×#104	C₂²	semidirect
31. C₂²×#101	C₂²	semidirect
32. C₂²×#100	C₂²	semidirect
33. C₂²×C₄×C₈	C₂²	semidirect
39. C₂×H(5,𝔽₂)	C₂³	semidirect
51. #577	C₂³	semidirect
54. C₂×#137	C₂³	semidirect
59. C₂×#135	D₄	semidirect
62. C₂²×Q₁₆	D₄	semidirect
69. C₂²×SD₁₆	D₄	semidirect
70. C₂²×SD₁₆	C₂³	semidirect
72. C₂²×D₈	D₄	semidirect
74. C₂×#131	C₂³	semidirect
80. C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	semidirect
85. #492	C₂³	semidirect
86. #471	C₂³	semidirect
87. #456	C₂³	semidirect
88. #453	C₂³	semidirect
89. #443	C₂³	semidirect
90. C₂×#108	C₂³	semidirect
91. C₂×#104	C₂³	semidirect
92. C₂×#101	C₂³	semidirect
93. C₂×#100	C₂³	semidirect
94. C₂×C₄×C₈	C₂³	semidirect
104. H(5,𝔽₂)	C₂⁴	semidirect
145. #137	C₂⁴	semidirect
150. #135	C₂×D₄	semidirect
153. C₂×Q₁₆	C₂×D₄	semidirect
160. C₂×SD₁₆	C₂×D₄	semidirect
161. C₂×SD₁₆	C₂⁴	semidirect
163. C₂×D₈	C₂×D₄	semidirect
165. #131	C₂⁴	semidirect
176. C₄⋊Q₈	C₂⁴	semidirect
182. #108	C₂⁴	semidirect
183. #104	C₂⁴	semidirect
184. #101	C₂⁴	semidirect
185. #100	C₂⁴	semidirect
186. C₄×C₈	C₂⁴	semidirect
250. Q₁₆	C₂²×D₄	semidirect
255. SD₁₆	C₂²×D₄	semidirect
257. D₈	C₂²×D₄	semidirect
326. C₂²	#3291	direct (N × H)
339. C₂	C₂×#3291	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#577	2
C₂×#3291	2
C₂²×#492	2
C₂²×#471	2
C₂²×#456	2
C₂²×#453	2
C₂²×#443	2

Subgroups — C22×#3291 #10576166

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#3291 #10576166