Subgroups — C₂²×#3403 #10576686

Order 512.

7490 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 365 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#559	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#3403	C₂	1	48	yes	maximal, direct product factor
3	C₂²×#496	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂²×#495	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂²×#464	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂²×#463	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂²×#459	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#446	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#440	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂²×C₄×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂³×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂³×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂³×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂³×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂³×D₈	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#559	—	2	24	no	—
18	C₂×#559	C₂²	1	48	yes	complemented
19	C₂²×#127	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×#124	—	2	2	no	—
21	C₂²×#124	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×#124	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×#123	—	2	2	no	—
24	C₂²×#123	—	2	2	no	—
25	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂²×C₄×D₄	—	2	2	no	—
28	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
30	#3403	C₂²	1	256	yes	direct product factor
31	C₂×#496	C₂²	1	48	yes	complemented
32	C₂×#495	C₂²	1	24	yes	complemented
33	C₂×#464	C₂²	1	48	yes	complemented
34	C₂×#463	C₂²	1	48	yes	complemented
35	C₂×#459	C₂²	1	48	yes	complemented
36	C₂×#446	C₂²	1	24	yes	complemented
37	C₂×#440	C₂²	1	48	yes	complemented
38	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	24	yes	complemented
39	C₂²×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×#103	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂²×#102	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂²×#102	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
50	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
51	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
54	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
55	C₂²×Q₁₆	—	4	4	no	—
56	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	12	yes	—
57	C₂²×SD₁₆	—	2	16	no	—
58	C₂²×SD₁₆	—	4	8	no	—
59	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	24	yes	—
60	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	24	yes	—
61	C₂²×D₈	—	2	8	no	—
62	C₂²×D₈	—	4	8	no	—
63	C₂²×D₈	—	4	4	no	—
64	C₂²×D₈	C₂³	1	12	yes	—
65	C₂²×D₈	C₂³	1	12	yes	—
66	C₂²×D₈	C₂³	1	24	yes	—
67	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#559	—	2	192	no	—
71	#559	C₂³	1	128	yes	complemented
72	C₂×#127	—	2	12	no	—
73	C₂×#127	C₂³	1	24	yes	—
74	C₂×#124	—	2	48	no	—
75	C₂×#124	—	2	12	no	—
76	C₂×#124	—	2	12	no	—
77	C₂×#124	C₂³	1	24	yes	—
78	C₂×#124	C₂³	1	24	yes	—
79	C₂×#123	—	2	48	no	—
80	C₂×#123	—	2	48	no	—
81	C₂×C₄×Q₈	—	2	12	no	—
82	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	12	yes	—
83	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	24	yes	—
84	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	12	yes	—
85	C₂×C₄×D₄	—	2	48	no	—
86	C₂×C₄×D₄	—	2	12	no	—
87	C₂×C₄×D₄	—	2	12	no	—
88	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	24	yes	—
89	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	24	yes	—
90	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
91	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
92	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
95	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
96	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
97	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
98	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
99	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
100	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
101	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
103	#496	C₂³	1	128	yes	complemented
104	#495	C₂³	1	64	yes	complemented
105	#464	C₂³	1	128	yes	complemented
106	#463	C₂³	1	128	yes	complemented
107	#459	C₂³	1	128	yes	complemented
108	#446	C₂³	1	64	yes	complemented
109	#440	C₂³	1	128	yes	complemented
110	C₄×D₈	C₂³	1	64	yes	complemented
111	C₂×#107	C₂³	1	12	yes	—
112	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	24	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	12	yes	—
114	C₂×#103	C₂³	1	24	yes	—
115	C₂×#102	C₂³	1	24	yes	—
116	C₂×#102	C₂³	1	24	yes	—
117	C₂×#97	C₂³	1	24	yes	—
118	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	12	yes	—
119	C₂⁵	—	2	2	no	—
120	C₂⁵	—	2	2	no	—
121	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
122	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
123	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
124	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
125	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
126	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	12	yes	—
127	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
128	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
129	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
130	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
131	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
132	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
133	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
134	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
135	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
136	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
137	C₂²×D₄	C₂⁴	1	12	yes	—
138	C₂²×D₄	C₂⁴	1	12	yes	—
139	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
140	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
141	C₂³×C₄	—	2	24	no	—
142	C₂³×C₄	—	2	24	no	—
143	C₂³×C₄	—	8	8	no	—
144	C₂³×C₄	—	8	8	no	—
145	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
150	C₂×Q₁₆	—	4	24	no	—
151	C₂×Q₁₆	C₂⁴	1	16	yes	—
152	C₂×SD₁₆	—	2	96	no	—
153	C₂×SD₁₆	—	4	48	no	—
154	C₂×SD₁₆	C₂⁴	1	32	yes	—
155	C₂×SD₁₆	C₂⁴	1	32	yes	—
156	C₂×D₈	—	2	48	no	—
157	C₂×D₈	—	4	48	no	—
158	C₂×D₈	—	4	24	no	—
159	C₂×D₈	C₂⁴	1	16	yes	—
160	C₂×D₈	C₂⁴	1	16	yes	—
161	C₂×D₈	C₂⁴	1	32	yes	—
162	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
163	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₈	#41	1	8	yes	—
165	C₂²×C₈	C₂⁴	1	12	yes	—
166	C₂²×C₈	C₂⁴	1	6	yes	—
167	C₂²×C₈	C₂⁴	1	6	yes	—
168	#127	—	2	48	no	—
169	#127	C₂⁴	1	32	yes	—
170	#124	—	2	128	no	—
171	#124	—	2	48	no	—
172	#124	—	2	48	no	—
173	#124	C₂⁴	1	32	yes	—
174	#124	C₂⁴	1	32	yes	—
175	#123	—	2	128	no	—
176	#123	—	2	128	no	—
177	C₄×Q₈	—	2	48	no	—
178	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	48	yes	—
179	C₄×Q₈	C₂⁴	1	32	yes	—
180	C₄×Q₈	C₂⁴	1	16	yes	—
181	C₄×D₄	—	2	128	no	—
182	C₄×D₄	—	2	48	no	—
183	C₄×D₄	—	2	48	no	—
184	C₄×D₄	C₂⁴	1	32	yes	—
185	C₄×D₄	C₂⁴	1	32	yes	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	24	yes	—
189	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
190	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
192	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
193	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
195	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
197	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
198	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
199	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
200	C₂×C₄²	C₂⁴	1	6	yes	—
201	C₂×C₄²	C₂⁴	1	12	yes	—
202	#107	C₂⁴	1	16	yes	—
203	C₄⋊C₈	C₂⁴	1	32	yes	—
204	C₄⋊C₈	C₂⁴	1	16	yes	—
205	#103	C₂⁴	1	32	yes	—
206	#102	C₂⁴	1	32	yes	—
207	#102	C₂⁴	1	32	yes	—
208	#97	C₂⁴	1	32	yes	—
209	C₄×C₈	C₂⁴	1	16	yes	—
210	C₂⁴	—	2	12	no	—
211	C₂⁴	—	2	12	no	—
212	C₂⁴	—	4	8	no	—
213	C₂⁴	—	4	8	no	—
214	C₂⁴	—	4	8	no	—
215	C₂⁴	—	4	8	no	—
216	C₂⁴	—	4	8	no	—
217	C₂⁴	—	4	8	no	—
218	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
222	C₂×Q₈	—	4	24	no	—
223	C₂×Q₈	—	4	24	no	—
224	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	16	yes	—
225	C₂×Q₈	C₂⁵	1	8	yes	—
226	C₂×D₄	—	2	12	no	—
227	C₂×D₄	—	2	12	no	—
228	C₂×D₄	—	2	32	no	—
229	C₂×D₄	—	2	32	no	—
230	C₂×D₄	—	2	24	no	—
231	C₂×D₄	—	2	24	no	—
232	C₂×D₄	—	2	24	no	—
233	C₂×D₄	—	2	24	no	—
234	C₂×D₄	—	4	96	no	—
235	C₂×D₄	—	4	24	no	—
236	C₂×D₄	—	4	24	no	—
237	C₂×D₄	—	8	48	no	—
238	C₂×D₄	C₂⁵	1	8	yes	—
239	C₂×D₄	C₂⁵	1	8	yes	—
240	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
250	C₂²×C₄	—	8	48	no	—
251	C₂²×C₄	—	8	48	no	—
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
258	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂⁵	1	3	yes	—
260	Q₁₆	—	4	16	no	—
261	SD₁₆	—	2	64	no	—
262	SD₁₆	—	4	32	no	—
263	D₈	—	2	32	no	—
264	D₈	—	4	32	no	—
265	D₈	—	4	16	no	—
266	C₂×C₈	—	2	24	no	—
267	C₂×C₈	—	2	12	no	—
268	C₂×C₈	C₂×#41	1	24	yes	—
269	C₂×C₈	C₂⁵	1	4	yes	—
270	C₂×C₈	C₂⁵	1	8	yes	—
271	C₂×C₈	C₂⁵	1	4	yes	—
272	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
274	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	32	yes	—
275	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
276	C₄⋊C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
277	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
283	C₄²	—	2	32	no	—
284	C₄²	C₂²×D₄	1	12	yes	—
285	C₄²	C₂²×D₄	1	24	yes	—
286	C₄²	C₂⁵	1	4	yes	—
287	C₄²	C₂⁵	1	8	yes	—
288	C₂³	—	2	8	no	—
289	C₂³	—	2	8	no	—
290	C₂³	—	4	24	no	—
291	C₂³	—	4	24	no	—
292	C₂³	—	4	24	no	—
293	C₂³	—	4	24	no	—
294	C₂³	—	4	24	no	—
295	C₂³	—	4	24	no	—
296	C₂³	—	8	32	no	—
297	C₂³	—	8	32	no	—
298	C₂³	#550	1	4	yes	—
299	C₂³	#575	1	4	yes	—
300	C₂³	#576	1	4	yes	—
301	C₂³	C₂³×D₄	1	3	yes	—
302	Q₈	—	2	8	no	—
303	Q₈	—	2	8	no	—
304	Q₈	—	4	16	no	—
305	Q₈	—	4	24	no	—
306	D₄	—	2	8	no	—
307	D₄	—	2	8	no	—
308	D₄	—	2	8	no	—
309	D₄	—	2	8	no	—
310	D₄	—	4	64	no	—
311	D₄	—	4	24	no	—
312	D₄	—	4	24	no	—
313	D₄	—	8	32	no	—
314	C₂×C₄	—	2	24	no	—
315	C₂×C₄	—	2	12	no	—
316	C₂×C₄	—	2	12	no	—
317	C₂×C₄	—	2	24	no	—
318	C₂×C₄	—	2	8	no	—
319	C₂×C₄	—	2	8	no	—
320	C₂×C₄	—	4	24	no	—
321	C₂×C₄	—	4	24	no	—
322	C₂×C₄	—	8	32	no	—
323	C₂×C₄	—	8	32	no	—
324	C₂×C₄	#550	1	12	yes	—
325	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	8	yes	—
326	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	4	yes	—
327	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	4	yes	—
328	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	8	yes	—
329	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	3	yes	—
330	C₂×C₄	C₂²×#41	1	6	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
332	C₂×C₄	C₂⁶	1	1	yes	characteristic
333	C₈	—	2	8	no	—
334	C₈	—	2	4	no	—
335	C₈	C₂²×#41	1	8	yes	—
336	C₂²	—	4	8	no	—
337	C₂²	—	4	8	no	—
338	C₂²	—	4	8	no	—
339	C₂²	—	4	8	no	—
340	C₂²	—	4	8	no	—
341	C₂²	—	4	8	no	—
342	C₂²	—	8	48	no	—
343	C₂²	—	8	48	no	—
344	C₂²	#3403	1	16	yes	direct product factor
345	C₂²	C₂×#550	1	6	yes	—
346	C₂²	C₂×#575	1	6	yes	—
347	C₂²	C₂×#576	1	6	yes	—
348	C₂²	C₂⁴×D₄	1	1	yes	characteristic
349	C₄	—	2	8	no	—
350	C₄	—	2	4	no	—
351	C₄	—	2	4	no	—
352	C₄	—	2	8	no	—
353	C₄	—	4	8	no	—
354	C₄	—	4	8	no	—
355	C₄	C₂×#550	1	6	yes	—
356	C₄	C₂³×#41	1	1	yes	characteristic
357	C₄	C₂²×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
358	C₂	—	8	8	no	—
359	C₂	—	8	8	no	—
360	C₂	C₂×#3403	1	12	yes	direct product factor
361	C₂	C₂²×#550	1	1	yes	characteristic
362	C₂	C₂²×#575	1	1	yes	characteristic
363	C₂	C₂²×#576	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁶
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂²×C₄×Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#559	C₂	semidirect
2. C₂×#3403	C₂	direct (N × H)
3. C₂²×#496	C₂	semidirect
4. C₂²×#495	C₂	semidirect
5. C₂²×#464	C₂	semidirect
6. C₂²×#463	C₂	semidirect
7. C₂²×#459	C₂	semidirect
8. C₂²×#446	C₂	semidirect
9. C₂²×#440	C₂	semidirect
10. C₂²×C₄×D₈	C₂	semidirect
18. C₂×#559	C₂²	semidirect
30. #3403	C₂²	direct (N × H)
31. C₂×#496	C₂²	semidirect
32. C₂×#495	C₂²	semidirect
33. C₂×#464	C₂²	semidirect
34. C₂×#463	C₂²	semidirect
35. C₂×#459	C₂²	semidirect
36. C₂×#446	C₂²	semidirect
37. C₂×#440	C₂²	semidirect
38. C₂×C₄×D₈	C₂²	semidirect
71. #559	C₂³	semidirect
103. #496	C₂³	semidirect
104. #495	C₂³	semidirect
105. #464	C₂³	semidirect
106. #463	C₂³	semidirect
107. #459	C₂³	semidirect
108. #446	C₂³	semidirect
109. #440	C₂³	semidirect
110. C₄×D₈	C₂³	semidirect
344. C₂²	#3403	direct (N × H)
360. C₂	C₂×#3403	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#559	2
C₂×#3403	2
C₂²×#496	2
C₂²×#495	2
C₂²×#464	2
C₂²×#463	2
C₂²×#459	2
C₂²×#446	2
C₂²×#440	2
C₂²×C₄×D₈	2

Subgroups — C22×#3403 #10576686

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#3403 #10576686