Subgroups — #106352

Order 512.

1236 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 382 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2975	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1460	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₄×#390	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#7892	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1276	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	#2975	—	2	4	no	—
8	#2975	—	2	2	no	—
9	#2975	C₄	1	4	yes	complemented
10	C₂×#436	—	2	4	no	—
11	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#407	—	2	2	no	—
14	C₂×#390	C₄	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
17	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#1460	—	2	2	no	—
19	#1460	C₄	1	4	yes	complemented
20	C₂×#323	—	2	2	no	—
21	#1437	—	2	2	no	—
22	C₄⋊#95	C₄	1	2	yes	—
23	#1279	—	2	4	no	—
24	#1276	—	2	4	no	—
25	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
26	C₂⁴×C₄	D₄	1	2	yes	—
27	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
28	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
29	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
30	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
31	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
32	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
33	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
34	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
35	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	2	yes	—
36	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
39	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
40	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
41	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
42	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
43	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	#436	—	2	16	no	—
46	#436	—	2	16	no	—
47	#431	—	2	2	no	—
48	#431	—	2	2	no	—
49	#431	—	2	2	no	—
50	#431	—	2	2	no	—
51	#431	—	2	2	no	—
52	#431	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	#431	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	#431	D₄	1	4	yes	—
55	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
57	#407	—	2	8	no	—
58	#407	—	2	8	no	—
59	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
60	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
61	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
64	#390	—	2	4	no	—
65	#390	—	2	4	no	—
66	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
67	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
68	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
69	C₂×#95	—	2	4	no	—
70	C₂×#95	—	2	1	no	—
71	C₄³	—	2	2	no	—
72	C₄³	—	2	2	no	—
73	#323	—	2	8	no	—
74	C₂⁵	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
75	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
76	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
77	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
78	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
79	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
80	C₂²×D₄	C₄²	1	2	yes	—
81	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
82	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
83	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
84	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
85	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
86	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
87	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
88	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
89	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
90	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
92	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
97	C₂×M₁₆	—	8	4	no	—
98	C₂×M₁₆	—	8	4	no	—
99	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
100	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
101	C₄×D₄	—	2	4	no	—
102	C₄×D₄	—	2	4	no	—
103	C₄×D₄	—	2	4	no	—
104	C₄×D₄	—	2	4	no	—
105	C₄×D₄	—	2	4	no	—
106	C₄×D₄	—	2	4	no	—
107	C₄×D₄	—	2	4	no	—
108	C₄×D₄	—	2	4	no	—
109	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
110	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	C₄²	1	2	yes	—
115	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
116	C₂×C₄⋊C₄	M₁₆	1	4	yes	complemented
117	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
124	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
127	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
129	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
130	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
131	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
132	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
133	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
134	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
135	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
136	C₂×C₄²	M₁₆	1	4	yes	complemented
137	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
144	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
145	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
146	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
147	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
148	C₄⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	complemented
149	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
150	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
151	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
152	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
153	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
154	C₄×C₈	—	2	4	no	—
155	C₄×C₈	—	2	4	no	—
156	C₄×C₈	—	2	4	no	—
157	C₄×C₈	—	4	2	no	—
158	#95	—	4	8	no	—
159	#95	—	4	2	no	—
160	C₂⁴	—	2	2	no	—
161	C₂⁴	—	2	4	no	—
162	C₂⁴	—	2	2	no	—
163	C₂⁴	—	2	4	no	—
164	C₂⁴	—	4	2	no	—
165	C₂⁴	—	4	4	no	—
166	C₂⁴	—	4	2	no	—
167	C₂⁴	#95	1	4	yes	—
168	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂×D₄	—	2	4	no	—
170	C₂×D₄	—	2	4	no	—
171	C₂×D₄	—	2	2	no	—
172	C₂×D₄	—	2	2	no	—
173	C₂×D₄	—	2	4	no	—
174	C₂×D₄	—	2	4	no	—
175	C₂×D₄	—	2	4	no	—
176	C₂×D₄	—	4	4	no	—
177	C₂×D₄	—	4	4	no	—
178	C₂×D₄	—	4	4	no	—
179	C₂×D₄	—	4	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
211	C₂²×C₄	#95	1	4	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	#131	1	4	yes	—
229	M₁₆	—	8	16	no	—
230	C₂×C₈	—	2	8	no	—
231	C₂×C₈	—	4	4	no	—
232	C₂×C₈	—	4	4	no	—
233	C₂×C₈	—	4	4	no	—
234	C₂×C₈	—	8	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
242	C₄²	—	2	8	no	—
243	C₄²	—	4	4	no	—
244	C₄²	—	4	4	no	—
245	C₄²	—	4	8	no	—
246	C₄²	—	4	4	no	—
247	C₄²	—	8	2	no	—
248	C₄²	—	8	2	no	—
249	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
250	C₄²	#117	1	2	yes	—
251	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
252	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
253	C₄²	#120	1	2	yes	—
254	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
255	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
256	C₄²	#123	1	2	yes	—
257	C₂³	—	2	2	no	—
258	C₂³	—	2	1	no	—
259	C₂³	—	2	1	no	—
260	C₂³	—	2	4	no	—
261	C₂³	—	2	4	no	—
262	C₂³	—	2	4	no	—
263	C₂³	—	4	4	no	—
264	C₂³	—	4	4	no	—
265	C₂³	—	4	8	no	—
266	C₂³	—	4	8	no	—
267	C₂³	—	4	4	no	—
268	C₂³	—	4	4	no	—
269	C₂³	—	4	4	no	—
270	C₂³	—	4	2	no	—
271	C₂³	—	4	2	no	—
272	C₂³	—	8	2	no	—
273	C₂³	—	8	2	no	—
274	C₂³	—	8	4	no	—
275	C₂³	—	8	4	no	—
276	C₂³	C₂×#95	1	1	yes	characteristic
277	C₂³	#386	1	1	yes	characteristic
278	C₂³	#386	1	1	yes	characteristic
279	C₂³	#407	1	2	yes	—
280	C₂³	#408	1	2	yes	—
281	D₄	—	4	8	no	—
282	D₄	—	4	4	no	—
283	D₄	—	4	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	2	1	no	—
286	C₂×C₄	—	2	1	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	8	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	4	2	no	—
294	C₂×C₄	—	4	1	no	—
295	C₂×C₄	—	4	1	no	—
296	C₂×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂×C₄	—	4	4	no	—
298	C₂×C₄	—	4	4	no	—
299	C₂×C₄	—	4	4	no	—
300	C₂×C₄	—	4	4	no	—
301	C₂×C₄	—	4	4	no	—
302	C₂×C₄	—	4	2	no	—
303	C₂×C₄	—	4	2	no	—
304	C₂×C₄	—	4	8	no	—
305	C₂×C₄	—	4	8	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	8	no	—
308	C₂×C₄	—	4	4	no	—
309	C₂×C₄	—	8	4	no	—
310	C₂×C₄	—	8	4	no	—
311	C₂×C₄	—	8	2	no	—
312	C₂×C₄	—	8	4	no	—
313	C₂×C₄	—	8	2	no	—
314	C₂×C₄	—	8	2	no	—
315	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	#379	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	#381	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	#385	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	#385	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	C₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	#405	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	#423	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	#424	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	#435	1	4	yes	—
329	C₂×C₄	#435	1	4	yes	—
330	C₂×C₄	#436	1	4	yes	—
331	C₂×C₄	#436	1	4	yes	—
332	C₂×C₄	#453	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#455	1	2	yes	—
334	C₈	—	4	8	no	—
335	C₈	—	8	4	no	—
336	C₂²	—	2	2	no	—
337	C₂²	—	2	2	no	—
338	C₂²	—	2	2	no	—
339	C₂²	—	2	2	no	—
340	C₂²	—	2	1	no	—
341	C₂²	—	2	1	no	—
342	C₂²	—	2	1	no	—
343	C₂²	—	2	1	no	—
344	C₂²	—	4	8	no	—
345	C₂²	—	4	4	no	—
346	C₂²	—	4	4	no	—
347	C₂²	—	4	4	no	—
348	C₂²	—	8	4	no	—
349	C₂²	—	8	8	no	—
350	C₂²	—	8	4	no	—
351	C₂²	—	8	4	no	—
352	C₂²	C₂²⋊#95	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	#1728	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	#1729	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	#1870	1	2	yes	—
356	C₂²	#1870	1	2	yes	—
357	C₂²	#1884	1	2	yes	—
358	C₂²	#1885	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	#1887	1	1	yes	characteristic
360	C₄	—	2	1	no	—
361	C₄	—	2	1	no	—
362	C₄	—	2	2	no	—
363	C₄	—	2	2	no	—
364	C₄	—	4	8	no	—
365	C₄	—	4	4	no	—
366	C₄	—	8	4	no	—
367	C₄	#1753	1	2	yes	—
368	C₄	#1753	1	2	yes	—
369	C₄	#1792	1	2	yes	—
370	C₄	#1851	1	4	yes	—
371	C₄	#1856	1	2	yes	—
372	C₂	—	2	2	no	—
373	C₂	—	2	1	no	—
374	C₂	—	2	1	no	—
375	C₂	—	8	4	no	—
376	C₂	#8961	1	2	yes	—
377	C₂	#8963	1	2	yes	—
378	C₂	#10715	1	1	yes	characteristic
379	C₂	#10749	1	1	yes	characteristic
380	C₂	#10751	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	#120
commutator	C₂²×C₄	C₂×C₄²
Frattini, cosocle	C₂²×C₄²	C₂³
socle	C₂³	#386
prime radical	C₂³×D₄	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #7892	C₂	semidirect
5. C₂×#1276	C₂	semidirect
9. #2975	C₄	semidirect
19. #1460	C₄	semidirect
116. C₂×C₄⋊C₄	M₁₆	semidirect
136. C₂×C₄²	M₁₆	semidirect
148. C₄⋊C₈	C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2975	2
C₂×#1460	2
C₄×#390	2
#7892	2
C₂×#1276	2