Subgroups — C₂×C₃×#1728 #10638940

Order 768.

2782 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 292 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×C₃×M₁₆	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂³×C₃×C₄²	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₃×#1728	C₂	1	8	yes	maximal, direct product factor
4	C₂×C₃×#336	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1728	C₃	1	1	yes	maximal, characteristic, direct product factor, Sylow
6	C₂⁴×C₃×C₄	C₄	1	2	yes	—
7	C₂⁴×C₃×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×C₃×M₁₆	—	2	8	no	—
9	C₂²×C₃×M₁₆	—	2	8	no	—
10	C₂²×C₃×M₁₆	C₄	1	16	yes	complemented
11	C₂²×C₃×M₁₆	C₂²	1	8	yes	—
12	C₂³×C₃×C₈	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂²×C₃×C₄²	—	2	8	no	—
14	C₂²×C₃×C₄²	C₄	1	4	yes	—
15	C₂²×C₃×C₄²	C₄	1	2	yes	—
16	C₂²×C₃×C₄²	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂²×C₃×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
18	C₃×#336	C₂²	1	16	yes	complemented
19	C₂³×M₁₆	C₂×C₃	1	2	yes	—
20	C₂³×C₄²	C₂×C₃	1	1	yes	characteristic
21	#1728	C₂×C₃	1	8	yes	direct product factor
22	C₂×#336	C₂×C₃	1	4	yes	complemented
23	C₂⁵×C₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
24	C₂³×C₃×C₄	—	2	8	no	—
25	C₂³×C₃×C₄	—	2	16	no	—
26	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
27	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
28	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
29	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
30	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
31	C₂³×C₃×C₄	D₄	1	4	yes	—
32	C₂³×C₃×C₄	D₄	1	8	yes	—
33	C₂³×C₃×C₄	Q₈	1	4	yes	—
34	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂×C₃×M₁₆	—	2	64	no	—
37	C₂×C₃×M₁₆	—	2	16	no	—
38	C₂×C₃×M₁₆	—	2	16	no	—
39	C₂×C₃×M₁₆	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
40	C₂²×C₃×C₈	—	2	8	no	—
41	C₂²×C₃×C₈	—	2	8	no	—
42	C₂²×C₃×C₈	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
43	C₂²×C₃×C₈	C₂³	1	8	yes	—
44	C₂×C₃×C₄²	—	2	16	no	—
45	C₂×C₃×C₄²	—	2	8	no	—
46	C₂×C₃×C₄²	—	2	8	no	—
47	C₂×C₃×C₄²	—	2	16	no	—
48	C₂×C₃×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
49	C₂×C₃×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂×C₃×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂⁴×C₄	C₃×C₄	1	2	yes	—
52	C₂⁴×C₄	C₂²×C₃	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
54	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
55	C₂²×M₁₆	C₃×C₄	1	16	yes	complemented
56	C₂²×M₁₆	C₂²×C₃	1	8	yes	—
57	C₂³×C₈	C₂²×C₃	1	4	yes	—
58	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
59	C₂²×C₄²	C₃×C₄	1	4	yes	—
60	C₂²×C₄²	C₃×C₄	1	2	yes	—
61	C₂²×C₄²	C₂²×C₃	1	2	yes	—
62	C₂²×C₄²	C₂²×C₃	1	4	yes	—
63	#336	C₂²×C₃	1	16	yes	complemented
64	C₂⁴×C₃	—	2	8	no	—
65	C₂⁴×C₃	C₄²	1	4	yes	—
66	C₂⁴×C₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
67	C₂⁴×C₃	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
68	C₂⁴×C₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
69	C₂⁴×C₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₃×C₄	—	2	64	no	—
71	C₂²×C₃×C₄	—	2	16	no	—
72	C₂²×C₃×C₄	—	2	8	no	—
73	C₂²×C₃×C₄	—	2	8	no	—
74	C₂²×C₃×C₄	—	2	32	no	—
75	C₂²×C₃×C₄	C₄²	1	8	yes	—
76	C₂²×C₃×C₄	C₄²	1	4	yes	—
77	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
78	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
79	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
80	C₂²×C₃×C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
81	C₂²×C₃×C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
82	C₂²×C₃×C₄	C₄⋊C₄	1	32	yes	—
83	C₂²×C₃×C₄	M₁₆	1	16	yes	complemented
84	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
85	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
86	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
88	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
89	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
90	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
91	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
92	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
93	C₂²×C₃×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
94	C₂²×C₃×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
95	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
96	C₃×M₁₆	—	2	64	no	—
97	C₂×C₃×C₈	—	2	32	no	—
98	C₂×C₃×C₈	—	2	8	no	—
99	C₂×C₃×C₈	—	2	8	no	—
100	C₂×C₃×C₈	C₂²×C₄	1	16	yes	complemented
101	C₃×C₄²	—	2	16	no	—
102	C₃×C₄²	—	2	8	no	—
103	C₃×C₄²	—	2	8	no	—
104	C₂⁵	C₂×C₃×C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
106	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
107	C₂³×C₄	C₂×C₃×C₄	1	8	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂×C₃×C₄	1	4	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂×C₃×C₄	1	2	yes	—
110	C₂³×C₄	C₂×C₃×C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂³×C₄	C₂×C₃×C₄	1	8	yes	—
112	C₂³×C₄	C₃×D₄	1	4	yes	—
113	C₂³×C₄	C₃×D₄	1	8	yes	—
114	C₂³×C₄	C₃×Q₈	1	4	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂³×C₃	1	1	yes	characteristic
116	C₂³×C₄	C₂³×C₃	1	2	yes	—
117	C₂×M₁₆	—	2	64	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
120	C₂×M₁₆	C₂×C₃×C₄	1	32	yes	complemented
121	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
123	C₂²×C₈	C₂×C₃×C₄	1	16	yes	complemented
124	C₂²×C₈	C₂³×C₃	1	8	yes	—
125	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
126	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
127	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
128	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
129	C₂×C₄²	C₂×C₃×C₄	1	4	yes	—
130	C₂×C₄²	C₂×C₃×C₄	1	8	yes	—
131	C₂×C₄²	C₂³×C₃	1	4	yes	—
132	C₂³×C₃	—	2	8	no	—
133	C₂³×C₃	—	2	16	no	—
134	C₂³×C₃	—	2	16	no	—
135	C₂³×C₃	—	2	16	no	—
136	C₂³×C₃	#95	1	16	yes	—
137	C₂³×C₃	C₂×C₄²	1	4	yes	—
138	C₂³×C₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
139	C₂³×C₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
140	C₂³×C₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
141	C₂³×C₃	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
142	C₂³×C₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
143	C₂³×C₃	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
144	C₂³×C₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₃×C₄	—	2	64	no	—
146	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
147	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
148	C₂×C₃×C₄	—	2	32	no	—
149	C₂×C₃×C₄	#95	1	32	yes	—
150	C₂×C₃×C₄	#95	1	16	yes	—
151	C₂×C₃×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
152	C₂×C₃×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
153	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
154	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
155	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
156	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₃×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
158	C₂×C₃×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
159	C₂×C₃×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
160	C₂×C₃×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₃×C₄	C₂×M₁₆	1	16	yes	complemented
162	C₂×C₃×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₃×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
166	C₃×C₈	—	2	16	no	—
167	C₂⁴	—	2	8	no	—
168	C₂⁴	C₃×C₄²	1	4	yes	—
169	C₂⁴	C₃×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
170	C₂⁴	C₃×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
171	C₂⁴	C₂²×C₃×C₄	1	2	yes	—
172	C₂⁴	C₂²×C₃×C₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
178	C₂²×C₄	C₃×C₄²	1	8	yes	—
179	C₂²×C₄	C₃×C₄²	1	4	yes	—
180	C₂²×C₄	C₃×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
181	C₂²×C₄	C₃×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
182	C₂²×C₄	C₃×C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
183	C₂²×C₄	C₃×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
184	C₂²×C₄	C₃×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
185	C₂²×C₄	C₃×C₄⋊C₄	1	32	yes	—
186	C₂²×C₄	C₃×M₁₆	1	16	yes	complemented
187	C₂²×C₄	C₂²×C₃×C₄	1	8	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂²×C₃×C₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄	C₂²×C₃×C₄	1	2	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂²×C₃×C₄	1	4	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂²×C₃×C₄	1	8	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂×C₃×D₄	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂×C₃×D₄	1	4	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂×C₃×D₄	1	4	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂×C₃×D₄	1	8	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂×C₃×Q₈	1	4	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂×C₃×Q₈	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂⁴×C₃	1	1	yes	characteristic
199	M₁₆	—	2	64	no	—
200	C₂×C₈	—	2	32	no	—
201	C₂×C₈	—	2	8	no	—
202	C₂×C₈	—	2	8	no	—
203	C₂×C₈	C₂²×C₃×C₄	1	16	yes	complemented
204	C₄²	—	2	8	no	—
205	C₄²	—	2	16	no	—
206	C₄²	—	2	8	no	—
207	C₂²×C₃	—	2	8	no	—
208	C₂²×C₃	—	2	8	no	—
209	C₂²×C₃	—	2	8	no	—
210	C₂²×C₃	—	2	32	no	—
211	C₂²×C₃	C₂×#95	1	8	yes	—
212	C₂²×C₃	C₂×#95	1	4	yes	—
213	C₂²×C₃	C₄×M₁₆	1	8	yes	—
214	C₂²×C₃	#407	1	8	yes	—
215	C₂²×C₃	#423	1	8	yes	—
216	C₂²×C₃	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₃	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₃	C₂²×M₁₆	1	4	yes	—
220	C₃×C₄	—	2	16	no	—
221	C₃×C₄	C₂×#95	1	4	yes	—
222	C₃×C₄	C₂×#95	1	8	yes	—
223	C₃×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
224	C₃×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
225	C₂³	—	2	8	no	—
226	C₂³	—	2	16	no	—
227	C₂³	—	2	16	no	—
228	C₂³	—	2	16	no	—
229	C₂³	C₃×#95	1	16	yes	—
230	C₂³	C₂×C₃×C₄²	1	4	yes	—
231	C₂³	C₂×C₃×C₄²	1	2	yes	—
232	C₂³	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
233	C₂³	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
234	C₂³	C₂×C₃×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
235	C₂³	C₂×C₃×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
236	C₂³	C₂×C₃×M₁₆	1	8	yes	—
237	C₂³	C₂³×C₃×C₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂×C₄	—	2	64	no	—
239	C₂×C₄	—	2	8	no	—
240	C₂×C₄	—	2	32	no	—
241	C₂×C₄	—	2	8	no	—
242	C₂×C₄	C₃×#95	1	32	yes	—
243	C₂×C₄	C₃×#95	1	16	yes	—
244	C₂×C₄	C₂×C₃×C₄²	1	2	yes	—
245	C₂×C₄	C₂×C₃×C₄²	1	4	yes	—
246	C₂×C₄	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
247	C₂×C₄	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
248	C₂×C₄	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
249	C₂×C₄	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
250	C₂×C₄	C₂×C₃×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
251	C₂×C₄	C₂×C₃×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
252	C₂×C₄	C₂×C₃×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
253	C₂×C₄	C₂×C₃×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
254	C₂×C₄	C₂×C₃×M₁₆	1	16	yes	complemented
255	C₂×C₄	C₂³×C₃×C₄	1	2	yes	—
256	C₂×C₄	C₂²×C₃×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂×C₄	C₂²×C₃×D₄	1	2	yes	—
258	C₂×C₄	C₂²×C₃×Q₈	1	1	yes	characteristic
259	C₈	—	2	16	no	—
260	C₂×C₃	—	2	8	no	—
261	C₂×C₃	#1728	1	8	yes	direct product factor
262	C₂×C₃	C₂²×#95	1	1	yes	characteristic
263	C₂×C₃	C₂×C₄×M₁₆	1	2	yes	—
264	C₂×C₃	C₂×#407	1	2	yes	—
265	C₂×C₃	C₂×#423	1	2	yes	—
266	C₂²	—	2	8	no	—
267	C₂²	—	2	8	no	—
268	C₂²	—	2	32	no	—
269	C₂²	—	2	8	no	—
270	C₂²	C₂×C₃×#95	1	8	yes	—
271	C₂²	C₂×C₃×#95	1	4	yes	—
272	C₂²	C₃×C₄×M₁₆	1	8	yes	—
273	C₂²	C₃×#407	1	8	yes	—
274	C₂²	C₃×#423	1	8	yes	—
275	C₂²	C₂²×C₃×C₄²	1	1	yes	characteristic
276	C₂²	C₂²×C₃×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
277	C₂²	C₂²×C₃×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂²	C₂²×C₃×M₁₆	1	4	yes	—
279	C₄	—	2	16	no	—
280	C₄	C₂×C₃×#95	1	4	yes	—
281	C₄	C₂×C₃×#95	1	8	yes	—
282	C₄	C₂²×C₃×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
283	C₄	C₂²×C₃×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
284	C₃	C₂×#1728	1	1	yes	characteristic, direct product factor, Sylow
285	C₂	—	2	8	no	—
286	C₂	C₃×#1728	1	8	yes	direct product factor
287	C₂	C₂²×C₃×#95	1	1	yes	characteristic
288	C₂	C₂×C₃×C₄×M₁₆	1	2	yes	—
289	C₂	C₂×C₃×#407	1	2	yes	—
290	C₂	C₂×C₃×#423	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³×C₃×C₄	C₂³
commutator	C₂²	C₂²×C₃×C₄²
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴×C₃
socle	C₂⁴×C₃	C₂²×C₄
prime radical	C₂⁵×C₃	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₃×C₄ ◁ G

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₃×#1728	C₂	direct (N × H)
4. C₂×C₃×#336	C₂	semidirect
5. C₂×#1728	C₃	direct (N × H)
10. C₂²×C₃×M₁₆	C₄	semidirect
18. C₃×#336	C₂²	semidirect
21. #1728	C₂×C₃	direct (N × H)
22. C₂×#336	C₂×C₃	semidirect
39. C₂×C₃×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
42. C₂²×C₃×C₈	C₂×C₄	semidirect
55. C₂²×M₁₆	C₃×C₄	semidirect
63. #336	C₂²×C₃	semidirect
83. C₂²×C₃×C₄	M₁₆	semidirect
100. C₂×C₃×C₈	C₂²×C₄	semidirect
120. C₂×M₁₆	C₂×C₃×C₄	semidirect
123. C₂²×C₈	C₂×C₃×C₄	semidirect
161. C₂×C₃×C₄	C₂×M₁₆	semidirect
186. C₂²×C₄	C₃×M₁₆	semidirect
203. C₂×C₈	C₂²×C₃×C₄	semidirect
254. C₂×C₄	C₂×C₃×M₁₆	semidirect
261. C₂×C₃	#1728	direct (N × H)
284. C₃	C₂×#1728	direct (N × H)
286. C₂	C₃×#1728	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×C₃×M₁₆	2
C₂³×C₃×C₄²	2
C₃×#1728	2
C₂×C₃×#336	2
C₂×#1728	3

Subgroups — C2×C3×#1728 #10638940

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×C₃×#1728 #10638940