Subgroups — C₃×#23560 #10642167

Order 768.

1082 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 328 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₃×#3458	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₃×#2911	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₃×#2285	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₃×#2061	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₃×#2060	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₃×#1742	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂×C₃×#339	C₂	1	2	yes	maximal
8	#23560	C₃	1	1	yes	maximal, characteristic, direct product factor, Sylow
9	C₂²×C₃×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
10	C₃×#544	—	2	4	no	—
11	C₃×#544	C₂²	1	4	yes	—
12	C₃×#543	—	2	2	no	—
13	C₃×#533	—	2	4	no	—
14	C₃×#533	—	2	2	no	—
15	C₂×C₃×#117	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₃×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₃×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₃×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₃×#428	—	2	4	no	—
20	C₃×#428	C₂²	1	8	yes	—
21	C₃×#427	—	2	4	no	—
22	C₃×#384	C₂²	1	2	yes	—
23	C₃×#382	C₂²	1	2	yes	—
24	C₃×#380	—	2	2	no	—
25	C₃×C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
26	C₃×#343	C₂²	1	4	yes	—
27	C₃×#339	C₂²	1	4	yes	—
28	C₃×#339	C₂²	1	4	yes	—
29	#3458	C₂×C₃	1	1	yes	characteristic
30	#2911	C₂×C₃	1	2	yes	—
31	#2285	C₂×C₃	1	1	yes	characteristic
32	#2061	C₂×C₃	1	4	yes	complemented
33	#2060	C₂×C₃	1	4	yes	complemented
34	#1742	C₂×C₃	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#339	C₂×C₃	1	2	yes	—
36	C₂³×C₃×C₄	—	2	1	no	—
37	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂×C₃×M₁₆	—	2	2	no	—
39	C₂×C₃×M₁₆	—	2	4	no	—
40	C₂×C₃×M₁₆	Q₈	1	8	yes	complemented
41	C₂×C₃×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂²×C₃×C₈	—	2	2	no	—
43	C₃×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
44	C₃×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
45	C₃×#125	—	2	4	no	—
46	C₃×#125	—	2	8	no	—
47	C₃×C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
48	C₃×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
49	C₃×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
50	C₃×#117	—	2	2	no	—
51	C₃×#117	—	2	2	no	—
52	C₃×#117	—	2	2	no	—
53	C₃×#117	—	2	2	no	—
54	C₃×#117	—	2	2	no	—
55	C₃×#117	—	2	2	no	—
56	C₃×#117	D₄	1	4	yes	—
57	C₃×#117	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
59	C₂×C₃×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
60	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
63	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
64	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
65	C₂×C₃×C₄²	—	2	1	no	—
66	C₂×C₃×C₄²	—	2	2	no	—
67	C₂×C₃×C₄²	—	2	2	no	—
68	C₂×C₃×C₄²	—	2	1	no	—
69	C₂×C₃×C₄²	D₄	1	2	yes	—
70	C₂×C₃×C₄²	Q₈	1	4	yes	complemented
71	C₂×C₃×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₃×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₃×#107	—	2	8	no	—
74	C₃×#106	—	2	8	no	—
75	C₃×#95	—	2	4	no	—
76	C₂²×M₁₆	C₂²×C₃	1	2	yes	—
77	#544	—	2	4	no	—
78	#544	C₂²×C₃	1	4	yes	—
79	#543	—	2	2	no	—
80	#533	—	2	4	no	—
81	#533	—	2	2	no	—
82	C₂×#117	C₂²×C₃	1	2	yes	—
83	C₂×#117	C₂²×C₃	1	1	yes	characteristic
84	C₂×#117	C₂²×C₃	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₄²	C₂²×C₃	1	1	yes	characteristic
86	#428	—	2	4	no	—
87	#428	C₂²×C₃	1	8	yes	—
88	#427	—	2	4	no	—
89	#384	C₂²×C₃	1	2	yes	—
90	#382	C₂²×C₃	1	2	yes	—
91	#380	—	2	2	no	—
92	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
93	#343	C₂²×C₃	1	4	yes	—
94	#339	C₂²×C₃	1	4	yes	—
95	#339	C₂²×C₃	1	4	yes	—
96	C₂⁴×C₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₃×Q₈	—	2	8	no	—
98	C₂²×C₃×C₄	—	2	1	no	—
99	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
100	C₂²×C₃×C₄	—	2	1	no	—
101	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
102	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
103	C₂²×C₃×C₄	—	4	4	no	—
104	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
105	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
107	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₂²×C₃×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
109	C₂²×C₃×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
110	C₂²×C₃×C₄	#41	1	2	yes	—
111	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
112	C₃×M₁₆	—	2	8	no	—
113	C₃×M₁₆	—	2	4	no	—
114	C₃×M₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	—
115	C₂×C₃×C₈	—	2	8	no	—
116	C₂×C₃×C₈	—	2	4	no	—
117	C₃×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
118	C₃×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
119	C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
120	C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
121	C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
122	C₃×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
123	C₃×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
124	C₃×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
125	C₃×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₃×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
127	C₃×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
128	C₃×C₄²	—	2	2	no	—
129	C₃×C₄²	—	2	4	no	—
130	C₃×C₄²	—	2	2	no	—
131	C₃×C₄²	—	2	4	no	—
132	C₃×C₄²	—	2	4	no	—
133	C₃×C₄²	—	2	1	no	—
134	C₃×C₄²	—	2	1	no	—
135	C₃×C₄²	—	4	1	no	—
136	C₃×C₄²	—	4	1	no	—
137	C₃×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
138	C₃×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
139	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
140	C₂³×C₄	C₂³×C₃	1	1	yes	characteristic
141	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
143	C₂×M₁₆	C₃×Q₈	1	8	yes	complemented
144	C₂×M₁₆	C₂³×C₃	1	4	yes	—
145	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
148	#125	—	2	4	no	—
149	#125	—	2	8	no	—
150	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
151	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
152	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
153	#117	—	2	2	no	—
154	#117	—	2	2	no	—
155	#117	—	2	2	no	—
156	#117	—	2	2	no	—
157	#117	—	2	2	no	—
158	#117	—	2	2	no	—
159	#117	C₃×D₄	1	4	yes	—
160	#117	C₂³×C₃	1	4	yes	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	C₃×D₄	1	4	yes	—
163	C₂×C₄⋊C₄	C₂³×C₃	1	2	yes	—
164	C₂×C₄⋊C₄	C₂³×C₃	1	2	yes	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	C₃×D₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
172	C₂×C₄²	C₃×D₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄²	C₃×Q₈	1	4	yes	complemented
174	C₂×C₄²	C₂³×C₃	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₄²	C₂³×C₃	1	1	yes	characteristic
176	#107	—	2	8	no	—
177	#106	—	2	8	no	—
178	#95	—	2	4	no	—
179	C₂³×C₃	—	4	2	no	—
180	C₂³×C₃	#120	1	2	yes	—
181	C₂³×C₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
182	C₂³×C₃	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
183	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
184	C₃×Q₈	—	8	8	no	—
185	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
189	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₃×C₄	—	4	8	no	—
191	C₂×C₃×C₄	—	4	2	no	—
192	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
193	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
194	C₂×C₃×C₄	—	4	2	no	—
195	C₂×C₃×C₄	—	8	4	no	—
196	C₂×C₃×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₃×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₃×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
199	C₂×C₃×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
200	C₂×C₃×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
201	C₂×C₃×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
202	C₂×C₃×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
203	C₂×C₃×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
204	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
205	C₂×C₃×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
206	C₂×C₃×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₃×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
208	C₃×C₈	—	2	8	no	—
209	C₂⁴	C₂×C₃×D₄	1	1	yes	characteristic
210	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
217	C₂²×C₄	C₂×C₃×D₄	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂×C₃×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂×C₃×D₄	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂×C₃×D₄	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×C₃×Q₈	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×C₃×Q₈	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₃×#41	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂⁴×C₃	1	1	yes	characteristic
225	M₁₆	—	2	8	no	—
226	M₁₆	—	2	4	no	—
227	M₁₆	C₂×C₃×Q₈	1	8	yes	—
228	C₂×C₈	—	2	8	no	—
229	C₂×C₈	—	2	4	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
236	C₄⋊C₄	C₂×C₃×D₄	1	8	yes	—
237	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
241	C₄²	—	2	4	no	—
242	C₄²	—	2	2	no	—
243	C₄²	—	2	2	no	—
244	C₄²	—	2	4	no	—
245	C₄²	—	2	4	no	—
246	C₄²	—	2	1	no	—
247	C₄²	—	2	1	no	—
248	C₄²	—	4	1	no	—
249	C₄²	—	4	1	no	—
250	C₄²	C₂×C₃×Q₈	1	2	yes	—
251	C₄²	C₂×C₃×Q₈	1	2	yes	—
252	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
253	C₂²×C₃	—	2	4	no	—
254	C₂²×C₃	—	4	2	no	—
255	C₂²×C₃	—	4	2	no	—
256	C₂²×C₃	#395	1	4	yes	—
257	C₂²×C₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₃	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
260	C₃×C₄	—	2	4	no	—
261	C₃×C₄	—	4	2	no	—
262	C₃×C₄	—	4	4	no	—
263	C₃×C₄	—	4	8	no	—
264	C₃×C₄	—	8	2	no	—
265	C₃×C₄	#395	1	2	yes	—
266	C₃×C₄	#395	1	2	yes	—
267	C₃×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
268	C₃×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
269	C₂³	—	4	2	no	—
270	C₂³	C₃×#120	1	2	yes	—
271	C₂³	C₃×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
272	C₂³	C₃×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
273	C₂³	C₂²×C₃×D₄	1	1	yes	characteristic
274	Q₈	—	8	8	no	—
275	C₂×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂×C₄	—	2	8	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	4	8	no	—
281	C₂×C₄	—	4	2	no	—
282	C₂×C₄	—	4	4	no	—
283	C₂×C₄	—	4	4	no	—
284	C₂×C₄	—	4	2	no	—
285	C₂×C₄	—	8	4	no	—
286	C₂×C₄	C₃×#120	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₄	C₃×#120	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₄	C₃×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	C₃×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
290	C₂×C₄	C₃×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
291	C₂×C₄	C₃×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
292	C₂×C₄	C₃×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
293	C₂×C₄	C₃×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
294	C₂×C₄	C₂²×C₃×D₄	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	C₂²×C₃×Q₈	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	C₂²×C₃×Q₈	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	C₂×C₃×#41	1	1	yes	characteristic
298	C₈	—	2	8	no	—
299	C₂×C₃	—	2	1	no	—
300	C₂×C₃	—	2	1	no	—
301	C₂×C₃	—	2	4	no	—
302	C₂×C₃	C₂×#395	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₃	#3018	1	2	yes	—
304	C₂²	—	2	2	no	—
305	C₂²	—	2	4	no	—
306	C₂²	—	4	2	no	—
307	C₂²	—	4	2	no	—
308	C₂²	C₃×#395	1	4	yes	—
309	C₂²	C₂×C₃×#120	1	1	yes	characteristic
310	C₂²	C₂×C₃×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
311	C₂²	C₂×C₃×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
312	C₄	—	2	4	no	—
313	C₄	—	4	2	no	—
314	C₄	—	4	4	no	—
315	C₄	—	4	8	no	—
316	C₄	—	8	2	no	—
317	C₄	C₃×#395	1	2	yes	—
318	C₄	C₃×#395	1	2	yes	—
319	C₄	C₂×C₃×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
320	C₄	C₂×C₃×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
321	C₃	#23560	1	1	yes	characteristic, direct product factor, Sylow
322	C₂	—	2	1	no	—
323	C₂	—	2	4	no	—
324	C₂	—	2	1	no	—
325	C₂	C₂×C₃×#395	1	1	yes	characteristic
326	C₂	C₃×#3018	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₃×C₄	#120
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴×C₃
socle	C₂²×C₃	C₂×#120
prime radical	C₂⁴×C₃	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₃×C₄ ◁ C₂³×C₃×C₄ ◁ G

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. C₃×#2061	C₂	semidirect
5. C₃×#2060	C₂	semidirect
8. #23560	C₃	direct (N × H)
32. #2061	C₂×C₃	semidirect
33. #2060	C₂×C₃	semidirect
40. C₂×C₃×M₁₆	Q₈	semidirect
70. C₂×C₃×C₄²	Q₈	semidirect
143. C₂×M₁₆	C₃×Q₈	semidirect
173. C₂×C₄²	C₃×Q₈	semidirect
321. C₃	#23560	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₃×#3458	2
C₃×#2911	2
C₃×#2285	2
C₃×#2061	2
C₃×#2060	2
C₃×#1742	2
C₂×C₃×#339	2
#23560	3

Subgroups — C3×#23560 #10642167

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₃×#23560 #10642167