Subgroups — #106502

Order 512.

1782 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 412 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20714	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20626	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1303	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₂³×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
6	C₂³×C₄²	—	2	1	no	—
7	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#407	—	2	1	no	—
11	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
12	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
13	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
14	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#95	C₄	1	2	yes	—
17	#1817	—	2	1	no	—
18	#1797	—	2	2	no	—
19	#1797	C₄	1	4	yes	complemented
20	#1797	C₄	1	4	yes	complemented
21	#1779	—	2	1	no	—
22	C₄×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
23	#1728	—	2	1	no	—
24	#1303	—	2	8	no	—
25	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
26	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
27	C₂⁴×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
28	C₂⁴×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
30	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
31	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
32	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
33	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
34	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
35	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
36	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
37	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
38	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
39	C₂²×C₄²	—	4	4	no	—
40	C₂²×C₄²	—	4	2	no	—
41	C₂²×C₄²	—	4	2	no	—
42	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
48	C₂²×C₄²	Q₈	1	2	yes	—
49	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	#431	—	2	4	no	—
51	#431	—	2	4	no	—
52	#423	—	2	4	no	—
53	#423	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
56	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
57	#407	—	4	2	no	—
58	#407	—	4	2	no	—
59	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
60	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
61	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
63	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
64	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
65	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
66	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
67	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	8	yes	—
68	C₂×#95	—	2	2	no	—
69	C₂×#95	—	2	8	no	—
70	C₂×#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
71	#336	—	2	4	no	—
72	#336	—	2	4	no	—
73	C₂⁵	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
75	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
76	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
77	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
78	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
79	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
80	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
81	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
82	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
83	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
84	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
85	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
86	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
87	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
88	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
89	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
90	C₂³×C₄	C₄²	1	2	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
97	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
98	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
99	C₂³×C₄	D₈	1	2	yes	—
100	C₂³×C₄	SD₁₆	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	SD₁₆	1	2	yes	—
102	C₂³×C₄	Q₁₆	1	2	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
107	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
108	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
109	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
110	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
111	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
119	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
126	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
127	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
128	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
129	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
130	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
131	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
132	C₂×C₄²	—	4	16	no	—
133	C₂×C₄²	—	4	16	no	—
134	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
135	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
136	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
137	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
138	C₂×C₄²	C₄²	1	2	yes	—
139	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
143	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
144	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
147	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
150	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
151	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
152	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
153	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
154	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
155	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
156	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
157	C₄×C₈	—	4	4	no	—
158	#95	—	2	8	no	—
159	#95	—	2	4	no	—
160	#95	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
161	C₂⁴	—	2	4	no	—
162	C₂⁴	—	2	4	no	—
163	C₂⁴	—	2	1	no	—
164	C₂⁴	—	2	1	no	—
165	C₂⁴	—	2	1	no	—
166	C₂⁴	—	2	1	no	—
167	C₂⁴	#95	1	2	yes	—
168	C₂⁴	#102	1	2	yes	—
169	C₂⁴	#103	1	2	yes	—
170	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
220	C₂²×C₄	#95	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	#95	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	#95	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	#102	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	#102	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	#103	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	#103	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	#104	1	8	yes	—
228	C₂²×C₄	#106	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	#107	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	#137	1	2	yes	—
248	M₁₆	—	8	2	no	—
249	M₁₆	—	8	2	no	—
250	M₁₆	—	8	2	no	—
251	M₁₆	—	8	2	no	—
252	C₂×C₈	—	4	4	no	—
253	C₂×C₈	—	4	4	no	—
254	C₂×C₈	—	4	4	no	—
255	C₂×C₈	—	4	4	no	—
256	C₂×C₈	—	4	8	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
259	C₄²	—	2	4	no	—
260	C₄²	—	2	4	no	—
261	C₄²	—	2	4	no	—
262	C₄²	—	2	4	no	—
263	C₄²	—	2	4	no	—
264	C₄²	—	2	4	no	—
265	C₄²	—	4	16	no	—
266	C₄²	—	4	8	no	—
267	C₄²	—	4	8	no	—
268	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
269	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
270	C₄²	#121	1	4	yes	—
271	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
272	C₂³	—	2	4	no	—
273	C₂³	—	2	4	no	—
274	C₂³	—	2	4	no	—
275	C₂³	—	2	8	no	—
276	C₂³	—	2	4	no	—
277	C₂³	—	2	8	no	—
278	C₂³	—	2	8	no	—
279	C₂³	—	2	8	no	—
280	C₂³	—	2	2	no	—
281	C₂³	—	2	2	no	—
282	C₂³	—	2	2	no	—
283	C₂³	—	2	2	no	—
284	C₂³	—	2	2	no	—
285	C₂³	—	2	2	no	—
286	C₂³	—	2	2	no	—
287	C₂³	—	2	2	no	—
288	C₂³	—	2	2	no	—
289	C₂³	—	2	2	no	—
290	C₂³	#339	1	4	yes	—
291	C₂³	#340	1	4	yes	—
292	C₂³	#344	1	4	yes	—
293	C₂³	C₂×#95	1	1	yes	characteristic
294	C₂³	#379	1	1	yes	characteristic
295	C₂³	#381	1	1	yes	characteristic
296	C₂³	C₂×#102	1	1	yes	characteristic
297	C₂³	C₂×#103	1	1	yes	characteristic
298	C₂³	#418	1	1	yes	characteristic
299	C₂³	#419	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	16	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	8	no	—
315	C₂×C₄	—	2	8	no	—
316	C₂×C₄	—	2	8	no	—
317	C₂×C₄	—	2	8	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	16	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	16	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	2	no	—
327	C₂×C₄	—	4	8	no	—
328	C₂×C₄	—	4	8	no	—
329	C₂×C₄	—	4	64	no	—
330	C₂×C₄	—	4	16	no	—
331	C₂×C₄	—	4	16	no	—
332	C₂×C₄	—	4	8	no	—
333	C₂×C₄	—	4	2	no	—
334	C₂×C₄	—	4	2	no	—
335	C₂×C₄	—	4	8	no	—
336	C₂×C₄	#339	1	4	yes	—
337	C₂×C₄	#340	1	4	yes	—
338	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	C₂×#102	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂×#103	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	#417	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	C₂×#104	1	4	yes	—
348	C₂×C₄	C₂×#106	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	C₂×#107	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	#428	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	#447	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	#448	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	#450	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	#451	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	#480	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	#481	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	#483	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	#484	1	2	yes	—
359	C₈	—	8	4	no	—
360	C₈	—	8	4	no	—
361	C₂²	—	2	8	no	—
362	C₂²	—	2	8	no	—
363	C₂²	—	2	8	no	—
364	C₂²	—	2	8	no	—
365	C₂²	—	2	2	no	—
366	C₂²	—	2	4	no	—
367	C₂²	—	2	2	no	—
368	C₂²	—	2	2	no	—
369	C₂²	—	2	4	no	—
370	C₂²	—	2	4	no	—
371	C₂²	—	2	2	no	—
372	C₂²	—	2	1	no	—
373	C₂²	—	2	4	no	—
374	C₂²	—	2	1	no	—
375	C₂²	—	2	4	no	—
376	C₂²	—	2	1	no	—
377	C₂²	—	2	4	no	—
378	C₂²	—	2	1	no	—
379	C₂²	#1303	1	8	yes	complemented
380	C₂²	C₂²⋊#95	1	1	yes	characteristic
381	C₂²	C₂×#339	1	2	yes	—
382	C₂²	C₂×#340	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	#1736	1	1	yes	characteristic
384	C₂²	C₂×#344	1	2	yes	—
385	C₂²	#1786	1	1	yes	characteristic
386	C₂²	#1787	1	1	yes	characteristic
387	C₂²	#1823	1	1	yes	characteristic
388	C₂²	#1824	1	1	yes	characteristic
389	C₄	—	2	4	no	—
390	C₄	—	2	2	no	—
391	C₄	—	2	4	no	—
392	C₄	—	2	2	no	—
393	C₄	—	2	2	no	—
394	C₄	—	4	16	no	—
395	C₄	—	4	2	no	—
396	C₄	#1852	1	2	yes	—
397	C₄	#1853	1	2	yes	—
398	C₄	#1872	1	2	yes	—
399	C₄	#1874	1	2	yes	—
400	C₄	#1896	1	4	yes	—
401	C₂	—	2	1	no	—
402	C₂	—	2	8	no	—
403	C₂	—	2	1	no	—
404	C₂	—	2	1	no	—
405	C₂	—	2	1	no	—
406	C₂	C₂×#1303	1	2	yes	—
407	C₂	#8098	1	2	yes	—
408	C₂	#10719	1	1	yes	characteristic
409	C₂	#10730	1	1	yes	characteristic
410	C₂	#10738	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂×C₄²
Frattini, cosocle	C₂²×C₄²	C₂³
socle	C₂³	C₂×#95
prime radical	C₂⁵	C₂²⋊C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. C₂×#1303	C₂	semidirect
19. #1797	C₄	semidirect
20. #1797	C₄	semidirect
55. C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
56. C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
379. C₂²	#1303	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×C₄⋊C₄	2
#20714	2
#20626	2
C₂×#1303	2