Subgroups — C₂²×C₃×#398 #10653145

Order 768.

4158 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 264 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×C₃×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂³×C₃×C₄⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂³×C₃×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×C₃×#398	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
5	C₂²×C₃×#95	C₂	1	2	yes	maximal
6	C₂²×C₃×#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂²×#398	C₃	1	1	yes	maximal, characteristic, direct product factor, Sylow
8	C₂⁴×C₃×C₄	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂⁴×C₃×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂⁴×C₃×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂⁴×C₃×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂⁴×C₃×C₄	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×C₃×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
14	C₂²×C₃×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
15	C₂²×C₃×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
16	C₂²×C₃×C₄⋊C₄	C₂²	1	12	yes	—
17	C₂²×C₃×C₄⋊C₄	C₂²	1	12	yes	—
18	C₂²×C₃×C₄⋊C₄	C₂²	1	24	yes	—
19	C₃×#398	C₂²	1	64	yes	direct product factor
20	C₂×C₃×#95	C₂²	1	24	yes	—
21	C₂×C₃×#95	C₂²	1	12	yes	—
22	C₂³×C₄⋊C₄	C₂×C₃	1	1	yes	characteristic
23	C₂³×C₄⋊C₄	C₂×C₃	1	2	yes	—
24	C₂³×C₄⋊C₄	C₂×C₃	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#398	C₂×C₃	1	24	yes	direct product factor
26	C₂²×#95	C₂×C₃	1	2	yes	—
27	C₂²×#95	C₂×C₃	1	1	yes	characteristic
28	C₂⁵×C₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
29	C₂³×C₃×C₄	—	2	4	no	—
30	C₂³×C₃×C₄	—	2	8	no	—
31	C₂³×C₃×C₄	—	2	4	no	—
32	C₂³×C₃×C₄	—	2	8	no	—
33	C₂³×C₃×C₄	—	2	8	no	—
34	C₂³×C₃×C₄	—	2	8	no	—
35	C₂³×C₃×C₄	—	2	8	no	—
36	C₂³×C₃×C₄	—	2	4	no	—
37	C₂³×C₃×C₄	—	2	8	no	—
38	C₂³×C₃×C₄	—	2	8	no	—
39	C₂³×C₃×C₄	D₄	1	8	yes	—
40	C₂³×C₃×C₄	D₄	1	8	yes	—
41	C₂³×C₃×C₄	Q₈	1	16	yes	—
42	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	6	yes	—
43	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	12	yes	—
44	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	6	yes	—
45	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	6	yes	—
46	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	12	yes	—
47	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
48	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	96	no	—
49	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
50	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
51	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
52	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂³	1	32	yes	—
53	C₃×#95	C₂³	1	32	yes	—
54	C₃×#95	C₂³	1	16	yes	—
55	C₂⁴×C₄	C₂²×C₃	1	2	yes	—
56	C₂⁴×C₄	C₂²×C₃	1	1	yes	characteristic
57	C₂⁴×C₄	C₂²×C₃	1	1	yes	characteristic
58	C₂⁴×C₄	C₂²×C₃	1	1	yes	characteristic
59	C₂⁴×C₄	C₂²×C₃	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
61	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²×C₃	1	12	yes	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²×C₃	1	24	yes	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²×C₃	1	12	yes	—
66	#398	C₂²×C₃	1	64	yes	direct product factor
67	C₂×#95	C₂²×C₃	1	24	yes	—
68	C₂×#95	C₂²×C₃	1	12	yes	—
69	C₂⁴×C₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
70	C₂⁴×C₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
71	C₂⁴×C₃	C₂×Q₈	1	8	yes	—
72	C₂⁴×C₃	#41	1	4	yes	—
73	C₂⁴×C₃	#41	1	8	yes	—
74	C₂⁴×C₃	C₂⁴	1	3	yes	—
75	C₂²×C₃×C₄	—	2	32	no	—
76	C₂²×C₃×C₄	—	2	64	no	—
77	C₂²×C₃×C₄	—	2	32	no	—
78	C₂²×C₃×C₄	—	2	12	no	—
79	C₂²×C₃×C₄	—	2	24	no	—
80	C₂²×C₃×C₄	—	2	12	no	—
81	C₂²×C₃×C₄	—	2	24	no	—
82	C₂²×C₃×C₄	—	2	24	no	—
83	C₂²×C₃×C₄	—	2	24	no	—
84	C₂²×C₃×C₄	—	2	24	no	—
85	C₂²×C₃×C₄	—	2	12	no	—
86	C₂²×C₃×C₄	—	2	24	no	—
87	C₂²×C₃×C₄	—	2	24	no	—
88	C₂²×C₃×C₄	—	4	32	no	—
89	C₂²×C₃×C₄	—	4	16	no	—
90	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	24	yes	—
91	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	24	yes	—
92	C₂²×C₃×C₄	C₂×Q₈	1	48	yes	—
93	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
94	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
95	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
96	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
97	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
98	C₃×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
99	C₃×C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
100	C₃×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
101	C₂⁵	C₂³×C₃	1	1	yes	characteristic
102	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
103	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
104	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
105	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
106	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
107	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
108	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
109	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
110	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
111	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
112	C₂³×C₄	C₃×D₄	1	8	yes	—
113	C₂³×C₄	C₃×D₄	1	8	yes	—
114	C₂³×C₄	C₃×Q₈	1	16	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂³×C₃	1	12	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂³×C₃	1	6	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂³×C₃	1	6	yes	—
118	C₂³×C₄	C₂³×C₃	1	6	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂³×C₃	1	12	yes	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	96	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂³×C₃	1	16	yes	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂³×C₃	1	16	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂³×C₃	1	32	yes	—
126	#95	C₂³×C₃	1	32	yes	—
127	#95	C₂³×C₃	1	16	yes	—
128	C₂³×C₃	#121	1	16	yes	—
129	C₂³×C₃	C₂²⋊Q₈	1	32	yes	—
130	C₂³×C₃	#123	1	16	yes	—
131	C₂³×C₃	#125	1	32	yes	—
132	C₂³×C₃	C₄⋊Q₈	1	16	yes	—
133	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	6	yes	—
134	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	6	yes	—
135	C₂³×C₃	C₂²×Q₈	1	12	yes	—
136	C₂³×C₃	C₂×#41	1	6	yes	—
137	C₂³×C₃	C₂×#41	1	12	yes	—
138	C₂³×C₃	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₃×C₄	—	2	48	no	—
140	C₂×C₃×C₄	—	2	96	no	—
141	C₂×C₃×C₄	—	2	48	no	—
142	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
144	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
145	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
146	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
147	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
148	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
149	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
150	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
151	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
152	C₂×C₃×C₄	—	4	48	no	—
153	C₂×C₃×C₄	—	4	24	no	—
154	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
155	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
156	C₂×C₃×C₄	C₂²×Q₈	1	16	yes	—
157	C₂⁴	C₂×C₃×D₄	1	4	yes	—
158	C₂⁴	C₂×C₃×D₄	1	4	yes	—
159	C₂⁴	C₂×C₃×Q₈	1	8	yes	—
160	C₂⁴	C₃×#41	1	4	yes	—
161	C₂⁴	C₃×#41	1	8	yes	—
162	C₂⁴	C₂⁴×C₃	1	3	yes	—
163	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
178	C₂²×C₄	C₂×C₃×D₄	1	24	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂×C₃×D₄	1	24	yes	—
180	C₂²×C₄	C₂×C₃×Q₈	1	48	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂⁴×C₃	1	4	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂⁴×C₃	1	8	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂⁴×C₃	1	4	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂⁴×C₃	1	4	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂⁴×C₃	1	8	yes	—
186	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
187	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
188	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
189	C₂²×C₃	#398	1	64	yes	direct product factor
190	C₂²×C₃	C₂×#121	1	12	yes	—
191	C₂²×C₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	24	yes	—
192	C₂²×C₃	C₂×#123	1	12	yes	—
193	C₂²×C₃	C₂×#125	1	24	yes	—
194	C₂²×C₃	C₂×C₄⋊Q₈	1	12	yes	—
195	C₂²×C₃	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₃	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₃	C₂³×Q₈	1	2	yes	—
198	C₂²×C₃	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₃	C₂²×#41	1	2	yes	—
200	C₃×C₄	—	2	8	no	—
201	C₃×C₄	—	2	16	no	—
202	C₃×C₄	—	2	8	no	—
203	C₃×C₄	—	4	8	no	—
204	C₃×C₄	—	4	4	no	—
205	C₂³	C₃×#121	1	16	yes	—
206	C₂³	C₃×C₂²⋊Q₈	1	32	yes	—
207	C₂³	C₃×#123	1	16	yes	—
208	C₂³	C₃×#125	1	32	yes	—
209	C₂³	C₃×C₄⋊Q₈	1	16	yes	—
210	C₂³	C₂²×C₃×D₄	1	6	yes	—
211	C₂³	C₂²×C₃×D₄	1	6	yes	—
212	C₂³	C₂²×C₃×Q₈	1	12	yes	—
213	C₂³	C₂×C₃×#41	1	6	yes	—
214	C₂³	C₂×C₃×#41	1	12	yes	—
215	C₂³	C₂⁵×C₃	1	1	yes	characteristic
216	C₂×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂×C₄	—	2	8	no	—
218	C₂×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂×C₄	—	2	8	no	—
220	C₂×C₄	—	2	8	no	—
221	C₂×C₄	—	2	48	no	—
222	C₂×C₄	—	2	96	no	—
223	C₂×C₄	—	2	48	no	—
224	C₂×C₄	—	2	8	no	—
225	C₂×C₄	—	2	8	no	—
226	C₂×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂×C₄	—	2	8	no	—
228	C₂×C₄	—	2	8	no	—
229	C₂×C₄	—	4	48	no	—
230	C₂×C₄	—	4	24	no	—
231	C₂×C₄	C₂²×C₃×D₄	1	8	yes	—
232	C₂×C₄	C₂²×C₃×D₄	1	8	yes	—
233	C₂×C₄	C₂²×C₃×Q₈	1	16	yes	—
234	C₂×C₃	C₂×#398	1	24	yes	direct product factor
235	C₂×C₃	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
236	C₂×C₃	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
237	C₂×C₃	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
238	C₂×C₃	C₂²×#125	1	2	yes	—
239	C₂×C₃	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
240	C₂²	C₃×#398	1	64	yes	direct product factor
241	C₂²	C₂×C₃×#121	1	12	yes	—
242	C₂²	C₂×C₃×C₂²⋊Q₈	1	24	yes	—
243	C₂²	C₂×C₃×#123	1	12	yes	—
244	C₂²	C₂×C₃×#125	1	24	yes	—
245	C₂²	C₂×C₃×C₄⋊Q₈	1	12	yes	—
246	C₂²	C₂³×C₃×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²	C₂³×C₃×D₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂²	C₂³×C₃×Q₈	1	2	yes	—
249	C₂²	C₂²×C₃×#41	1	1	yes	characteristic
250	C₂²	C₂²×C₃×#41	1	2	yes	—
251	C₄	—	2	8	no	—
252	C₄	—	2	16	no	—
253	C₄	—	2	8	no	—
254	C₄	—	4	8	no	—
255	C₄	—	4	4	no	—
256	C₃	C₂²×#398	1	1	yes	characteristic, direct product factor, Sylow
257	C₂	C₂×C₃×#398	1	24	yes	direct product factor
258	C₂	C₂²×C₃×#121	1	1	yes	characteristic
259	C₂	C₂²×C₃×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
260	C₂	C₂²×C₃×#123	1	1	yes	characteristic
261	C₂	C₂²×C₃×#125	1	2	yes	—
262	C₂	C₂²×C₃×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂⁵×C₃	C₂³
commutator, Frattini, cosocle	C₂³	C₂⁵×C₃
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁵×C₃ ◁ G

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. C₂×C₃×#398	C₂	direct (N × H)
7. C₂²×#398	C₃	direct (N × H)
19. C₃×#398	C₂²	direct (N × H)
25. C₂×#398	C₂×C₃	direct (N × H)
66. #398	C₂²×C₃	direct (N × H)
189. C₂²×C₃	#398	direct (N × H)
234. C₂×C₃	C₂×#398	direct (N × H)
240. C₂²	C₃×#398	direct (N × H)
256. C₃	C₂²×#398	direct (N × H)
257. C₂	C₂×C₃×#398	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×C₃×C₄⋊C₄	2
C₂×C₃×#398	2
C₂²×C₃×#95	2
C₂²×#398	3

Subgroups — C22×C3×#398 #10653145

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×C₃×#398 #10653145