Subgroups — #106616

Order 512.

1320 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 415 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34181	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1954	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1800	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#8045	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#7897	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#518	—	2	1	no	—
7	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#100	—	2	1	no	—
11	C₂²×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
12	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#2349	—	2	4	no	—
14	D₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
15	#2316	—	2	1	no	—
16	#2315	C₄	1	4	yes	—
17	#2285	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#380	—	2	2	no	—
19	#1954	—	2	2	no	—
20	#1954	C₄	1	4	yes	complemented
21	#1800	—	2	2	no	—
22	#1800	C₄	1	4	yes	complemented
23	C₂×#343	—	2	1	no	—
24	#1296	—	2	4	no	—
25	#1279	—	2	4	no	—
26	C₂³×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
27	C₂⁴×C₄	D₄	1	2	yes	—
28	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
29	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
30	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
31	#518	—	4	4	no	—
32	#518	—	4	2	no	—
33	#518	—	4	2	no	—
34	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
35	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
36	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
37	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
38	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
39	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
42	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	2	yes	—
43	C₂×#117	—	2	2	no	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
47	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	#423	—	2	2	no	—
50	#423	—	2	2	no	—
51	#423	—	2	2	no	—
52	#423	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
53	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
58	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
59	C₂×#100	—	2	4	no	—
60	C₂×#100	—	4	2	no	—
61	C₂×#100	—	4	2	no	—
62	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
63	C₂×C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
64	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
67	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
68	#389	—	2	8	no	—
69	#385	—	2	16	no	—
70	#384	D₄	1	4	yes	—
71	#382	—	2	2	no	—
72	#380	—	2	4	no	—
73	#380	—	2	4	no	—
74	#380	—	2	4	no	—
75	#380	—	2	2	no	—
76	#380	C₂×C₄	1	4	yes	—
77	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
78	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
79	C₂×#95	—	2	4	no	—
80	#343	—	2	4	no	—
81	C₂⁵	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
82	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
83	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
84	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
85	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
86	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
87	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
88	C₂²×D₄	D₈	1	2	yes	—
89	C₂²×D₄	SD₁₆	1	2	yes	—
90	C₂²×D₄	SD₁₆	1	2	yes	—
91	C₂²×D₄	Q₁₆	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
93	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
94	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
95	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
96	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
97	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
98	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
99	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
100	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
101	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
106	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
107	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
108	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
109	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
110	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
114	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
115	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
116	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
117	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
118	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
119	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
120	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
121	C₄×D₄	—	2	4	no	—
122	C₄×D₄	—	2	4	no	—
123	C₄×D₄	—	2	4	no	—
124	C₄×D₄	—	2	4	no	—
125	C₄×D₄	—	2	4	no	—
126	C₄×D₄	—	2	4	no	—
127	C₄×D₄	—	2	4	no	—
128	C₄×D₄	—	2	4	no	—
129	C₄×D₄	—	4	16	no	—
130	C₄×D₄	—	4	16	no	—
131	#117	—	4	2	no	—
132	#117	—	4	2	no	—
133	#117	—	4	2	no	—
134	#117	—	4	2	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
143	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
144	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	C₄²	1	4	yes	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
153	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
161	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
162	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
163	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
164	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
165	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
166	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
167	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
168	#100	—	4	8	no	—
169	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
170	C₄×C₈	—	2	4	no	—
171	C₄×C₈	—	4	2	no	—
172	#95	—	2	8	no	—
173	#95	—	2	4	no	—
174	#95	—	2	4	no	—
175	C₂⁴	—	2	2	no	—
176	C₂⁴	—	2	2	no	—
177	C₂⁴	—	2	2	no	—
178	C₂⁴	—	2	2	no	—
179	C₂⁴	—	4	4	no	—
180	C₂⁴	—	4	4	no	—
181	C₂⁴	#95	1	4	yes	—
182	C₂⁴	#102	1	4	yes	—
183	C₂⁴	#103	1	4	yes	—
184	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂×D₄	—	2	4	no	—
186	C₂×D₄	—	2	4	no	—
187	C₂×D₄	—	2	4	no	—
188	C₂×D₄	—	2	4	no	—
189	C₂×D₄	—	2	4	no	—
190	C₂×D₄	—	2	4	no	—
191	C₂×D₄	—	2	4	no	—
192	C₂×D₄	—	2	4	no	—
193	C₂×D₄	—	2	4	no	—
194	C₂×D₄	—	2	4	no	—
195	C₂×D₄	—	2	4	no	—
196	C₂×D₄	—	2	4	no	—
197	C₂×D₄	#102	1	4	yes	—
198	C₂×D₄	#103	1	4	yes	—
199	C₂×D₄	#106	1	4	yes	—
200	C₂×D₄	#107	1	4	yes	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
218	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
223	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
224	C₂²×C₄	#95	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	#137	1	2	yes	—
245	M₁₆	—	4	4	no	—
246	M₁₆	—	4	4	no	—
247	M₁₆	—	8	2	no	—
248	M₁₆	—	8	2	no	—
249	C₂×C₈	—	2	4	no	—
250	C₂×C₈	—	4	4	no	—
251	C₂×C₈	—	4	4	no	—
252	C₂×C₈	—	4	2	no	—
253	C₂×C₈	—	4	2	no	—
254	C₂×C₈	—	4	4	no	—
255	C₂×C₈	—	4	2	no	—
256	C₂×C₈	—	4	4	no	—
257	C₂×C₈	—	8	2	no	—
258	C₂×C₈	—	8	2	no	—
259	C₂×C₈	—	8	2	no	—
260	C₂×C₈	—	8	2	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
274	C₄²	—	4	4	no	—
275	C₄²	—	4	4	no	—
276	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
277	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
278	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
279	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
280	C₄²	#121	1	2	yes	—
281	C₄²	#121	1	2	yes	—
282	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
283	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
284	C₂³	—	2	2	no	—
285	C₂³	—	2	2	no	—
286	C₂³	—	2	4	no	—
287	C₂³	—	2	4	no	—
288	C₂³	—	2	4	no	—
289	C₂³	—	2	4	no	—
290	C₂³	—	2	4	no	—
291	C₂³	—	2	4	no	—
292	C₂³	—	4	4	no	—
293	C₂³	—	4	4	no	—
294	C₂³	—	4	8	no	—
295	C₂³	—	4	8	no	—
296	C₂³	—	4	4	no	—
297	C₂³	—	4	4	no	—
298	C₂³	—	8	2	no	—
299	C₂³	—	8	4	no	—
300	C₂³	—	8	4	no	—
301	C₂³	—	8	2	no	—
302	C₂³	#340	1	8	yes	—
303	C₂³	C₂×#95	1	1	yes	characteristic
304	C₂³	#379	1	1	yes	characteristic
305	C₂³	#381	1	1	yes	characteristic
306	C₂³	C₂×#102	1	1	yes	characteristic
307	C₂³	C₂×#103	1	1	yes	characteristic
308	C₂³	#418	1	1	yes	characteristic
309	C₂³	#419	1	1	yes	characteristic
310	D₄	—	2	8	no	—
311	D₄	—	2	8	no	—
312	D₄	—	2	8	no	—
313	D₄	—	2	8	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	1	no	—
319	C₂×C₄	—	2	1	no	—
320	C₂×C₄	—	2	1	no	—
321	C₂×C₄	—	2	1	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	4	1	no	—
324	C₂×C₄	—	4	1	no	—
325	C₂×C₄	—	4	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	4	no	—
327	C₂×C₄	—	4	8	no	—
328	C₂×C₄	—	4	4	no	—
329	C₂×C₄	—	4	4	no	—
330	C₂×C₄	—	4	4	no	—
331	C₂×C₄	—	4	8	no	—
332	C₂×C₄	—	4	8	no	—
333	C₂×C₄	—	4	8	no	—
334	C₂×C₄	—	8	4	no	—
335	C₂×C₄	—	8	4	no	—
336	C₂×C₄	—	8	2	no	—
337	C₂×C₄	—	16	16	no	—
338	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	#385	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#385	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	#386	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	#386	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	C₂×#102	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂×#103	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	#417	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	C₂×#106	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	C₂×#107	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	#428	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	#447	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	#448	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	#450	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	#451	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	#453	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	#455	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	#480	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	#481	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	#483	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	#484	1	2	yes	—
362	C₈	—	4	4	no	—
363	C₈	—	8	4	no	—
364	C₈	—	8	2	no	—
365	C₂²	—	2	2	no	—
366	C₂²	—	2	2	no	—
367	C₂²	—	2	2	no	—
368	C₂²	—	2	2	no	—
369	C₂²	—	2	1	no	—
370	C₂²	—	2	1	no	—
371	C₂²	—	2	1	no	—
372	C₂²	—	2	1	no	—
373	C₂²	—	2	8	no	—
374	C₂²	—	4	8	no	—
375	C₂²	—	4	8	no	—
376	C₂²	—	4	8	no	—
377	C₂²	—	4	4	no	—
378	C₂²	—	4	4	no	—
379	C₂²	—	8	4	no	—
380	C₂²	—	8	4	no	—
381	C₂²	—	8	4	no	—
382	C₂²	C₂²⋊#95	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	C₂×#340	1	1	yes	characteristic
384	C₂²	#1736	1	1	yes	characteristic
385	C₂²	#1786	1	1	yes	characteristic
386	C₂²	#1787	1	1	yes	characteristic
387	C₂²	#1791	1	2	yes	—
388	C₂²	#1792	1	2	yes	—
389	C₂²	#1823	1	1	yes	characteristic
390	C₂²	#1824	1	1	yes	characteristic
391	C₄	—	2	2	no	—
392	C₄	—	2	2	no	—
393	C₄	—	2	1	no	—
394	C₄	—	2	1	no	—
395	C₄	—	4	4	no	—
396	C₄	—	8	8	no	—
397	C₄	#1852	1	2	yes	—
398	C₄	#1853	1	2	yes	—
399	C₄	#1856	1	2	yes	—
400	C₄	#1872	1	2	yes	—
401	C₄	#1874	1	2	yes	—
402	C₄	#1885	1	1	yes	characteristic
403	C₄	#1887	1	1	yes	characteristic
404	C₂	—	2	1	no	—
405	C₂	—	2	1	no	—
406	C₂	—	2	1	no	—
407	C₂	—	2	1	no	—
408	C₂	—	4	8	no	—
409	C₂	#8353	1	2	yes	—
410	C₂	#8355	1	2	yes	—
411	C₂	#10730	1	1	yes	characteristic
412	C₂	#10747	1	1	yes	characteristic
413	C₂	#10749	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	#379
commutator	C₂²×C₄	C₂×C₄²
Frattini, cosocle	C₂²×C₄²	C₂³
prime radical	C₂³×D₄	D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #8045	C₂	semidirect
5. #7897	C₂	semidirect
20. #1954	C₄	semidirect
22. #1800	C₄	semidirect
52. #423	C₂×C₄	semidirect
58. C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
67. C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34181	2
C₂×#1954	2
C₂×#1800	2
#8045	2
#7897	2