Subgroups — #106698

Order 512.

1033 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 411 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2906	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20632	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#17349	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#8039	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#7957	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂²×#131	—	2	1	no	—
7	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
9	#2906	—	2	4	no	—
10	#2906	—	2	4	no	—
11	C₂×#424	—	2	1	no	—
12	C₂×#424	—	2	2	no	—
13	C₂×#423	C₄	1	2	yes	complemented
14	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×C₄⋊C₈	C₄	1	2	yes	complemented
16	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#410	—	2	1	no	—
18	#2285	C₂²	1	2	yes	—
19	#1799	—	2	2	no	—
20	#1799	C₄	1	4	yes	—
21	#1740	—	2	1	no	—
22	#1461	C₄	1	2	yes	complemented
23	#1460	C₄	1	2	yes	complemented
24	#1459	—	2	2	no	—
25	#1458	—	2	2	no	—
26	#1296	—	2	4	no	—
27	#1286	—	2	4	no	—
28	C₂²×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#131	—	2	8	no	—
30	C₂×#131	—	4	4	no	—
31	C₂×#131	—	4	2	no	—
32	C₂×#131	—	4	2	no	—
33	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
34	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
35	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
36	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
37	C₄×#41	—	2	2	no	—
38	C₄×#41	—	2	2	no	—
39	C₄×#41	—	2	2	no	—
40	C₄×#41	—	2	2	no	—
41	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₄×Q₈	Q₈	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
46	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
47	C₂×#117	—	2	2	no	—
48	C₂×#117	D₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#117	D₄	1	2	yes	—
50	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	#431	—	2	2	no	—
53	#431	—	2	2	no	—
54	#431	—	2	2	no	—
55	#431	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	#424	—	2	8	no	—
57	#424	—	2	16	no	—
58	#423	—	2	2	no	—
59	#423	—	2	4	no	—
60	#423	—	2	4	no	—
61	#423	D₄	1	4	yes	—
62	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
65	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
69	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
74	#410	—	4	2	no	—
75	#410	—	4	2	no	—
76	C₂×#99	—	2	4	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
78	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
79	#384	—	2	2	no	—
80	#382	—	2	2	no	—
81	#380	—	2	2	no	—
82	#380	C₂×C₄	1	4	yes	—
83	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
84	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
85	#342	—	2	4	no	—
86	#324	—	2	4	no	—
87	#323	—	2	4	no	—
88	C₂×#41	—	2	2	no	—
89	C₂×#41	—	2	2	no	—
90	C₂×#41	—	2	2	no	—
91	C₂×#41	—	2	2	no	—
92	C₂×#41	D₈	1	2	yes	—
93	C₂×#41	SD₁₆	1	2	yes	—
94	C₂×#41	SD₁₆	1	2	yes	—
95	C₂×#41	Q₁₆	1	2	yes	—
96	C₂²×Q₈	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
98	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂³×C₄	C₄²	1	2	yes	—
100	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
105	#131	—	4	16	no	—
106	#131	—	4	16	no	—
107	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
109	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
110	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
111	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
112	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
113	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
119	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
120	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
121	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
122	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
123	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
124	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
125	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
126	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
127	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
128	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
129	C₄×D₄	—	2	4	no	—
130	C₄×D₄	—	2	4	no	—
131	C₄×D₄	—	2	4	no	—
132	C₄×D₄	—	2	4	no	—
133	C₄×D₄	—	2	2	no	—
134	C₄×D₄	—	2	2	no	—
135	C₄×D₄	—	2	2	no	—
136	C₄×D₄	—	2	2	no	—
137	#117	—	2	2	no	—
138	#117	—	2	2	no	—
139	#117	—	2	4	no	—
140	#117	—	2	4	no	—
141	#117	—	4	2	no	—
142	#117	—	4	2	no	—
143	#117	—	4	2	no	—
144	#117	—	4	2	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
161	C₂×C₄²	C₄²	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
172	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
173	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
174	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
175	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
176	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
177	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
178	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
179	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
180	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
181	C₄⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
182	C₄⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
183	C₄⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
184	#99	—	4	8	no	—
185	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
186	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
187	C₄×C₈	—	2	4	no	—
188	C₄×C₈	—	4	2	no	—
189	#95	—	2	4	no	—
190	#95	—	4	2	no	—
191	C₂⁴	#95	1	2	yes	—
192	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
193	#41	—	2	4	no	—
194	#41	—	2	4	no	—
195	#41	—	2	4	no	—
196	#41	—	2	4	no	—
197	#41	—	2	4	no	—
198	#41	—	2	4	no	—
199	#41	—	2	4	no	—
200	#41	—	2	4	no	—
201	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
202	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
203	C₂×Q₈	#106	1	2	yes	—
204	C₂×Q₈	#107	1	2	yes	—
205	C₂×D₄	—	2	4	no	—
206	C₂×D₄	—	2	4	no	—
207	C₂×D₄	—	2	2	no	—
208	C₂×D₄	—	2	2	no	—
209	C₂×D₄	#102	1	4	yes	—
210	C₂×D₄	#103	1	4	yes	—
211	C₂×D₄	#106	1	2	yes	—
212	C₂×D₄	#107	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
225	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
226	C₂²×C₄	#95	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	#95	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	#95	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	#102	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	#103	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	#137	1	2	yes	—
249	M₁₆	—	4	16	no	—
250	M₁₆	—	4	4	no	—
251	M₁₆	—	4	4	no	—
252	C₂×C₈	—	2	2	no	—
253	C₂×C₈	—	2	4	no	—
254	C₂×C₈	—	2	2	no	—
255	C₂×C₈	—	4	16	no	—
256	C₂×C₈	—	4	1	no	—
257	C₂×C₈	—	4	2	no	—
258	C₂×C₈	—	4	1	no	—
259	C₂×C₈	—	4	1	no	—
260	C₂×C₈	—	4	2	no	—
261	C₂×C₈	—	4	1	no	—
262	C₂×C₈	—	4	4	no	—
263	C₂×C₈	—	4	4	no	—
264	C₂×C₈	—	4	4	no	—
265	C₂×C₈	—	8	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
270	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
273	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
279	C₄²	—	2	2	no	—
280	C₄²	—	2	2	no	—
281	C₄²	—	2	2	no	—
282	C₄²	—	2	2	no	—
283	C₄²	—	2	2	no	—
284	C₄²	—	2	2	no	—
285	C₄²	—	8	2	no	—
286	C₄²	—	8	2	no	—
287	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
288	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
289	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
290	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
291	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
292	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
293	C₄²	#120	1	2	yes	—
294	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
295	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
296	C₄²	#123	1	2	yes	—
297	C₂³	—	2	2	no	—
298	C₂³	—	2	2	no	—
299	C₂³	—	4	1	no	—
300	C₂³	—	4	1	no	—
301	C₂³	—	4	2	no	—
302	C₂³	—	4	2	no	—
303	C₂³	#340	1	4	yes	—
304	C₂³	C₂×#95	1	1	yes	characteristic
305	C₂³	#386	1	2	yes	—
306	C₂³	C₂×#102	1	1	yes	characteristic
307	C₂³	C₂×#103	1	1	yes	characteristic
308	C₂³	#417	1	2	yes	—
309	Q₈	—	2	4	no	—
310	Q₈	—	2	4	no	—
311	D₄	—	2	8	no	—
312	D₄	—	2	8	no	—
313	D₄	—	2	4	no	—
314	D₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	1	no	—
327	C₂×C₄	—	4	2	no	—
328	C₂×C₄	—	4	1	no	—
329	C₂×C₄	—	4	1	no	—
330	C₂×C₄	—	4	2	no	—
331	C₂×C₄	—	4	4	no	—
332	C₂×C₄	—	4	4	no	—
333	C₂×C₄	—	4	2	no	—
334	C₂×C₄	—	4	2	no	—
335	C₂×C₄	—	8	2	no	—
336	C₂×C₄	—	8	2	no	—
337	C₂×C₄	—	8	4	no	—
338	C₂×C₄	—	8	4	no	—
339	C₂×C₄	—	8	4	no	—
340	C₂×C₄	#340	1	4	yes	—
341	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	#379	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	#380	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	#380	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	#381	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	C₂×#102	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	C₂×#103	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	#418	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	#419	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	C₂×#106	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	C₂×#107	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	#428	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	#447	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	#448	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	#450	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	#451	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	#480	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	#481	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	#483	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	#484	1	2	yes	—
365	C₈	—	4	2	no	—
366	C₈	—	4	4	no	—
367	C₈	—	4	2	no	—
368	C₈	—	8	4	no	—
369	C₂²	—	2	1	no	—
370	C₂²	—	2	2	no	—
371	C₂²	—	2	1	no	—
372	C₂²	—	2	2	no	—
373	C₂²	—	2	4	no	—
374	C₂²	—	4	1	no	—
375	C₂²	—	4	1	no	—
376	C₂²	—	4	2	no	—
377	C₂²	—	4	4	no	—
378	C₂²	—	4	4	no	—
379	C₂²	—	4	2	no	—
380	C₂²	—	4	2	no	—
381	C₂²	C₂²⋊#95	1	1	yes	characteristic
382	C₂²	C₂×#340	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	#1736	1	1	yes	characteristic
384	C₂²	#1872	1	2	yes	—
385	C₂²	#1874	1	2	yes	—
386	C₄	—	2	2	no	—
387	C₄	—	2	1	no	—
388	C₄	—	2	1	no	—
389	C₄	—	2	1	no	—
390	C₄	—	2	2	no	—
391	C₄	—	2	4	no	—
392	C₄	—	4	2	no	—
393	C₄	—	4	2	no	—
394	C₄	—	16	4	no	—
395	C₄	#1786	1	1	yes	characteristic
396	C₄	#1787	1	1	yes	characteristic
397	C₄	#1812	1	2	yes	—
398	C₄	#1823	1	1	yes	characteristic
399	C₄	#1824	1	1	yes	characteristic
400	C₄	#1852	1	2	yes	—
401	C₄	#1853	1	2	yes	—
402	C₂	—	2	2	no	—
403	C₂	—	2	1	no	—
404	C₂	—	2	1	no	—
405	C₂	—	2	2	no	—
406	C₂	—	4	4	no	—
407	C₂	#10730	1	1	yes	characteristic
408	C₂	#10759	1	1	yes	characteristic
409	C₂	#10771	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	#381
commutator	C₂²×C₄	C₂×C₄²
Frattini, cosocle	C₂²×C₄²	C₂³
socle	C₂²	C₂²⋊#95
prime radical	C₂²×#41	D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #8039	C₂	semidirect
5. #7957	C₂	semidirect
13. C₂×#423	C₄	semidirect
15. C₂²×C₄⋊C₈	C₄	semidirect
22. #1461	C₄	semidirect
23. #1460	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2906	2
#20632	2
#17349	2
#8039	2
#7957	2