Subgroups — C₂²×C₃×#451 #10678957

Order 768.

4982 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 312 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂⁴×C₃×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂³×C₃×Q₁₆	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂²×C₃×C₂²⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×C₃×#451	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
5	C₂²×C₃×#103	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂²×C₃×C₂²⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂²×#451	C₃	1	1	yes	maximal, characteristic, direct product factor, Sylow
8	C₂³×C₃×Q₈	—	2	16	no	—
9	C₂³×C₃×Q₈	—	2	6	no	—
10	C₂³×C₃×Q₈	—	2	1	no	—
11	C₂³×C₃×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂³×C₃×Q₈	C₂²	1	12	yes	—
13	C₂³×C₃×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂⁴×C₃×C₄	—	2	1	no	—
15	C₂⁴×C₃×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×C₃×Q₁₆	—	2	16	no	—
17	C₂²×C₃×Q₁₆	C₂²	1	24	yes	complemented
18	C₂³×C₃×C₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₃×C₂²⋊Q₈	—	2	6	no	—
20	C₂×C₃×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	12	yes	—
21	C₂²×C₃×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
22	C₂²×C₃×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×C₃×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
24	C₃×#451	C₂²	1	64	yes	direct product factor
25	C₂×C₃×#103	C₂²	1	24	yes	complemented
26	C₂×C₃×C₂²⋊C₈	C₂²	1	12	yes	—
27	C₂⁴×Q₈	C₂×C₃	1	1	yes	characteristic
28	C₂³×Q₁₆	C₂×C₃	1	2	yes	complemented
29	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂×C₃	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#451	C₂×C₃	1	24	yes	direct product factor
31	C₂²×#103	C₂×C₃	1	2	yes	complemented
32	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂×C₃	1	1	yes	characteristic
33	C₂⁵×C₃	D₄	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×C₃×Q₈	—	2	96	no	—
35	C₂²×C₃×Q₈	—	2	16	no	—
36	C₂²×C₃×Q₈	—	2	96	no	—
37	C₂²×C₃×Q₈	—	2	8	no	—
38	C₂²×C₃×Q₈	—	2	12	no	—
39	C₂²×C₃×Q₈	—	2	24	no	—
40	C₂²×C₃×Q₈	—	2	6	no	—
41	C₂²×C₃×Q₈	—	2	3	no	—
42	C₂²×C₃×Q₈	—	2	8	no	—
43	C₂²×C₃×Q₈	D₄	1	16	yes	—
44	C₂²×C₃×Q₈	C₂³	1	6	yes	—
45	C₂²×C₃×Q₈	C₂³	1	16	yes	—
46	C₂²×C₃×Q₈	C₂³	1	12	yes	—
47	C₂³×C₃×C₄	—	2	16	no	—
48	C₂³×C₃×C₄	—	2	12	no	—
49	C₂³×C₃×C₄	—	2	2	no	—
50	C₂³×C₃×C₄	—	2	8	no	—
51	C₂³×C₃×C₄	—	2	1	no	—
52	C₂³×C₃×C₄	—	2	1	no	—
53	C₂³×C₃×C₄	D₄	1	6	yes	—
54	C₂³×C₃×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	6	yes	—
56	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₃×Q₁₆	—	2	96	no	—
58	C₂×C₃×Q₁₆	C₂³	1	32	yes	complemented
59	C₂²×C₃×C₈	—	2	8	no	—
60	C₂²×C₃×C₈	C₂³	1	12	yes	—
61	C₃×C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
62	C₃×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	16	yes	—
63	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
64	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
65	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
66	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
67	C₃×#103	C₂³	1	32	yes	complemented
68	C₃×C₂²⋊C₈	C₂³	1	16	yes	—
69	C₂³×Q₈	—	2	16	no	—
70	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
71	C₂³×Q₈	—	2	6	no	—
72	C₂³×Q₈	C₂²×C₃	1	12	yes	—
73	C₂³×Q₈	C₂²×C₃	1	1	yes	characteristic
74	C₂³×Q₈	C₂²×C₃	1	2	yes	—
75	C₂⁴×C₄	—	2	1	no	—
76	C₂⁴×C₄	C₂²×C₃	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×Q₁₆	—	2	16	no	—
78	C₂²×Q₁₆	C₂²×C₃	1	24	yes	complemented
79	C₂³×C₈	C₂²×C₃	1	2	yes	—
80	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	6	no	—
81	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²×C₃	1	12	yes	—
82	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
83	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²×C₃	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
85	#451	C₂²×C₃	1	64	yes	direct product factor
86	C₂×#103	C₂²×C₃	1	24	yes	complemented
87	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²×C₃	1	12	yes	—
88	C₂⁴×C₃	—	2	4	no	—
89	C₂⁴×C₃	—	2	4	no	—
90	C₂⁴×C₃	Q₁₆	1	8	yes	complemented
91	C₂⁴×C₃	C₂×D₄	1	6	yes	—
92	C₂⁴×C₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₃×Q₈	—	2	192	no	—
94	C₂×C₃×Q₈	—	2	96	no	—
95	C₂×C₃×Q₈	—	2	64	no	—
96	C₂×C₃×Q₈	—	2	48	no	—
97	C₂×C₃×Q₈	—	2	24	no	—
98	C₂×C₃×Q₈	—	2	16	no	—
99	C₂×C₃×Q₈	—	2	12	no	—
100	C₂×C₃×Q₈	—	2	6	no	—
101	C₂×C₃×Q₈	—	2	24	no	—
102	C₂×C₃×Q₈	—	4	12	no	—
103	C₂×C₃×Q₈	C₂×D₄	1	48	yes	—
104	C₂×C₃×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
105	C₂×C₃×Q₈	C₂⁴	1	8	yes	—
106	C₂²×C₃×C₄	—	2	96	no	—
107	C₂²×C₃×C₄	—	2	16	no	—
108	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
109	C₂²×C₃×C₄	—	2	16	no	—
110	C₂²×C₃×C₄	—	2	12	no	—
111	C₂²×C₃×C₄	—	2	24	no	—
112	C₂²×C₃×C₄	—	2	24	no	—
113	C₂²×C₃×C₄	—	2	6	no	—
114	C₂²×C₃×C₄	—	2	6	no	—
115	C₂²×C₃×C₄	—	4	4	no	—
116	C₂²×C₃×C₄	—	4	4	no	—
117	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
118	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
119	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
120	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
121	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
122	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
123	C₃×Q₁₆	—	2	64	no	—
124	C₂×C₃×C₈	—	2	24	no	—
125	C₂×C₃×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
126	C₃×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
127	C₃×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
128	C₃×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
129	C₃×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
130	C₂⁵	C₃×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×Q₈	—	2	96	no	—
132	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
133	C₂²×Q₈	—	2	96	no	—
134	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
135	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
136	C₂²×Q₈	—	2	24	no	—
137	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
138	C₂²×Q₈	—	2	3	no	—
139	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
140	C₂²×Q₈	C₃×D₄	1	16	yes	—
141	C₂²×Q₈	C₂³×C₃	1	6	yes	—
142	C₂²×Q₈	C₂³×C₃	1	16	yes	—
143	C₂²×Q₈	C₂³×C₃	1	12	yes	—
144	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
145	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
146	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
147	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
148	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
149	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
150	C₂³×C₄	C₃×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂³×C₄	C₃×D₄	1	6	yes	—
152	C₂³×C₄	C₂³×C₃	1	6	yes	—
153	C₂³×C₄	C₂³×C₃	1	1	yes	characteristic
154	C₂×Q₁₆	—	2	96	no	—
155	C₂×Q₁₆	C₂³×C₃	1	32	yes	complemented
156	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
157	C₂²×C₈	C₂³×C₃	1	12	yes	—
158	C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
159	C₂²⋊Q₈	C₂³×C₃	1	16	yes	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	C₂³×C₃	1	6	yes	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
164	#103	C₂³×C₃	1	32	yes	complemented
165	C₂²⋊C₈	C₂³×C₃	1	16	yes	—
166	C₂³×C₃	—	2	12	no	—
167	C₂³×C₃	—	2	12	no	—
168	C₂³×C₃	—	2	32	no	—
169	C₂³×C₃	#120	1	4	yes	—
170	C₂³×C₃	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
171	C₂³×C₃	C₂×Q₁₆	1	24	yes	complemented
172	C₂³×C₃	#137	1	4	yes	—
173	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	4	yes	—
174	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	3	yes	—
175	C₃×Q₈	—	2	64	no	—
176	C₃×Q₈	—	2	48	no	—
177	C₃×Q₈	—	2	8	no	—
178	C₃×Q₈	—	2	8	no	—
179	C₃×Q₈	—	4	12	no	—
180	C₃×Q₈	C₂²×D₄	1	16	yes	—
181	C₂×C₃×C₄	—	2	64	no	—
182	C₂×C₃×C₄	—	2	48	no	—
183	C₂×C₃×C₄	—	2	12	no	—
184	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
185	C₂×C₃×C₄	—	2	24	no	—
186	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
187	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂×C₃×C₄	—	4	12	no	—
190	C₂×C₃×C₄	—	4	12	no	—
191	C₂×C₃×C₄	#120	1	12	yes	—
192	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
193	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
194	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
195	C₂×C₃×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
196	C₃×C₈	—	2	8	no	—
197	C₂⁴	—	2	4	no	—
198	C₂⁴	—	2	4	no	—
199	C₂⁴	C₃×Q₁₆	1	8	yes	complemented
200	C₂⁴	C₂×C₃×D₄	1	6	yes	—
201	C₂⁴	C₂×C₃×D₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂×Q₈	—	2	192	no	—
203	C₂×Q₈	—	2	96	no	—
204	C₂×Q₈	—	2	64	no	—
205	C₂×Q₈	—	2	48	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
208	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
209	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
210	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
212	C₂×Q₈	C₂×C₃×D₄	1	48	yes	—
213	C₂×Q₈	C₂⁴×C₃	1	4	yes	—
214	C₂×Q₈	C₂⁴×C₃	1	8	yes	—
215	C₂²×C₄	—	2	96	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
226	C₂²×C₄	C₂×C₃×D₄	1	6	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂×C₃×D₄	1	12	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×C₃×D₄	1	3	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂×C₃×D₄	1	8	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂⁴×C₃	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂⁴×C₃	1	3	yes	—
232	Q₁₆	—	2	64	no	—
233	C₂×C₈	—	2	24	no	—
234	C₂×C₈	C₂⁴×C₃	1	8	yes	—
235	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
237	C₄⋊C₄	C₂⁴×C₃	1	4	yes	—
238	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
239	C₂²×C₃	—	2	4	no	—
240	C₂²×C₃	—	2	48	no	—
241	C₂²×C₃	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₃	#451	1	16	yes	direct product factor
243	C₂²×C₃	C₂×#120	1	6	yes	—
244	C₂²×C₃	C₂²×Q₁₆	1	6	yes	—
245	C₂²×C₃	C₂²×Q₁₆	1	8	yes	complemented
246	C₂²×C₃	C₂×#137	1	6	yes	—
247	C₂²×C₃	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
248	C₃×C₄	—	2	16	no	—
249	C₃×C₄	—	2	4	no	—
250	C₃×C₄	—	4	4	no	—
251	C₃×C₄	—	4	4	no	—
252	C₃×C₄	C₂×#120	1	6	yes	—
253	C₃×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
254	C₂³	—	2	12	no	—
255	C₂³	—	2	32	no	—
256	C₂³	—	2	12	no	—
257	C₂³	C₃×#120	1	4	yes	—
258	C₂³	C₂×C₃×Q₁₆	1	4	yes	—
259	C₂³	C₂×C₃×Q₁₆	1	24	yes	complemented
260	C₂³	C₃×#137	1	4	yes	—
261	C₂³	C₂²×C₃×D₄	1	4	yes	—
262	C₂³	C₂²×C₃×D₄	1	3	yes	—
263	Q₈	—	2	64	no	—
264	Q₈	—	2	8	no	—
265	Q₈	—	2	48	no	—
266	Q₈	—	2	8	no	—
267	Q₈	—	4	12	no	—
268	Q₈	C₂²×C₃×D₄	1	16	yes	—
269	C₂×C₄	—	2	64	no	—
270	C₂×C₄	—	2	8	no	—
271	C₂×C₄	—	2	48	no	—
272	C₂×C₄	—	2	12	no	—
273	C₂×C₄	—	2	8	no	—
274	C₂×C₄	—	2	24	no	—
275	C₂×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂×C₄	—	4	12	no	—
278	C₂×C₄	—	4	12	no	—
279	C₂×C₄	C₃×#120	1	12	yes	—
280	C₂×C₄	C₂²×C₃×D₄	1	4	yes	—
281	C₂×C₄	C₂²×C₃×D₄	1	12	yes	—
282	C₂×C₄	C₂²×C₃×D₄	1	3	yes	—
283	C₂×C₄	C₂⁵×C₃	1	1	yes	characteristic
284	C₈	—	2	8	no	—
285	C₂×C₃	—	2	8	no	—
286	C₂×C₃	C₂×#451	1	12	yes	direct product factor
287	C₂×C₃	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₃	C₂³×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₃	C₂²×#137	1	1	yes	characteristic
290	C₂²	—	2	4	no	—
291	C₂²	—	2	48	no	—
292	C₂²	—	2	4	no	—
293	C₂²	C₃×#451	1	16	yes	direct product factor
294	C₂²	C₂×C₃×#120	1	6	yes	—
295	C₂²	C₂²×C₃×Q₁₆	1	6	yes	—
296	C₂²	C₂²×C₃×Q₁₆	1	8	yes	complemented
297	C₂²	C₂×C₃×#137	1	6	yes	—
298	C₂²	C₂³×C₃×D₄	1	1	yes	characteristic
299	C₄	—	2	16	no	—
300	C₄	—	2	4	no	—
301	C₄	—	4	4	no	—
302	C₄	—	4	4	no	—
303	C₄	C₂×C₃×#120	1	6	yes	—
304	C₄	C₂³×C₃×D₄	1	2	yes	—
305	C₃	C₂²×#451	1	1	yes	characteristic, direct product factor, Sylow
306	C₂	—	2	8	no	—
307	C₂	C₂×C₃×#451	1	12	yes	direct product factor
308	C₂	C₂²×C₃×#120	1	1	yes	characteristic
309	C₂	C₂³×C₃×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
310	C₂	C₂²×C₃×#137	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴×C₃	C₂×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵×C₃
prime radical	C₂⁵×C₃	D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴×C₃ ◁ C₂⁴×C₃×C₄ ◁ G

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂³×C₃×Q₁₆	C₂	semidirect
4. C₂×C₃×#451	C₂	direct (N × H)
5. C₂²×C₃×#103	C₂	semidirect
7. C₂²×#451	C₃	direct (N × H)
17. C₂²×C₃×Q₁₆	C₂²	semidirect
24. C₃×#451	C₂²	direct (N × H)
25. C₂×C₃×#103	C₂²	semidirect
28. C₂³×Q₁₆	C₂×C₃	semidirect
30. C₂×#451	C₂×C₃	direct (N × H)
31. C₂²×#103	C₂×C₃	semidirect
58. C₂×C₃×Q₁₆	C₂³	semidirect
67. C₃×#103	C₂³	semidirect
78. C₂²×Q₁₆	C₂²×C₃	semidirect
85. #451	C₂²×C₃	direct (N × H)
86. C₂×#103	C₂²×C₃	semidirect
90. C₂⁴×C₃	Q₁₆	semidirect
155. C₂×Q₁₆	C₂³×C₃	semidirect
164. #103	C₂³×C₃	semidirect
171. C₂³×C₃	C₂×Q₁₆	semidirect
199. C₂⁴	C₃×Q₁₆	semidirect
242. C₂²×C₃	#451	direct (N × H)
245. C₂²×C₃	C₂²×Q₁₆	semidirect
259. C₂³	C₂×C₃×Q₁₆	semidirect
286. C₂×C₃	C₂×#451	direct (N × H)
293. C₂²	C₃×#451	direct (N × H)
296. C₂²	C₂²×C₃×Q₁₆	semidirect
305. C₃	C₂²×#451	direct (N × H)
307. C₂	C₂×C₃×#451	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂⁴×C₃×Q₈	2
C₂³×C₃×Q₁₆	2
C₂²×C₃×C₂²⋊Q₈	2
C₂×C₃×#451	2
C₂²×C₃×#103	2
C₂²×C₃×C₂²⋊C₈	2
C₂²×#451	3

Subgroups — C22×C3×#451 #10678957

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×C₃×#451 #10678957