Subgroups — C₂²×C₃×#459 #10679010

Order 768.

3910 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 328 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×C₃×D₈	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂²×C₃×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂²×C₃×C₄×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×C₃×#459	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
5	C₂²×C₃×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂²×C₃×#102	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂²×#459	C₃	1	1	yes	maximal, characteristic, direct product factor, Sylow
8	C₂³×C₃×D₄	—	2	1	no	—
9	C₂³×C₃×D₄	—	2	1	no	—
10	C₂³×C₃×D₄	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂³×C₃×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂⁴×C₃×C₄	—	2	1	no	—
13	C₂²×C₃×D₈	—	2	16	no	—
14	C₂²×C₃×D₈	C₂²	1	24	yes	complemented
15	C₂³×C₃×C₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₃×#127	—	2	6	no	—
17	C₂×C₃×#127	C₂²	1	12	yes	complemented
18	C₂×C₃×C₄×D₄	—	2	6	no	—
19	C₂×C₃×C₄×D₄	C₂²	1	12	yes	complemented
20	C₂²×C₃×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₃×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
22	C₂²×C₃×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₃×#459	C₂²	1	64	yes	direct product factor
24	C₂×C₃×C₄⋊C₈	C₂²	1	12	yes	complemented
25	C₂×C₃×#102	C₂²	1	24	yes	complemented
26	C₂³×D₈	C₂×C₃	1	2	yes	complemented
27	C₂²×#127	C₂×C₃	1	1	yes	characteristic, complemented
28	C₂²×C₄×D₄	C₂×C₃	1	1	yes	characteristic, complemented
29	C₂×#459	C₂×C₃	1	24	yes	direct product factor
30	C₂²×C₄⋊C₈	C₂×C₃	1	1	yes	characteristic, complemented
31	C₂²×#102	C₂×C₃	1	2	yes	complemented
32	C₂⁵×C₃	—	2	1	no	—
33	C₂⁵×C₃	—	2	2	no	—
34	C₂²×C₃×D₄	—	2	3	no	—
35	C₂²×C₃×D₄	—	2	8	no	—
36	C₂²×C₃×D₄	—	2	12	no	—
37	C₂²×C₃×D₄	—	2	12	no	—
38	C₂²×C₃×D₄	—	2	6	no	—
39	C₂²×C₃×D₄	—	2	4	no	—
40	C₂²×C₃×D₄	—	2	8	no	—
41	C₂²×C₃×D₄	—	4	8	no	—
42	C₂²×C₃×D₄	—	4	8	no	—
43	C₂²×C₃×D₄	D₄	1	8	yes	complemented
44	C₂²×C₃×D₄	C₂³	1	12	yes	—
45	C₂²×C₃×D₄	C₂³	1	6	yes	—
46	C₂³×C₃×C₄	—	2	1	no	—
47	C₂³×C₃×C₄	—	2	12	no	—
48	C₂³×C₃×C₄	—	4	8	no	—
49	C₂³×C₃×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂³×C₃×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₃×D₈	—	2	96	no	—
53	C₂×C₃×D₈	C₂³	1	32	yes	complemented
54	C₂²×C₃×C₈	—	2	8	no	—
55	C₂²×C₃×C₈	C₂³	1	12	yes	—
56	C₃×#127	—	2	24	no	—
57	C₃×#127	C₂³	1	16	yes	complemented
58	C₃×C₄×D₄	—	2	24	no	—
59	C₃×C₄×D₄	C₂³	1	16	yes	complemented
60	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
61	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
62	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
63	C₂×C₃×C₄²	D₄	1	6	yes	—
64	C₂×C₃×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
65	C₃×C₄⋊C₈	C₂³	1	16	yes	complemented
66	C₃×#102	C₂³	1	32	yes	complemented
67	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
68	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
69	C₂³×D₄	C₂²×C₃	1	2	yes	—
70	C₂³×D₄	C₂²×C₃	1	1	yes	characteristic
71	C₂⁴×C₄	—	2	1	no	—
72	C₂²×D₈	—	2	16	no	—
73	C₂²×D₈	C₂²×C₃	1	24	yes	complemented
74	C₂³×C₈	C₂²×C₃	1	2	yes	—
75	C₂×#127	—	2	6	no	—
76	C₂×#127	C₂²×C₃	1	12	yes	complemented
77	C₂×C₄×D₄	—	2	6	no	—
78	C₂×C₄×D₄	C₂²×C₃	1	12	yes	complemented
79	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²×C₃	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
81	C₂²×C₄²	C₂²×C₃	1	1	yes	characteristic
82	#459	C₂²×C₃	1	64	yes	direct product factor
83	C₂×C₄⋊C₈	C₂²×C₃	1	12	yes	complemented
84	C₂×#102	C₂²×C₃	1	24	yes	complemented
85	C₂⁴×C₃	—	2	8	no	—
86	C₂⁴×C₃	—	2	6	no	—
87	C₂⁴×C₃	—	2	12	no	—
88	C₂⁴×C₃	—	4	4	no	—
89	C₂⁴×C₃	—	4	4	no	—
90	C₂⁴×C₃	—	4	8	no	—
91	C₂⁴×C₃	—	4	8	no	—
92	C₂⁴×C₃	—	4	8	no	—
93	C₂⁴×C₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₃×D₄	—	2	24	no	—
95	C₂×C₃×D₄	—	2	6	no	—
96	C₂×C₃×D₄	—	2	24	no	—
97	C₂×C₃×D₄	—	2	12	no	—
98	C₂×C₃×D₄	—	2	16	no	—
99	C₂×C₃×D₄	—	2	16	no	—
100	C₂×C₃×D₄	—	2	12	no	—
101	C₂×C₃×D₄	—	2	24	no	—
102	C₂×C₃×D₄	—	4	48	no	—
103	C₂×C₃×D₄	—	4	24	no	—
104	C₂×C₃×D₄	—	4	48	no	—
105	C₂×C₃×D₄	C₂×D₄	1	24	yes	complemented
106	C₂×C₃×D₄	C₂⁴	1	8	yes	—
107	C₂×C₃×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
108	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
109	C₂²×C₃×C₄	—	2	6	no	—
110	C₂²×C₃×C₄	—	2	16	no	—
111	C₂²×C₃×C₄	—	4	4	no	—
112	C₂²×C₃×C₄	—	4	48	no	—
113	C₂²×C₃×C₄	D₈	1	8	yes	complemented
114	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
115	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
116	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
117	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
118	C₂²×C₃×C₄	#41	1	4	yes	—
119	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
120	C₃×D₈	—	2	64	no	—
121	C₂×C₃×C₈	—	2	24	no	—
122	C₂×C₃×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
123	C₃×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
124	C₃×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
125	C₃×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
126	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
127	C₃×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
128	C₂⁵	—	2	1	no	—
129	C₂⁵	—	2	2	no	—
130	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
131	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
132	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
133	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
134	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
135	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
136	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
137	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
138	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
139	C₂²×D₄	C₃×D₄	1	8	yes	complemented
140	C₂²×D₄	C₂³×C₃	1	12	yes	—
141	C₂²×D₄	C₂³×C₃	1	6	yes	—
142	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
143	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
144	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
145	C₂³×C₄	C₃×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂³×C₄	C₃×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂³×C₄	C₂³×C₃	1	1	yes	characteristic
148	C₂×D₈	—	2	96	no	—
149	C₂×D₈	C₂³×C₃	1	32	yes	complemented
150	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
151	C₂²×C₈	C₂³×C₃	1	12	yes	—
152	#127	—	2	24	no	—
153	#127	C₂³×C₃	1	16	yes	complemented
154	C₄×D₄	—	2	24	no	—
155	C₄×D₄	C₂³×C₃	1	16	yes	complemented
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂³×C₃	1	6	yes	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
159	C₂×C₄²	C₃×D₄	1	6	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂³×C₃	1	6	yes	—
161	C₄⋊C₈	C₂³×C₃	1	16	yes	complemented
162	#102	C₂³×C₃	1	32	yes	complemented
163	C₂³×C₃	—	2	24	no	—
164	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
165	C₂³×C₃	—	2	8	no	—
166	C₂³×C₃	—	4	12	no	—
167	C₂³×C₃	—	4	12	no	—
168	C₂³×C₃	—	4	32	no	—
169	C₂³×C₃	—	4	24	no	—
170	C₂³×C₃	—	4	24	no	—
171	C₂³×C₃	—	4	24	no	—
172	C₂³×C₃	—	8	32	no	—
173	C₂³×C₃	#121	1	4	yes	—
174	C₂³×C₃	C₂×D₈	1	4	yes	—
175	C₂³×C₃	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
176	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	3	yes	—
177	C₃×D₄	—	2	24	no	—
178	C₃×D₄	—	2	8	no	—
179	C₃×D₄	—	2	4	no	—
180	C₃×D₄	—	2	8	no	—
181	C₃×D₄	—	4	32	no	—
182	C₃×D₄	—	4	24	no	—
183	C₃×D₄	—	4	32	no	—
184	C₃×D₄	C₂²×D₄	1	8	yes	complemented
185	C₂×C₃×C₄	—	2	12	no	—
186	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂×C₃×C₄	—	4	12	no	—
188	C₂×C₃×C₄	—	4	32	no	—
189	C₂×C₃×C₄	#121	1	12	yes	—
190	C₂×C₃×C₄	C₂×D₈	1	24	yes	complemented
191	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
192	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
193	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
194	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
195	C₂×C₃×C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
196	C₂×C₃×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
197	C₃×C₈	—	2	8	no	—
198	C₂⁴	—	2	8	no	—
199	C₂⁴	—	2	6	no	—
200	C₂⁴	—	2	12	no	—
201	C₂⁴	—	4	4	no	—
202	C₂⁴	—	4	4	no	—
203	C₂⁴	—	4	8	no	—
204	C₂⁴	—	4	8	no	—
205	C₂⁴	—	4	8	no	—
206	C₂⁴	C₂×C₃×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂×D₄	—	2	24	no	—
208	C₂×D₄	—	2	6	no	—
209	C₂×D₄	—	2	24	no	—
210	C₂×D₄	—	2	12	no	—
211	C₂×D₄	—	2	16	no	—
212	C₂×D₄	—	2	16	no	—
213	C₂×D₄	—	2	12	no	—
214	C₂×D₄	—	2	24	no	—
215	C₂×D₄	—	4	48	no	—
216	C₂×D₄	—	4	24	no	—
217	C₂×D₄	—	4	48	no	—
218	C₂×D₄	C₂×C₃×D₄	1	24	yes	complemented
219	C₂×D₄	C₂⁴×C₃	1	8	yes	—
220	C₂×D₄	C₂⁴×C₃	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	48	no	—
226	C₂²×C₄	C₃×D₈	1	8	yes	complemented
227	C₂²×C₄	C₂×C₃×D₄	1	6	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×C₃×D₄	1	3	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂×C₃×D₄	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×C₃×D₄	1	6	yes	—
231	C₂²×C₄	C₃×#41	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂⁴×C₃	1	3	yes	—
233	D₈	—	2	64	no	—
234	C₂×C₈	—	2	24	no	—
235	C₂×C₈	C₂⁴×C₃	1	8	yes	—
236	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
237	C₄⋊C₄	C₂⁴×C₃	1	4	yes	—
238	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
239	C₄²	C₂×C₃×D₄	1	12	yes	—
240	C₄²	C₂⁴×C₃	1	4	yes	—
241	C₂²×C₃	—	2	8	no	—
242	C₂²×C₃	—	4	48	no	—
243	C₂²×C₃	—	4	4	no	—
244	C₂²×C₃	—	4	4	no	—
245	C₂²×C₃	—	4	8	no	—
246	C₂²×C₃	—	4	8	no	—
247	C₂²×C₃	—	4	8	no	—
248	C₂²×C₃	—	8	48	no	—
249	C₂²×C₃	#459	1	16	yes	direct product factor
250	C₂²×C₃	C₂×#121	1	6	yes	—
251	C₂²×C₃	C₂²×D₈	1	6	yes	—
252	C₂²×C₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	6	yes	—
253	C₂²×C₃	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
254	C₃×C₄	—	2	4	no	—
255	C₃×C₄	—	4	4	no	—
256	C₃×C₄	C₂×#121	1	6	yes	—
257	C₃×C₄	C₂²×D₈	1	8	yes	complemented
258	C₃×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₃×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
260	C₂³	—	2	4	no	—
261	C₂³	—	2	24	no	—
262	C₂³	—	2	8	no	—
263	C₂³	—	4	12	no	—
264	C₂³	—	4	12	no	—
265	C₂³	—	4	32	no	—
266	C₂³	—	4	24	no	—
267	C₂³	—	4	24	no	—
268	C₂³	—	4	24	no	—
269	C₂³	—	8	32	no	—
270	C₂³	C₃×#121	1	4	yes	—
271	C₂³	C₂×C₃×D₈	1	4	yes	—
272	C₂³	C₃×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
273	C₂³	C₂²×C₃×D₄	1	3	yes	—
274	D₄	—	2	8	no	—
275	D₄	—	2	4	no	—
276	D₄	—	2	8	no	—
277	D₄	—	2	24	no	—
278	D₄	—	4	32	no	—
279	D₄	—	4	32	no	—
280	D₄	—	4	24	no	—
281	D₄	C₂²×C₃×D₄	1	8	yes	complemented
282	C₂×C₄	—	2	12	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	4	12	no	—
285	C₂×C₄	—	4	32	no	—
286	C₂×C₄	C₃×#121	1	12	yes	—
287	C₂×C₄	C₂×C₃×D₈	1	24	yes	complemented
288	C₂×C₄	C₂²×C₃×D₄	1	4	yes	—
289	C₂×C₄	C₂²×C₃×D₄	1	4	yes	—
290	C₂×C₄	C₂²×C₃×D₄	1	6	yes	—
291	C₂×C₄	C₂²×C₃×D₄	1	3	yes	—
292	C₂×C₄	C₂×C₃×#41	1	6	yes	—
293	C₂×C₄	C₂⁵×C₃	1	1	yes	characteristic
294	C₈	—	2	8	no	—
295	C₂×C₃	—	4	8	no	—
296	C₂×C₃	—	8	8	no	—
297	C₂×C₃	C₂×#459	1	12	yes	direct product factor
298	C₂×C₃	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₃	C₂³×D₈	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₃	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
301	C₂²	—	2	8	no	—
302	C₂²	—	4	48	no	—
303	C₂²	—	4	4	no	—
304	C₂²	—	4	4	no	—
305	C₂²	—	4	8	no	—
306	C₂²	—	4	8	no	—
307	C₂²	—	4	8	no	—
308	C₂²	—	8	48	no	—
309	C₂²	C₃×#459	1	16	yes	direct product factor
310	C₂²	C₂×C₃×#121	1	6	yes	—
311	C₂²	C₂²×C₃×D₈	1	6	yes	—
312	C₂²	C₂×C₃×AGL(1,ℤ/8)	1	6	yes	—
313	C₂²	C₂³×C₃×D₄	1	1	yes	characteristic
314	C₄	—	2	4	no	—
315	C₄	—	4	4	no	—
316	C₄	C₂×C₃×#121	1	6	yes	—
317	C₄	C₂²×C₃×D₈	1	8	yes	complemented
318	C₄	C₂³×C₃×D₄	1	1	yes	characteristic
319	C₄	C₂²×C₃×#41	1	1	yes	characteristic
320	C₃	C₂²×#459	1	1	yes	characteristic, direct product factor, Sylow
321	C₂	—	4	8	no	—
322	C₂	—	8	8	no	—
323	C₂	C₂×C₃×#459	1	12	yes	direct product factor
324	C₂	C₂²×C₃×#121	1	1	yes	characteristic
325	C₂	C₂³×C₃×D₈	1	1	yes	characteristic
326	C₂	C₂²×C₃×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴×C₃	C₂×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵×C₃
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴×C₃ ◁ C₂²×C₃×C₄² ◁ G

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂³×C₃×D₈	C₂	semidirect
2. C₂²×C₃×#127	C₂	semidirect
3. C₂²×C₃×C₄×D₄	C₂	semidirect
4. C₂×C₃×#459	C₂	direct (N × H)
5. C₂²×C₃×C₄⋊C₈	C₂	semidirect
6. C₂²×C₃×#102	C₂	semidirect
7. C₂²×#459	C₃	direct (N × H)
14. C₂²×C₃×D₈	C₂²	semidirect
17. C₂×C₃×#127	C₂²	semidirect
19. C₂×C₃×C₄×D₄	C₂²	semidirect
23. C₃×#459	C₂²	direct (N × H)
24. C₂×C₃×C₄⋊C₈	C₂²	semidirect
25. C₂×C₃×#102	C₂²	semidirect
26. C₂³×D₈	C₂×C₃	semidirect
27. C₂²×#127	C₂×C₃	semidirect
28. C₂²×C₄×D₄	C₂×C₃	semidirect
29. C₂×#459	C₂×C₃	direct (N × H)
30. C₂²×C₄⋊C₈	C₂×C₃	semidirect
31. C₂²×#102	C₂×C₃	semidirect
43. C₂²×C₃×D₄	D₄	semidirect
53. C₂×C₃×D₈	C₂³	semidirect
57. C₃×#127	C₂³	semidirect
59. C₃×C₄×D₄	C₂³	semidirect
65. C₃×C₄⋊C₈	C₂³	semidirect
66. C₃×#102	C₂³	semidirect
73. C₂²×D₈	C₂²×C₃	semidirect
76. C₂×#127	C₂²×C₃	semidirect
78. C₂×C₄×D₄	C₂²×C₃	semidirect
82. #459	C₂²×C₃	direct (N × H)
83. C₂×C₄⋊C₈	C₂²×C₃	semidirect
84. C₂×#102	C₂²×C₃	semidirect
105. C₂×C₃×D₄	C₂×D₄	semidirect
113. C₂²×C₃×C₄	D₈	semidirect
139. C₂²×D₄	C₃×D₄	semidirect
149. C₂×D₈	C₂³×C₃	semidirect
153. #127	C₂³×C₃	semidirect
155. C₄×D₄	C₂³×C₃	semidirect
161. C₄⋊C₈	C₂³×C₃	semidirect
162. #102	C₂³×C₃	semidirect
184. C₃×D₄	C₂²×D₄	semidirect
190. C₂×C₃×C₄	C₂×D₈	semidirect
218. C₂×D₄	C₂×C₃×D₄	semidirect
226. C₂²×C₄	C₃×D₈	semidirect
249. C₂²×C₃	#459	direct (N × H)
257. C₃×C₄	C₂²×D₈	semidirect
281. D₄	C₂²×C₃×D₄	semidirect
287. C₂×C₄	C₂×C₃×D₈	semidirect
297. C₂×C₃	C₂×#459	direct (N × H)
309. C₂²	C₃×#459	direct (N × H)
317. C₄	C₂²×C₃×D₈	semidirect
320. C₃	C₂²×#459	direct (N × H)
323. C₂	C₂×C₃×#459	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×C₃×D₈	2
C₂²×C₃×#127	2
C₂²×C₃×C₄×D₄	2
C₂×C₃×#459	2
C₂²×C₃×C₄⋊C₈	2
C₂²×C₃×#102	2
C₂²×#459	3

Subgroups — C22×C3×#459 #10679010

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×C₃×#459 #10679010