Subgroups — C₂²×C₃×#481 #10679111

Order 768.

3006 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 298 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₃×#121	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂³×C₃×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×C₃×#481	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
4	C₂²×C₃×#106	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂²×C₃×#102	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂²×C₃×C₂²⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂²×#481	C₃	1	1	yes	maximal, characteristic, direct product factor, Sylow
8	C₂³×C₃×D₄	—	2	1	no	—
9	C₂³×C₃×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂⁴×C₃×C₄	—	2	1	no	—
11	C₂⁴×C₃×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂³×C₃×C₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₃×#121	—	2	6	no	—
14	C₂×C₃×#121	C₂²	1	12	yes	—
15	C₂²×C₃×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
16	C₂²×C₃×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
17	C₂²×C₃×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₃×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₃×C₄⋊C₄	C₂²	1	12	yes	complemented
20	C₂²×C₃×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
21	C₃×#481	C₂²	1	64	yes	direct product factor
22	C₂×C₃×#106	C₂²	1	24	yes	complemented
23	C₂×C₃×#102	C₂²	1	24	yes	complemented
24	C₂×C₃×C₂²⋊C₈	C₂²	1	12	yes	complemented
25	C₂²×#121	C₂×C₃	1	1	yes	characteristic
26	C₂³×C₄⋊C₄	C₂×C₃	1	1	yes	characteristic, complemented
27	C₂×#481	C₂×C₃	1	24	yes	direct product factor
28	C₂²×#106	C₂×C₃	1	2	yes	complemented
29	C₂²×#102	C₂×C₃	1	2	yes	complemented
30	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂×C₃	1	1	yes	characteristic, complemented
31	C₂⁵×C₃	—	2	1	no	—
32	C₂⁵×C₃	D₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×C₃×D₄	—	2	12	no	—
34	C₂²×C₃×D₄	—	2	3	no	—
35	C₂²×C₃×D₄	—	2	8	no	—
36	C₂²×C₃×D₄	—	4	8	no	—
37	C₂²×C₃×D₄	C₂³	1	6	yes	—
38	C₂³×C₃×C₄	—	2	8	no	—
39	C₂³×C₃×C₄	—	2	12	no	—
40	C₂³×C₃×C₄	—	2	2	no	—
41	C₂³×C₃×C₄	—	2	1	no	—
42	C₂³×C₃×C₄	—	4	8	no	—
43	C₂³×C₃×C₄	D₄	1	6	yes	—
44	C₂³×C₃×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	6	yes	—
46	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×C₃×C₈	—	2	8	no	—
48	C₂²×C₃×C₈	C₂³	1	12	yes	—
49	C₃×#121	—	2	24	no	—
50	C₃×#121	C₂³	1	16	yes	—
51	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
52	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
53	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
54	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
55	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
56	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
57	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂³	1	16	yes	complemented
58	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
59	C₃×#106	C₂³	1	32	yes	complemented
60	C₃×#102	C₂³	1	32	yes	complemented
61	C₃×C₂²⋊C₈	C₂³	1	16	yes	complemented
62	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
63	C₂³×D₄	C₂²×C₃	1	1	yes	characteristic
64	C₂⁴×C₄	—	2	1	no	—
65	C₂⁴×C₄	C₂²×C₃	1	1	yes	characteristic
66	C₂³×C₈	C₂²×C₃	1	2	yes	—
67	C₂×#121	—	2	6	no	—
68	C₂×#121	C₂²×C₃	1	12	yes	—
69	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
71	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²×C₃	1	2	yes	—
72	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²×C₃	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²×C₃	1	12	yes	complemented
74	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
75	#481	C₂²×C₃	1	64	yes	direct product factor
76	C₂×#106	C₂²×C₃	1	24	yes	complemented
77	C₂×#102	C₂²×C₃	1	24	yes	complemented
78	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²×C₃	1	12	yes	complemented
79	C₂⁴×C₃	—	2	4	no	—
80	C₂⁴×C₃	—	2	4	no	—
81	C₂⁴×C₃	—	2	6	no	—
82	C₂⁴×C₃	—	4	4	no	—
83	C₂⁴×C₃	—	4	4	no	—
84	C₂⁴×C₃	—	4	4	no	—
85	C₂⁴×C₃	SD₁₆	1	8	yes	—
86	C₂⁴×C₃	C₂×D₄	1	6	yes	—
87	C₂⁴×C₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₃×D₄	—	2	16	no	—
89	C₂×C₃×D₄	—	2	6	no	—
90	C₂×C₃×D₄	—	2	24	no	—
91	C₂×C₃×D₄	—	4	48	no	—
92	C₂×C₃×D₄	—	4	12	no	—
93	C₂×C₃×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
94	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
95	C₂²×C₃×C₄	—	2	24	no	—
96	C₂²×C₃×C₄	—	2	24	no	—
97	C₂²×C₃×C₄	—	2	6	no	—
98	C₂²×C₃×C₄	—	2	12	no	—
99	C₂²×C₃×C₄	—	2	16	no	—
100	C₂²×C₃×C₄	—	4	48	no	—
101	C₂²×C₃×C₄	—	4	4	no	—
102	C₂²×C₃×C₄	—	4	8	no	—
103	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
104	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
105	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
106	C₂²×C₃×C₄	#41	1	8	yes	—
107	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
108	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
109	C₂×C₃×C₈	—	2	24	no	—
110	C₂×C₃×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
111	C₃×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
112	C₃×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
113	C₃×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
114	C₃×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
115	C₃×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
116	C₃×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
117	C₂⁵	—	2	1	no	—
118	C₂⁵	C₃×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
122	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
123	C₂²×D₄	C₂³×C₃	1	6	yes	—
124	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
125	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
126	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
127	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
128	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
129	C₂³×C₄	C₃×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂³×C₄	C₃×D₄	1	6	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂³×C₃	1	6	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂³×C₃	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
134	C₂²×C₈	C₂³×C₃	1	12	yes	—
135	#121	—	2	24	no	—
136	#121	C₂³×C₃	1	16	yes	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂³×C₃	1	12	yes	—
142	C₂×C₄⋊C₄	C₂³×C₃	1	6	yes	—
143	C₂×C₄⋊C₄	C₂³×C₃	1	16	yes	complemented
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
145	#106	C₂³×C₃	1	32	yes	complemented
146	#102	C₂³×C₃	1	32	yes	complemented
147	C₂²⋊C₈	C₂³×C₃	1	16	yes	complemented
148	C₂³×C₃	—	2	12	no	—
149	C₂³×C₃	—	2	12	no	—
150	C₂³×C₃	—	2	32	no	—
151	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
152	C₂³×C₃	—	4	12	no	—
153	C₂³×C₃	—	4	12	no	—
154	C₂³×C₃	—	4	12	no	—
155	C₂³×C₃	—	8	16	no	—
156	C₂³×C₃	#123	1	4	yes	—
157	C₂³×C₃	C₂×SD₁₆	1	24	yes	—
158	C₂³×C₃	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
159	C₂³×C₃	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
160	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	4	yes	—
161	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	3	yes	—
162	C₃×D₄	—	2	8	no	—
163	C₃×D₄	—	4	32	no	—
164	C₃×D₄	—	4	12	no	—
165	C₂×C₃×C₄	—	2	12	no	—
166	C₂×C₃×C₄	—	2	24	no	—
167	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
168	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
169	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
170	C₂×C₃×C₄	—	4	32	no	—
171	C₂×C₃×C₄	—	4	12	no	—
172	C₂×C₃×C₄	—	4	24	no	—
173	C₂×C₃×C₄	#123	1	12	yes	—
174	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
175	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
176	C₂×C₃×C₄	C₂×#41	1	12	yes	—
177	C₂×C₃×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
178	C₃×C₈	—	2	8	no	—
179	C₂⁴	—	2	4	no	—
180	C₂⁴	—	2	4	no	—
181	C₂⁴	—	2	6	no	—
182	C₂⁴	—	4	4	no	—
183	C₂⁴	—	4	4	no	—
184	C₂⁴	—	4	4	no	—
185	C₂⁴	C₃×SD₁₆	1	8	yes	—
186	C₂⁴	C₂×C₃×D₄	1	6	yes	—
187	C₂⁴	C₂×C₃×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂×D₄	—	2	16	no	—
189	C₂×D₄	—	2	6	no	—
190	C₂×D₄	—	2	24	no	—
191	C₂×D₄	—	4	48	no	—
192	C₂×D₄	—	4	12	no	—
193	C₂×D₄	C₂⁴×C₃	1	4	yes	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	48	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
203	C₂²×C₄	C₂×C₃×D₄	1	6	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂×C₃×D₄	1	12	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂×C₃×D₄	1	3	yes	—
206	C₂²×C₄	C₃×#41	1	8	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂⁴×C₃	1	4	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂⁴×C₃	1	3	yes	—
209	C₂×C₈	—	2	24	no	—
210	C₂×C₈	C₂⁴×C₃	1	8	yes	—
211	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
212	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
213	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
214	C₄⋊C₄	C₂⁴×C₃	1	8	yes	—
215	C₄⋊C₄	C₂⁴×C₃	1	4	yes	—
216	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
217	C₂²×C₃	—	2	48	no	—
218	C₂²×C₃	—	2	4	no	—
219	C₂²×C₃	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₃	—	4	4	no	—
221	C₂²×C₃	—	4	4	no	—
222	C₂²×C₃	—	4	4	no	—
223	C₂²×C₃	—	8	24	no	—
224	C₂²×C₃	#481	1	16	yes	direct product factor
225	C₂²×C₃	C₂×#123	1	6	yes	—
226	C₂²×C₃	C₂²×SD₁₆	1	8	yes	—
227	C₂²×C₃	C₂²×SD₁₆	1	6	yes	—
228	C₂²×C₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	6	yes	—
229	C₂²×C₃	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
230	C₃×C₄	—	2	4	no	—
231	C₃×C₄	—	4	4	no	—
232	C₃×C₄	—	4	8	no	—
233	C₃×C₄	C₂×#123	1	6	yes	—
234	C₃×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
235	C₂³	—	2	12	no	—
236	C₂³	—	2	12	no	—
237	C₂³	—	2	32	no	—
238	C₂³	—	2	4	no	—
239	C₂³	—	4	12	no	—
240	C₂³	—	4	12	no	—
241	C₂³	—	4	12	no	—
242	C₂³	—	8	16	no	—
243	C₂³	C₃×#123	1	4	yes	—
244	C₂³	C₂×C₃×SD₁₆	1	24	yes	—
245	C₂³	C₂×C₃×SD₁₆	1	4	yes	—
246	C₂³	C₃×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
247	C₂³	C₂²×C₃×D₄	1	4	yes	—
248	C₂³	C₂²×C₃×D₄	1	3	yes	—
249	D₄	—	2	8	no	—
250	D₄	—	4	32	no	—
251	D₄	—	4	12	no	—
252	C₂×C₄	—	2	12	no	—
253	C₂×C₄	—	2	8	no	—
254	C₂×C₄	—	2	24	no	—
255	C₂×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂×C₄	—	2	8	no	—
257	C₂×C₄	—	4	32	no	—
258	C₂×C₄	—	4	12	no	—
259	C₂×C₄	—	4	24	no	—
260	C₂×C₄	C₃×#123	1	12	yes	—
261	C₂×C₄	C₂²×C₃×D₄	1	4	yes	—
262	C₂×C₄	C₂²×C₃×D₄	1	3	yes	—
263	C₂×C₄	C₂×C₃×#41	1	12	yes	—
264	C₂×C₄	C₂⁵×C₃	1	1	yes	characteristic
265	C₈	—	2	8	no	—
266	C₂×C₃	—	2	8	no	—
267	C₂×C₃	—	8	4	no	—
268	C₂×C₃	C₂×#481	1	12	yes	direct product factor
269	C₂×C₃	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₃	C₂³×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₃	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
272	C₂²	—	2	4	no	—
273	C₂²	—	2	4	no	—
274	C₂²	—	2	48	no	—
275	C₂²	—	4	4	no	—
276	C₂²	—	4	4	no	—
277	C₂²	—	4	4	no	—
278	C₂²	—	8	24	no	—
279	C₂²	C₃×#481	1	16	yes	direct product factor
280	C₂²	C₂×C₃×#123	1	6	yes	—
281	C₂²	C₂²×C₃×SD₁₆	1	8	yes	—
282	C₂²	C₂²×C₃×SD₁₆	1	6	yes	—
283	C₂²	C₂×C₃×AGL(1,ℤ/8)	1	6	yes	—
284	C₂²	C₂³×C₃×D₄	1	1	yes	characteristic
285	C₄	—	2	4	no	—
286	C₄	—	4	4	no	—
287	C₄	—	4	8	no	—
288	C₄	C₂×C₃×#123	1	6	yes	—
289	C₄	C₂²×C₃×#41	1	2	yes	—
290	C₃	C₂²×#481	1	1	yes	characteristic, direct product factor, Sylow
291	C₂	—	2	8	no	—
292	C₂	—	8	4	no	—
293	C₂	C₂×C₃×#481	1	12	yes	direct product factor
294	C₂	C₂²×C₃×#123	1	1	yes	characteristic
295	C₂	C₂³×C₃×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
296	C₂	C₂²×C₃×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴×C₃	C₂×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵×C₃
prime radical	C₂²×C₃×#121	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴×C₃ ◁ C₂⁴×C₃×C₄ ◁ G

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂³×C₃×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
3. C₂×C₃×#481	C₂	direct (N × H)
4. C₂²×C₃×#106	C₂	semidirect
5. C₂²×C₃×#102	C₂	semidirect
6. C₂²×C₃×C₂²⋊C₈	C₂	semidirect
7. C₂²×#481	C₃	direct (N × H)
19. C₂²×C₃×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
21. C₃×#481	C₂²	direct (N × H)
22. C₂×C₃×#106	C₂²	semidirect
23. C₂×C₃×#102	C₂²	semidirect
24. C₂×C₃×C₂²⋊C₈	C₂²	semidirect
26. C₂³×C₄⋊C₄	C₂×C₃	semidirect
27. C₂×#481	C₂×C₃	direct (N × H)
28. C₂²×#106	C₂×C₃	semidirect
29. C₂²×#102	C₂×C₃	semidirect
30. C₂²×C₂²⋊C₈	C₂×C₃	semidirect
57. C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂³	semidirect
59. C₃×#106	C₂³	semidirect
60. C₃×#102	C₂³	semidirect
61. C₃×C₂²⋊C₈	C₂³	semidirect
73. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²×C₃	semidirect
75. #481	C₂²×C₃	direct (N × H)
76. C₂×#106	C₂²×C₃	semidirect
77. C₂×#102	C₂²×C₃	semidirect
78. C₂×C₂²⋊C₈	C₂²×C₃	semidirect
143. C₂×C₄⋊C₄	C₂³×C₃	semidirect
145. #106	C₂³×C₃	semidirect
146. #102	C₂³×C₃	semidirect
147. C₂²⋊C₈	C₂³×C₃	semidirect
224. C₂²×C₃	#481	direct (N × H)
268. C₂×C₃	C₂×#481	direct (N × H)
279. C₂²	C₃×#481	direct (N × H)
290. C₃	C₂²×#481	direct (N × H)
293. C₂	C₂×C₃×#481	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₃×#121	2
C₂³×C₃×C₄⋊C₄	2
C₂×C₃×#481	2
C₂²×C₃×#106	2
C₂²×C₃×#102	2
C₂²×C₃×C₂²⋊C₈	2
C₂²×#481	3

Subgroups — C22×C3×#481 #10679111

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×C₃×#481 #10679111