Subgroups — #107296

Order 512.

998 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 382 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34368	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1963	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1536	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#8042	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8022	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	C₂×#432	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×#104	—	2	2	no	—
10	#2379	—	2	2	no	—
11	#2369	C₄	1	2	yes	complemented
12	#2366	C₄	1	2	yes	complemented
13	#2354	—	2	2	no	—
14	D₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
15	#2324	—	2	4	no	—
16	#2311	—	2	2	no	—
17	#2285	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#1963	—	2	2	no	—
20	#1963	C₄	1	4	yes	complemented
21	#1536	—	2	2	no	—
22	#1536	C₄	1	4	yes	complemented
23	C₂×#329	—	2	2	no	—
24	#1296	—	2	2	no	—
25	#1296	—	2	2	no	—
26	#1294	—	2	4	no	—
27	C₂²×#41	D₄	1	2	yes	—
28	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
29	#532	—	2	2	no	—
30	#532	—	2	2	no	—
31	#532	C₂×C₄	1	2	yes	—
32	#532	C₂×C₄	1	2	yes	—
33	#532	D₄	1	2	yes	—
34	#532	Q₈	1	2	yes	—
35	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#124	D₄	1	2	yes	—
38	C₂×#121	—	2	2	no	—
39	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
40	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
41	C₂×#117	—	2	2	no	—
42	C₂×#117	—	2	2	no	—
43	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
44	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
45	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	#432	—	2	2	no	—
47	#432	—	2	2	no	—
48	#432	—	2	2	no	—
49	#432	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
50	#423	—	2	2	no	—
51	#423	—	2	1	no	—
52	#423	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
53	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
55	C₂×#104	—	2	8	no	—
56	C₂×#104	—	4	4	no	—
57	C₂×#104	—	4	4	no	—
58	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
59	C₂×#97	—	2	2	no	—
60	#391	—	2	4	no	—
61	#390	—	2	4	no	—
62	#390	—	2	4	no	—
63	#389	—	2	4	no	—
64	#388	—	2	8	no	—
65	#386	—	2	4	no	—
66	#386	—	2	4	no	—
67	#385	—	2	8	no	—
68	#384	D₄	1	2	yes	—
69	#384	D₄	1	2	yes	—
70	#382	—	2	2	no	—
71	#380	—	2	4	no	—
72	#380	—	2	2	no	—
73	#380	D₄	1	4	yes	—
74	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
75	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
76	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
77	#376	—	2	2	no	—
78	#376	—	2	1	no	—
79	#376	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
80	C₂×#95	—	2	2	no	—
81	#329	—	2	8	no	—
82	C₂×#41	—	2	2	no	—
83	C₂×#41	—	2	2	no	—
84	C₂×#41	—	4	2	no	—
85	C₂×#41	—	4	2	no	—
86	C₂×#41	—	4	2	no	—
87	C₂×#41	—	4	2	no	—
88	C₂×#41	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
89	C₂×#41	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
90	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
91	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
92	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
93	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
94	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
95	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
96	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
97	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
99	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
100	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
101	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
102	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
103	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
104	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
105	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
106	C₄⋊Q₈	C₄²	1	2	yes	—
107	C₄⋊Q₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
108	#127	—	2	2	no	—
109	#127	C₄²	1	2	yes	—
110	#127	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
111	#124	—	2	4	no	—
112	#124	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
113	#124	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
114	#121	—	2	4	no	—
115	#121	—	2	4	no	—
116	#121	—	2	4	no	—
117	#121	—	2	4	no	—
118	C₄×D₄	—	2	4	no	—
119	C₄×D₄	—	2	4	no	—
120	C₄×D₄	—	2	4	no	—
121	C₄×D₄	—	2	4	no	—
122	C₄×D₄	—	8	8	no	—
123	#117	—	8	4	no	—
124	#117	—	8	2	no	—
125	#117	—	8	2	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
145	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
146	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
147	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
148	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
157	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
158	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
159	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
160	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
161	#104	—	4	16	no	—
162	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
163	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
164	#97	—	2	4	no	—
165	#97	—	4	2	no	—
166	#95	—	2	8	no	—
167	#95	—	2	4	no	—
168	#95	—	2	4	no	—
169	#95	—	2	4	no	—
170	#95	—	4	2	no	—
171	C₂⁴	—	2	2	no	—
172	C₂⁴	#120	1	1	yes	characteristic
173	#41	—	4	4	no	—
174	#41	—	4	4	no	—
175	#41	—	4	4	no	—
176	#41	—	4	4	no	—
177	#41	—	8	2	no	—
178	#41	—	8	2	no	—
179	#41	—	8	2	no	—
180	#41	—	8	2	no	—
181	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
182	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
183	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
184	C₂×Q₈	#95	1	4	yes	—
185	C₂×D₄	—	2	4	no	—
186	C₂×D₄	—	2	4	no	—
187	C₂×D₄	—	2	4	no	—
188	C₂×D₄	—	2	4	no	—
189	C₂×D₄	—	2	2	no	—
190	C₂×D₄	—	4	4	no	—
191	C₂×D₄	—	4	4	no	—
192	C₂×D₄	—	4	2	no	—
193	C₂×D₄	—	4	2	no	—
194	C₂×D₄	—	8	2	no	—
195	C₂×D₄	—	8	2	no	—
196	C₂×D₄	#95	1	4	yes	—
197	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
217	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
219	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
231	M₁₆	—	4	4	no	—
232	M₁₆	—	8	2	no	—
233	C₂×C₈	—	4	4	no	—
234	C₂×C₈	—	4	2	no	—
235	C₂×C₈	—	8	2	no	—
236	C₂×C₈	—	8	2	no	—
237	C₂×C₈	—	8	1	no	—
238	C₂×C₈	—	8	1	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
247	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
248	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
249	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
255	C₄²	—	2	4	no	—
256	C₄²	—	4	2	no	—
257	C₄²	—	4	2	no	—
258	C₄²	—	4	2	no	—
259	C₄²	—	4	8	no	—
260	C₄²	—	8	4	no	—
261	C₄²	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
262	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
263	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
264	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
265	C₄²	#117	1	2	yes	—
266	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
267	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
268	C₄²	#121	1	2	yes	—
269	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
270	C₄²	#123	1	2	yes	—
271	C₂³	—	2	1	no	—
272	C₂³	—	2	1	no	—
273	C₂³	—	2	2	no	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	2	4	no	—
276	C₂³	—	4	2	no	—
277	C₂³	—	4	2	no	—
278	C₂³	—	4	4	no	—
279	C₂³	—	4	4	no	—
280	C₂³	#379	1	1	yes	characteristic
281	C₂³	#385	1	1	yes	characteristic
282	C₂³	#386	1	1	yes	characteristic
283	Q₈	—	4	4	no	—
284	Q₈	—	8	2	no	—
285	D₄	—	4	4	no	—
286	D₄	—	4	8	no	—
287	D₄	—	4	8	no	—
288	D₄	—	8	2	no	—
289	D₄	—	8	4	no	—
290	D₄	—	8	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	1	no	—
292	C₂×C₄	—	2	1	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	1	no	—
298	C₂×C₄	—	2	1	no	—
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	2	1	no	—
301	C₂×C₄	—	2	1	no	—
302	C₂×C₄	—	2	1	no	—
303	C₂×C₄	—	2	1	no	—
304	C₂×C₄	—	2	1	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	4	2	no	—
307	C₂×C₄	—	4	2	no	—
308	C₂×C₄	—	4	2	no	—
309	C₂×C₄	—	4	2	no	—
310	C₂×C₄	—	4	2	no	—
311	C₂×C₄	—	4	2	no	—
312	C₂×C₄	—	4	4	no	—
313	C₂×C₄	—	4	4	no	—
314	C₂×C₄	—	4	4	no	—
315	C₂×C₄	—	4	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	4	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	4	no	—
323	C₂×C₄	—	8	4	no	—
324	C₂×C₄	—	8	2	no	—
325	C₂×C₄	—	8	2	no	—
326	C₂×C₄	—	8	4	no	—
327	C₂×C₄	—	16	8	no	—
328	C₂×C₄	C₂×#95	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#381	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#385	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	#386	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	#453	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	#453	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	#455	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#455	1	1	yes	characteristic
340	C₈	—	8	4	no	—
341	C₈	—	8	2	no	—
342	C₂²	—	2	2	no	—
343	C₂²	—	2	2	no	—
344	C₂²	—	2	1	no	—
345	C₂²	—	2	1	no	—
346	C₂²	—	4	1	no	—
347	C₂²	—	4	1	no	—
348	C₂²	—	4	2	no	—
349	C₂²	—	4	8	no	—
350	C₂²	—	4	4	no	—
351	C₂²	—	8	2	no	—
352	C₂²	—	8	2	no	—
353	C₂²	—	8	4	no	—
354	C₂²	C₂²⋊#95	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	#1792	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	#1792	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	#1795	1	2	yes	—
358	C₂²	#1796	1	2	yes	—
359	C₄	—	2	2	no	—
360	C₄	—	2	2	no	—
361	C₄	—	2	2	no	—
362	C₄	—	2	2	no	—
363	C₄	—	2	1	no	—
364	C₄	—	2	1	no	—
365	C₄	—	4	4	no	—
366	C₄	—	8	4	no	—
367	C₄	—	8	4	no	—
368	C₄	—	8	4	no	—
369	C₄	#1856	1	1	yes	characteristic
370	C₄	#1856	1	1	yes	characteristic
371	C₄	#1885	1	1	yes	characteristic
372	C₄	#1887	1	1	yes	characteristic
373	C₂	—	4	1	no	—
374	C₂	—	4	1	no	—
375	C₂	—	8	4	no	—
376	C₂	#8491	1	1	yes	characteristic
377	C₂	#8492	1	1	yes	characteristic
378	C₂	#8493	1	2	yes	—
379	C₂	#10749	1	1	yes	characteristic
380	C₂	#10775	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	#379
commutator	C₄²	C₂×C₄²
Frattini, cosocle	C₂²×C₄²	C₂³
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #8042	C₂	semidirect
5. #8022	C₂	semidirect
11. #2369	C₄	semidirect
12. #2366	C₄	semidirect
20. #1963	C₄	semidirect
22. #1536	C₄	semidirect
49. #432	C₂×C₄	semidirect
52. #423	C₂×C₄	semidirect
79. #376	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34368	2
C₂×#1963	2
C₂×#1536	2
#8042	2
#8022	2