Finite Group Databasebeta

← Group #10815513

Character table — Group #10815513

Order 768.

C1C2C3C4C5C6C7C8C9C10C11C12C13C14C15C16C17C18C19C20C21C22C23C24C25C26C27C28C29C30C31C32C33C34C35C36C37C38C39C40C41C42C43C44C45C46C47C48C49C50C51C52C53C54C55C56C57C58C59C60C61C62C63C64C65C66C67C68C69C70C71C72C73C74C75C76C77C78C79C80C81C82C83C84C85C86C87C88C89C90C91C92C93C94C95C96C97C98C99C100C101C102
size11111111222222222222444444444444444444444444444466668888888888888888888888888888881212121212121212121224242424242424242424
order122222223444466666664444444444448888121212121212121212121212222244448812121212121212121212121212121212242424242424242444444488884444444488
χ1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
χ2111111111111111111111111111111111111111111111111-1-1-1-1111111111111111111111111111111-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1
χ31111111111111111111111111111-1-1-1-1-1-1-1-11111111111111111-1-111-1-11111-1-1-1-11111-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1111111-1-1-1-11111-1-1-1-1-1-1
χ41111111111111111111111111111-1-1-1-1-1-1-1-1111111111111-1-1-1-1-1-111-1-11111-1-1-1-11111-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-11111-1-1-1-1111111
χ5111111111111111111111111-1-1-1-11111-1-1-1-1111111111111111111-1-1-1-1-1-1-1-11111-1-1-1-11111-1-1-1-1-1-1-1-1111111-1-1-1-1-1-1-1-11111-1-1
χ6111111111111111111111111-1-1-1-11111-1-1-1-1111111111111-1-1-1-111-1-1-1-1-1-1-1-11111-1-1-1-11111-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-111111111-1-1-1-111
χ7111111111111111111111111-1-1-1-1-1-1-1-111111111111111111111-1-1-1-111-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1111111111111111111-1-1-1-1-1-1-1-111
χ8111111111111111111111111-1-1-1-1-1-1-1-11111111111111111-1-1-1-1-1-1-1-111-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-111111111-1-1-1-1-1-1-1-1-1-111111111-1-1
χ911111111111111111111-1-1-1-1111111111111-1-1-1-1-1-1-1-111111111-1-1-1-1-1-11111-1-1-1-1-1-1-1-111111111-1-1-1-1-1-1-1-1111111-1-111-1-111-1-1
χ1011111111111111111111-1-1-1-1111111111111-1-1-1-1-1-1-1-11111-1-1-1-1-1-1-1-1-1-11111-1-1-1-1-1-1-1-111111111-1-1-1-11111-1-1-1-1-1-111-1-111-1-111
χ1111111111111111111111-1-1-1-11111-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-11111111111-1-11111111111-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-11111-1-1-1-111-1-1-1-1-1-11111-1-111
χ1211111111111111111111-1-1-1-11111-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-11111-1-1-1-111-1-11111111111-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-111111111-1-1111111-1-1-1-111-1-1
χ1311111111111111111111-1-1-1-1-1-1-1-11111-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-111111111-1-11111-1-1-1-1-1-1-1-111111111-1-1-1-11111-1-1-1-111-1-1-1-111-1-1-1-11111
χ1411111111111111111111-1-1-1-1-1-1-1-11111-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-11111-1-1-1-1-1-11111-1-1-1-1-1-1-1-111111111-1-1-1-111111111-1-11111-1-11111-1-1-1-1
χ1511111111111111111111-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-11111-1-1-1-1-1-1-1-1111111111111-1-1-1-1-1-111111111-1-1-1-11111-1-1-1-1-1-1-1-111111111-1-111-1-1-1-1
χ1611111111111111111111-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-11111-1-1-1-1-1-1-1-11111-1-1-1-11111-1-1-1-1-1-111111111-1-1-1-11111-1-1-1-11111-1-1-1-1-1-1-1-111-1-11111
χ1711-1-11-1-111-111-111-1-1-1-11i−ii−iii−i−i11-1-1ii−i−iiiii−i−i−i−i1-11-111-1-1i−i1-11-1ii−i−iii−i−i11-1-111-1-1ii−i−i11-1-1i−ii−i1-1ii−i−i1-1i−ii−i1-11-1
χ1811-1-11-1-111-111-111-1-1-1-11i−ii−iii−i−i11-1-1ii−i−iiiii−i−i−i−i1-11-1-1-111i−i1-11-1ii−i−iii−i−i11-1-111-1-1ii−i−i11-1-1−ii−ii-11−i−iii-11−ii−ii-11-11
χ1911-1-11-1-111-111-111-1-1-1-11i−ii−iii−i−i-1-111−i−iiiiiii−i−i−i−i1-11-111-1-1−ii1-1-11ii−i−i−i−iii11-1-1-1-111−i−iii-1-111i−ii−i1-1−i−iii1-1i−i−ii-11-11
χ2011-1-11-1-111-111-111-1-1-1-11i−ii−iii−i−i-1-111−i−iiiiiii−i−i−i−i1-11-1-1-111−ii1-1-11ii−i−i−i−iii11-1-1-1-111−i−iii-1-111−ii−ii-11ii−i−i-11−iii−i1-11-1
χ2111-1-11-1-111-111-111-1-1-1-11i−ii−i−i−iii11-1-1−i−iiiiiii−i−i−i−i1-11-111-1-1i−i-11-11−i−iiiii−i−i-1-11111-1-1−i−iii-1-111i−ii−i1-1−i−iii-11−iii−i1-1-11
χ2211-1-11-1-111-111-111-1-1-1-11i−ii−i−i−iii11-1-1−i−iiiiiii−i−i−i−i1-11-1-1-111i−i-11-11−i−iiiii−i−i-1-11111-1-1−i−iii-1-111−ii−ii-11ii−i−i1-1i−i−ii-111-1
χ2311-1-11-1-111-111-111-1-1-1-11i−ii−i−i−iii-1-111ii−i−iiiii−i−i−i−i1-11-111-1-1−ii-111-1−i−iii−i−iii-1-111-1-111ii−i−i11-1-1i−ii−i1-1ii−i−i-11−ii−ii-111-1
χ2411-1-11-1-111-111-111-1-1-1-11i−ii−i−i−iii-1-111ii−i−iiiii−i−i−i−i1-11-1-1-111−ii-111-1−i−iii−i−iii-1-111-1-111ii−i−i11-1-1−ii−ii-11−i−iii1-1i−ii−i1-1-11
χ2511-1-11-1-111-111-111-1-1-1-11−ii−iiii−i−i11-1-1ii−i−i−i−i−i−iiiii1-11-111-1-1−ii-11-11ii−i−i−i−iii-1-11111-1-1ii−i−i-1-111−ii−ii1-1ii−i−i-11i−i−ii1-1-11
χ2611-1-11-1-111-111-111-1-1-1-11−ii−iiii−i−i11-1-1ii−i−i−i−i−i−iiiii1-11-1-1-111−ii-11-11ii−i−i−i−iii-1-11111-1-1ii−i−i-1-111i−ii−i-11−i−iii1-1−iii−i-111-1
χ2711-1-11-1-111-111-111-1-1-1-11−ii−iiii−i−i-1-111−i−iii−i−i−i−iiiii1-11-111-1-1i−i-111-1ii−i−iii−i−i-1-111-1-111−i−iii11-1-1−ii−ii1-1−i−iii-11i−ii−i-111-1
χ2811-1-11-1-111-111-111-1-1-1-11−ii−iiii−i−i-1-111−i−iii−i−i−i−iiiii1-11-1-1-111i−i-111-1ii−i−iii−i−i-1-111-1-111−i−iii11-1-1i−ii−i-11ii−i−i1-1−ii−ii1-1-11
χ2911-1-11-1-111-111-111-1-1-1-11−ii−ii−i−iii11-1-1−i−iii−i−i−i−iiiii1-11-111-1-1−ii1-11-1−i−iii−i−iii11-1-111-1-1−i−iii11-1-1−ii−ii1-1−i−iii1-1−ii−ii1-11-1
χ3011-1-11-1-111-111-111-1-1-1-11−ii−ii−i−iii11-1-1−i−iii−i−i−i−iiiii1-11-1-1-111−ii1-11-1−i−iii−i−iii11-1-111-1-1−i−iii11-1-1i−ii−i-11ii−i−i-11i−ii−i-11-11
χ3111-1-11-1-111-111-111-1-1-1-11−ii−ii−i−iii-1-111ii−i−i−i−i−i−iiiii1-11-111-1-1i−i1-1-11−i−iiiii−i−i11-1-1-1-111ii−i−i-1-111−ii−ii1-1ii−i−i1-1−iii−i-11-11
χ3211-1-11-1-111-111-111-1-1-1-11−ii−ii−i−iii-1-111ii−i−i−i−i−i−iiiii1-11-1-1-111i−i1-1-11−i−iiiii−i−i11-1-1-1-111ii−i−i-1-111i−ii−i-11−i−iii-11i−i−ii1-11-1
χ33222222222-2-2-2-2222222222-2-200000000000022-2-222-2-2-2-2-2-22222000000000000000000000000000000-2-222-2-200000000000000
χ34222222222-2-2-2-2222222222-2-200000000000022-2-222-2-2-2-2-2-2-2-2-2-200000000000000000000000000000022-2-22200000000000000
χ35222222222-2-2-2-22222222-2-222000000000000-2-222-2-222-2-2-2-2222200000000000000000000000000000022-2-2-2-200000000000000
χ36222222222-2-2-2-22222222-2-222000000000000-2-222-2-222-2-2-2-2-2-2-2-2000000000000000000000000000000-2-2222200000000000000
χ3722222222-12222-1-1-1-1-1-1-12222222222222222-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-10000222222-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-100000000000000000000
χ3822222222-12222-1-1-1-1-1-1-122222222-2-2-2-2-2-2-2-2-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-10000-2-222-2-2-1-1-1-11111-1-1-1-111111111111100000000000000000000
χ3922222222-12222-1-1-1-1-1-1-12222-2-2-2-22222-2-2-2-2-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1000022-2-2-2-21111-1-1-1-11111-1-1-1-11111111100000000000000000000
χ4022222222-12222-1-1-1-1-1-1-12222-2-2-2-2-2-2-2-22222-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-10000-2-2-2-2221111111111111111-1-1-1-1-1-1-1-100000000000000000000
χ4122222222-12222-1-1-1-1-1-1-1-2-2-2-222222222222211111111-1-1-1-10000-2-2-2-2-2-2-1-1-1-111111111-1-1-1-1-1-1-1-1111100000000000000000000
χ4222222222-12222-1-1-1-1-1-1-1-2-2-2-22222-2-2-2-2-2-2-2-211111111-1-1-1-1000022-2-222-1-1-1-1-1-1-1-1111111111111-1-1-1-100000000000000000000
χ4322222222-12222-1-1-1-1-1-1-1-2-2-2-2-2-2-2-22222-2-2-2-211111111-1-1-1-10000-2-2222211111111-1-1-1-1-1-1-1-11111-1-1-1-100000000000000000000
χ4422222222-12222-1-1-1-1-1-1-1-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2222211111111-1-1-1-100002222-2-21111-1-1-1-1-1-1-1-11111-1-1-1-1111100000000000000000000
χ4522-2-22-2-2222-2-2222-2-2-2-222i−2i−2i2i0000000000002i2i−2i−2i−2i−2i2i2i-22-2222-2-2000000000000000000000000000000−2i2i2i−2i-2200000000000000
χ4622-2-22-2-2222-2-2222-2-2-2-222i−2i−2i2i0000000000002i2i−2i−2i−2i−2i2i2i-22-22-2-2220000000000000000000000000000002i−2i−2i2i2-200000000000000
χ4722-2-22-2-2222-2-2222-2-2-2-22−2i2i2i−2i000000000000−2i−2i2i2i2i2i−2i−2i-22-2222-2-20000000000000000000000000000002i−2i−2i2i-2200000000000000
χ4822-2-22-2-2222-2-2222-2-2-2-22−2i2i2i−2i000000000000−2i−2i2i2i2i2i−2i−2i-22-22-2-222000000000000000000000000000000−2i2i2i−2i2-200000000000000
χ4922-2-22-2-22-1-222-2-1-11111-12i−2i2i−2i2i2i−2i−2i22-2-22i2i−2i−2i−i−i−i−iiiii-11-1100002i−2i2-22-2−i−iii−i−iii-1-111-1-111−i−iii-1-11100000000000000000000
χ5022-2-22-2-22-1-222-2-1-11111-12i−2i2i−2i2i2i−2i−2i-2-222−2i−2i2i2i−i−i−i−iiiii-11-110000−2i2i2-2-22−i−iiiii−i−i-1-11111-1-1ii−i−i11-1-100000000000000000000
χ5122-2-22-2-22-1-222-2-1-11111-12i−2i2i−2i−2i−2i2i2i22-2-2−2i−2i2i2i−i−i−i−iiiii-11-1100002i−2i-22-22ii−i−i−i−iii11-1-1-1-111ii−i−i11-1-100000000000000000000
χ5222-2-22-2-22-1-222-2-1-11111-12i−2i2i−2i−2i−2i2i2i-2-2222i2i−2i−2i−i−i−i−iiiii-11-110000−2i2i-222-2ii−i−iii−i−i11-1-111-1-1−i−iii-1-11100000000000000000000
χ5322-2-22-2-22-1-222-2-1-11111-1−2i2i−2i2i2i2i−2i−2i22-2-22i2i−2i−2iiiii−i−i−i−i-11-110000−2i2i-22-22−i−iiiii−i−i11-1-1-1-111−i−iii11-1-100000000000000000000
χ5422-2-22-2-22-1-222-2-1-11111-1−2i2i−2i2i2i2i−2i−2i-2-222−2i−2i2i2iiiii−i−i−i−i-11-1100002i−2i-222-2−i−iii−i−iii11-1-111-1-1ii−i−i-1-11100000000000000000000
χ5522-2-22-2-22-1-222-2-1-11111-1−2i2i−2i2i−2i−2i2i2i22-2-2−2i−2i2i2iiiii−i−i−i−i-11-110000−2i2i2-22-2ii−i−iii−i−i-1-111-1-111ii−i−i-1-11100000000000000000000
χ5622-2-22-2-22-1-222-2-1-11111-1−2i2i−2i2i−2i−2i2i2i-2-2222i2i−2i−2iiiii−i−i−i−i-11-1100002i−2i2-2-22ii−i−i−i−iii-1-11111-1-1−i−iii11-1-100000000000000000000
χ572-22-2-22-22222-2-2-2-222-2-2200002i−2i2i−2i2-22-22i−2i2i−2i00000000-222-200000000002i−2i2i−2i000000002-22-22i−2i2i−2i000000000000000000000000
χ582-22-2-22-22222-2-2-2-222-2-2200002i−2i2i−2i-22-22−2i2i−2i2i00000000-222-200000000002i−2i2i−2i00000000-22-22−2i2i−2i2i000000000000000000000000
χ592-22-2-22-22222-2-2-2-222-2-220000−2i2i−2i2i2-22-2−2i2i−2i2i00000000-222-20000000000−2i2i−2i2i000000002-22-2−2i2i−2i2i000000000000000000000000
χ602-22-2-22-22222-2-2-2-222-2-220000−2i2i−2i2i-22-222i−2i2i−2i00000000-222-20000000000−2i2i−2i2i00000000-22-222i−2i2i−2i000000000000000000000000
χ612-22-2-22-22-122-2-211-1-111-100002i−2i2i−2i2-22-22i−2i2i−2i3−33−33−33−31-1-110000000000−ii−ii3−33−3−i3i3−i3i3-11-11−ii−ii−i3i3−i3i300000000000000000000
χ622-22-2-22-22-122-2-211-1-111-100002i−2i2i−2i2-22-22i−2i2i−2i−33−33−33−331-1-110000000000−ii−ii−33−33i3−i3i3−i3-11-11−ii−iii3−i3i3−i300000000000000000000
χ632-22-2-22-22-122-2-211-1-111-100002i−2i2i−2i-22-22−2i2i−2i2i3−33−33−33−31-1-110000000000−ii−ii−33−33−i3i3−i3i31-11-1i−ii−ii3−i3i3−i300000000000000000000
χ642-22-2-22-22-122-2-211-1-111-100002i−2i2i−2i-22-22−2i2i−2i2i−33−33−33−331-1-110000000000−ii−ii3−33−3i3−i3i3−i31-11-1i−ii−i−i3i3−i3i300000000000000000000
χ652-22-2-22-22-122-2-211-1-111-10000−2i2i−2i2i2-22-2−2i2i−2i2i3−33−33−33−31-1-110000000000i−ii−i3−33−3i3−i3i3−i3-11-11i−ii−ii3−i3i3−i300000000000000000000
χ662-22-2-22-22-122-2-211-1-111-10000−2i2i−2i2i2-22-2−2i2i−2i2i−33−33−33−331-1-110000000000i−ii−i−33−33−i3i3−i3i3-11-11i−ii−i−i3i3−i3i300000000000000000000
χ672-22-2-22-22-122-2-211-1-111-10000−2i2i−2i2i-22-222i−2i2i−2i3−33−33−33−31-1-110000000000i−ii−i−33−33i3−i3i3−i31-11-1−ii−ii−i3i3−i3i300000000000000000000
χ682-22-2-22-22-122-2-211-1-111-10000−2i2i−2i2i-22-222i−2i2i−2i−33−33−33−331-1-110000000000i−ii−i3−33−3−i3i3−i3i31-11-1−ii−iii3−i3i3−i300000000000000000000
χ692-2-22-2-2222-22-22-2-2-2-222200002-2-222-2-222-2-2200000000-2-22200000000002-2-22000000002-2-222-2-22000000000000000000000000
χ702-2-22-2-2222-22-22-2-2-2-222200002-2-22-222-2-222-200000000-2-22200000000002-2-2200000000-222-2-222-2000000000000000000000000
χ712-2-22-2-2222-22-22-2-2-2-22220000-222-22-2-22-222-200000000-2-2220000000000-222-2000000002-2-22-222-2000000000000000000000000
χ722-2-22-2-2222-22-22-2-2-2-22220000-222-2-222-22-2-2200000000-2-2220000000000-222-200000000-222-22-2-22000000000000000000000000
χ732-2-22-2-222-1-22-221111-1-1-100002-2-222-2-222-2-22−i3i3−i3i3i3−i3i3−i311-1-10000000000-111-1−i3i3i3−i3−i3i3i3−i3-111-1-111-1−i3i3i3−i300000000000000000000
χ742-2-22-2-222-1-22-221111-1-1-100002-2-222-2-222-2-22i3−i3i3−i3−i3i3−i3i311-1-10000000000-111-1i3−i3−i3i3i3−i3−i3i3-111-1-111-1i3−i3−i3i300000000000000000000
χ752-2-22-2-222-1-22-221111-1-1-100002-2-22-222-2-222-2−i3i3−i3i3i3−i3i3−i311-1-10000000000-111-1i3−i3−i3i3−i3i3i3−i31-1-111-1-11i3−i3−i3i300000000000000000000
χ762-2-22-2-222-1-22-221111-1-1-100002-2-22-222-2-222-2i3−i3i3−i3−i3i3−i3i311-1-10000000000-111-1−i3i3i3−i3i3−i3−i3i31-1-111-1-11−i3i3i3−i300000000000000000000
χ772-2-22-2-222-1-22-221111-1-1-10000-222-22-2-22-222-2−i3i3−i3i3i3−i3i3−i311-1-100000000001-1-11−i3i3i3−i3i3−i3−i3i3-111-11-1-11i3−i3−i3i300000000000000000000
χ782-2-22-2-222-1-22-221111-1-1-10000-222-22-2-22-222-2i3−i3i3−i3−i3i3−i3i311-1-100000000001-1-11i3−i3−i3i3−i3i3i3−i3-111-11-1-11−i3i3i3−i300000000000000000000
χ792-2-22-2-222-1-22-221111-1-1-10000-222-2-222-22-2-22−i3i3−i3i3i3−i3i3−i311-1-100000000001-1-11i3−i3−i3i3i3−i3−i3i31-1-11-111-1−i3i3i3−i300000000000000000000
χ802-2-22-2-222-1-22-221111-1-1-10000-222-2-222-22-2-22i3−i3i3−i3−i3i3−i3i311-1-100000000001-1-11−i3i3i3−i3−i3i3i3−i31-1-11-111-1i3−i3−i3i300000000000000000000
χ8144444444-2-4-4-4-4-2-2-2-2-2-2-244-4-4000000000000-2-222-2-2222222000000000000000000000000000000000000000000000000000000
χ8244444444-2-4-4-4-4-2-2-2-2-2-2-2-4-44400000000000022-2-222-2-22222000000000000000000000000000000000000000000000000000000
χ83444-4-4-44-4400004-44-44-4-400000000000000000000000000004-44-400000000000000000000000000000000000000000000000000
χ84444-4-4-44-4400004-44-44-4-40000000000000000000000000000-44-4400000000000000000000000000000000000000000000000000
χ8544-44-44-4-4400004-4-44-44-400000000000000000000000000004-4-4400000000000000000000000000000000000000000000000000
χ8644-44-44-4-4400004-4-44-44-40000000000000000000000000000-444-400000000000000000000000000000000000000000000000000
χ8744-4-44-4-44-24-4-44-2-22222-24i−4i−4i4i000000000000−2i−2i2i2i2i2i−2i−2i2-22-2000000000000000000000000000000000000000000000000000000
χ8844-4-44-4-44-24-4-44-2-22222-2−4i4i4i−4i0000000000002i2i−2i−2i−2i−2i2i2i2-22-2000000000000000000000000000000000000000000000000000000
χ894-4444-4-4-440000-444-4-44-40000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000022−2222−220000000000
χ904-4444-4-4-440000-444-4-44-400000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000−2222−22220000000000
χ914-44-4-44-444-4-444-4-444-4-440000000000000000000000004-4-44000000000000000000000000000000000000000000000000000000
χ924-44-4-44-44-2-4-44422-2-222-2000000000000000023−23−232323−23−2323-222-2000000000000000000000000000000000000000000000000000000
χ934-44-4-44-44-2-4-44422-2-222-20000000000000000−232323−23−232323−23-222-2000000000000000000000000000000000000000000000000000000
χ944-4-44-4-44444-44-4-4-4-4-444400000000000000000000000044-4-4000000000000000000000000000000000000000000000000000000
χ954-4-44-4-444-24-44-42222-2-2-20000000000000000−2i32i32i3−2i32i3−2i3−2i32i3-2-222000000000000000000000000000000000000000000000000000000
χ964-4-44-4-444-24-44-42222-2-2-200000000000000002i3−2i3−2i32i3−2i32i32i3−2i3-2-222000000000000000000000000000000000000000000000000000000
χ974-4-4-4444-440000-44-444-4-400000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000−2i22i22i2−2i20000000000
χ984-4-4-4444-440000-44-444-4-4000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000002i2−2i2−2i22i20000000000
χ99888-8-8-88-8-40000-44-44-4440000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
χ10088-88-88-8-8-40000-444-44-440000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
χ1018-8888-8-8-8-400004-4-444-440000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
χ1028-8-8-8888-8-400004-44-4-4440000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

Here i is the imaginary unit (i² = −1).