Subgroups — #10834

Order 256.

531 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 173 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×C₄×C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#336	C₂	1	4	yes	maximal
5	C₂³×C₈	C₂²	1	2	yes	—
6	C₂³×C₈	C₂²	1	2	yes	—
7	C₂²×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
8	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
11	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
12	C₂×C₄⋊C₈	C₄	1	4	yes	complemented
13	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
14	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
15	C₂×C₄×C₈	C₄	1	4	yes	complemented
16	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
17	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
18	C₂×#95	C₄	1	2	yes	—
19	#336	—	2	8	no	—
20	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
21	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
22	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
23	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
25	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
26	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
27	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
28	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
29	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
30	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
31	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
32	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
33	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
34	C₂²×C₈	D₄	1	4	yes	—
35	C₂²×C₈	Q₈	1	4	yes	—
36	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
37	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
38	C₂×C₄⋊C₄	C₈	1	8	yes	complemented
39	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
40	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
41	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
43	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂×C₄²	D₄	1	2	yes	—
46	C₂×C₄²	D₄	1	2	yes	—
47	C₂×C₄²	D₄	1	2	yes	—
48	C₂×C₄²	Q₈	1	2	yes	—
49	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
50	C₄×C₈	—	2	8	no	—
51	#95	—	2	4	no	—
52	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
54	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
55	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
56	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
57	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
58	C₂²×C₄	C₄²	1	2	yes	—
59	C₂²×C₄	C₄²	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
61	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
62	C₂²×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄	C₂×C₈	1	8	yes	—
65	C₂²×C₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
66	C₂²×C₄	M₁₆	1	4	yes	—
67	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
73	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
77	C₂×C₈	—	2	4	no	—
78	C₂×C₈	—	2	4	no	—
79	C₂×C₈	—	2	4	no	—
80	C₂×C₈	—	2	4	no	—
81	C₂×C₈	—	2	4	no	—
82	C₂×C₈	—	2	4	no	—
83	C₂×C₈	—	2	4	no	—
84	C₂×C₈	—	2	8	no	—
85	C₂×C₈	—	4	4	no	—
86	C₂×C₈	—	4	2	no	—
87	C₂×C₈	—	4	2	no	—
88	C₂×C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	complemented
89	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
90	C₄²	—	4	4	no	—
91	C₄²	—	4	2	no	—
92	C₄²	—	4	2	no	—
93	C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
94	C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
95	C₄²	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
96	C₄²	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
97	C₂³	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
98	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂³	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
101	C₂³	C₄×Q₈	1	2	yes	—
102	C₂³	C₂²×C₈	1	2	yes	—
103	C₂³	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
104	C₂³	#131	1	4	yes	—
105	C₂×C₄	—	2	4	no	—
106	C₂×C₄	—	2	4	no	—
107	C₂×C₄	—	2	4	no	—
108	C₂×C₄	—	2	8	no	—
109	C₂×C₄	—	2	16	no	—
110	C₂×C₄	—	4	4	no	—
111	C₂×C₄	—	4	4	no	—
112	C₂×C₄	—	4	8	no	—
113	C₂×C₄	#95	1	4	yes	—
114	C₂×C₄	#95	1	4	yes	—
115	C₂×C₄	C₄×C₈	1	4	yes	—
116	C₂×C₄	#97	1	4	yes	—
117	C₂×C₄	C₂²⋊C₈	1	8	yes	—
118	C₂×C₄	C₄⋊C₈	1	8	yes	—
119	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
122	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄	#117	1	2	yes	—
125	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
126	C₂×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
127	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
128	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
129	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
130	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
131	C₂×C₄	#124	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄	#124	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄	#125	1	2	yes	—
134	C₂×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
136	C₂×C₄	C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
137	C₈	—	2	8	no	—
138	C₈	—	4	4	no	—
139	C₂²	C₂×#95	1	1	yes	characteristic
140	C₂²	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
141	C₂²	#389	1	2	yes	—
142	C₂²	#390	1	1	yes	characteristic
143	C₂²	#391	1	1	yes	characteristic
144	C₂²	C₂×C₄×C₈	1	1	yes	characteristic
145	C₂²	C₂×#97	1	1	yes	characteristic
146	C₂²	#405	1	2	yes	—
147	C₂²	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
148	C₂²	#408	1	2	yes	—
149	C₂²	C₂×C₄⋊C₈	1	2	yes	—
150	C₂²	#424	1	2	yes	—
151	C₂²	C₈×D₄	1	4	yes	—
152	C₂²	#436	1	4	yes	—
153	C₂²	C₈×Q₈	1	4	yes	—
154	C₂²	#446	1	4	yes	—
155	C₄	—	2	4	no	—
156	C₄	—	4	8	no	—
157	C₄	#336	1	8	yes	complemented
158	C₄	#380	1	2	yes	—
159	C₄	#382	1	1	yes	characteristic
160	C₄	#384	1	1	yes	characteristic
161	C₄	#389	1	2	yes	—
162	C₄	#390	1	1	yes	characteristic
163	C₄	#391	1	1	yes	characteristic
164	C₂	C₄⋊#95	1	1	yes	characteristic
165	C₂	C₂×#336	1	1	yes	characteristic
166	C₂	#1729	1	1	yes	characteristic
167	C₂	C₈×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
168	C₂	#1770	1	2	yes	—
169	C₂	#1939	1	4	yes	—
170	C₂	#1954	1	2	yes	—
171	C₂	#1984	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂³
commutator	C₂²	C₂×C₄×C₈
socle, prime radical	C₂⁴	C₂²×C₄
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
12. C₂×C₄⋊C₈	C₄	semidirect
15. C₂×C₄×C₈	C₄	semidirect
38. C₂×C₄⋊C₄	C₈	semidirect
88. C₂×C₈	C₄⋊C₄	semidirect
157. C₄	#336	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄⋊C₈	2
C₂²×C₄×C₈	2
C₂×C₄×C₄⋊C₄	2
C₂×#336	2