Subgroups — #108347

Order 512.

1194 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 391 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34155	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1962	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1525	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₄×#339	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#7903	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×#104	—	2	2	no	—
9	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
10	#2372	—	2	2	no	—
11	#2369	C₄	1	2	yes	complemented
12	#2366	C₄	1	2	yes	complemented
13	#2363	—	2	4	no	—
14	#2297	—	2	2	no	—
15	#2293	—	2	2	no	—
16	C₄²×D₄	—	2	2	no	—
17	C₄×#117	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#1962	—	2	2	no	—
20	#1962	C₄	1	4	yes	complemented
21	C₂×#339	—	2	4	no	—
22	#1525	—	2	2	no	—
23	#1525	C₄	1	4	yes	complemented
24	C₂×#329	—	2	2	no	—
25	#1279	—	2	2	no	—
26	#1279	—	2	2	no	—
27	C₂²×#41	D₄	1	2	yes	—
28	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
29	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
30	#532	—	2	2	no	—
31	#532	—	2	2	no	—
32	#532	C₂×C₄	1	2	yes	—
33	#532	C₂×C₄	1	2	yes	—
34	#532	D₄	1	2	yes	—
35	#532	Q₈	1	2	yes	—
36	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#124	D₄	1	2	yes	—
39	C₂×#121	—	2	2	no	—
40	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
41	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
42	C₂×#117	—	2	2	no	—
43	C₂×#117	D₄	1	4	yes	—
44	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
45	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
46	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
47	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	#423	—	2	2	no	—
49	#423	—	2	1	no	—
50	#423	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
51	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
52	C₂×#104	—	2	8	no	—
53	C₂×#104	—	4	4	no	—
54	C₂×#104	—	4	4	no	—
55	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
56	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
57	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
58	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
59	C₂×#97	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
61	#391	—	2	4	no	—
62	#390	—	2	4	no	—
63	#390	—	2	4	no	—
64	#389	—	2	4	no	—
65	#388	—	2	8	no	—
66	#386	—	2	4	no	—
67	#386	—	2	4	no	—
68	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
69	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
70	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
71	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
72	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
73	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
74	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
75	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
76	#376	—	2	2	no	—
77	C₄³	—	2	2	no	—
78	C₄³	—	2	1	no	—
79	C₄³	—	2	2	no	—
80	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
81	#339	—	2	16	no	—
82	#329	—	2	8	no	—
83	C₂×#41	—	2	2	no	—
84	C₂×#41	—	2	2	no	—
85	C₂×#41	—	4	2	no	—
86	C₂×#41	—	4	2	no	—
87	C₂×#41	—	4	2	no	—
88	C₂×#41	—	4	2	no	—
89	C₂×#41	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
90	C₂×#41	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
91	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
92	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
93	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
94	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
95	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
96	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
97	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
98	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
100	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
101	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
102	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
103	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
104	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
105	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
106	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
107	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
108	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
109	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
110	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
111	C₄⋊Q₈	C₄²	1	2	yes	—
112	C₄⋊Q₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
113	#127	—	2	2	no	—
114	#127	C₄²	1	2	yes	—
115	#127	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
116	#124	—	2	4	no	—
117	#124	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
118	#124	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
119	#121	—	2	4	no	—
120	#121	—	2	4	no	—
121	#121	—	2	4	no	—
122	#121	—	2	4	no	—
123	C₄×D₄	—	2	4	no	—
124	C₄×D₄	—	2	4	no	—
125	C₄×D₄	—	2	4	no	—
126	C₄×D₄	—	2	4	no	—
127	C₄×D₄	—	4	8	no	—
128	C₄×D₄	—	4	8	no	—
129	#117	—	2	8	no	—
130	#117	—	4	4	no	—
131	#117	—	8	2	no	—
132	#117	—	8	2	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
142	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
152	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
153	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
154	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
155	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
156	C₂×C₄²	—	8	2	no	—
157	C₂×C₄²	—	8	2	no	—
158	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
167	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
168	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
169	#104	—	4	16	no	—
170	#97	—	2	4	no	—
171	#97	—	4	2	no	—
172	C₄×C₈	—	2	4	no	—
173	C₄×C₈	—	4	2	no	—
174	#95	—	2	8	no	—
175	#95	—	2	4	no	—
176	#95	—	2	2	no	—
177	#95	—	2	2	no	—
178	C₂⁴	—	2	2	no	—
179	C₂⁴	#120	1	1	yes	characteristic
180	#41	—	4	4	no	—
181	#41	—	4	4	no	—
182	#41	—	4	4	no	—
183	#41	—	4	4	no	—
184	#41	—	8	2	no	—
185	#41	—	8	2	no	—
186	#41	—	8	2	no	—
187	#41	—	8	2	no	—
188	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
189	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
190	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
191	C₂×Q₈	#95	1	4	yes	—
192	C₂×D₄	—	2	4	no	—
193	C₂×D₄	—	2	4	no	—
194	C₂×D₄	—	2	4	no	—
195	C₂×D₄	—	2	4	no	—
196	C₂×D₄	—	2	2	no	—
197	C₂×D₄	—	4	2	no	—
198	C₂×D₄	—	4	2	no	—
199	C₂×D₄	—	4	4	no	—
200	C₂×D₄	—	4	4	no	—
201	C₂×D₄	—	8	2	no	—
202	C₂×D₄	—	8	2	no	—
203	C₂×D₄	#95	1	4	yes	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
225	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
237	M₁₆	—	2	8	no	—
238	M₁₆	—	4	8	no	—
239	M₁₆	—	4	4	no	—
240	M₁₆	—	4	4	no	—
241	M₁₆	—	8	2	no	—
242	C₂×C₈	—	4	8	no	—
243	C₂×C₈	—	4	4	no	—
244	C₂×C₈	—	4	2	no	—
245	C₂×C₈	—	8	1	no	—
246	C₂×C₈	—	8	1	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
253	C₄⋊C₄	#104	1	8	yes	complemented
254	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
259	C₄²	—	2	4	no	—
260	C₄²	—	2	8	no	—
261	C₄²	—	4	8	no	—
262	C₄²	—	4	8	no	—
263	C₄²	—	4	2	no	—
264	C₄²	—	4	2	no	—
265	C₄²	—	4	2	no	—
266	C₄²	—	4	4	no	—
267	C₄²	—	4	4	no	—
268	C₄²	—	4	4	no	—
269	C₄²	—	4	2	no	—
270	C₄²	—	4	2	no	—
271	C₄²	—	4	2	no	—
272	C₄²	—	4	2	no	—
273	C₄²	—	8	4	no	—
274	C₄²	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
275	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
276	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
277	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
278	C₄²	#117	1	2	yes	—
279	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
280	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
281	C₄²	#121	1	2	yes	—
282	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
283	C₄²	#123	1	2	yes	—
284	C₂³	—	2	1	no	—
285	C₂³	—	2	1	no	—
286	C₂³	—	2	4	no	—
287	C₂³	—	2	4	no	—
288	C₂³	—	4	2	no	—
289	C₂³	—	4	2	no	—
290	C₂³	—	4	8	no	—
291	C₂³	#379	1	1	yes	characteristic
292	C₂³	#385	1	1	yes	characteristic
293	C₂³	#386	1	1	yes	characteristic
294	Q₈	—	4	4	no	—
295	Q₈	—	8	2	no	—
296	D₄	—	4	4	no	—
297	D₄	—	4	8	no	—
298	D₄	—	4	4	no	—
299	D₄	—	4	4	no	—
300	D₄	—	8	2	no	—
301	D₄	—	8	4	no	—
302	D₄	—	8	4	no	—
303	C₂×C₄	—	2	1	no	—
304	C₂×C₄	—	2	1	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	1	no	—
309	C₂×C₄	—	2	1	no	—
310	C₂×C₄	—	2	1	no	—
311	C₂×C₄	—	2	1	no	—
312	C₂×C₄	—	2	1	no	—
313	C₂×C₄	—	2	1	no	—
314	C₂×C₄	—	2	1	no	—
315	C₂×C₄	—	2	1	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	8	no	—
322	C₂×C₄	—	4	8	no	—
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	8	no	—
325	C₂×C₄	—	4	8	no	—
326	C₂×C₄	—	4	4	no	—
327	C₂×C₄	—	4	2	no	—
328	C₂×C₄	—	4	2	no	—
329	C₂×C₄	—	4	4	no	—
330	C₂×C₄	—	4	4	no	—
331	C₂×C₄	—	4	4	no	—
332	C₂×C₄	—	4	4	no	—
333	C₂×C₄	—	4	4	no	—
334	C₂×C₄	—	4	4	no	—
335	C₂×C₄	—	4	4	no	—
336	C₂×C₄	—	4	4	no	—
337	C₂×C₄	—	8	16	no	—
338	C₂×C₄	C₂×#95	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	#381	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	#385	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	#386	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	C₂×#104	1	4	yes	—
347	C₂×C₄	#421	1	4	yes	—
348	C₂×C₄	#453	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	#453	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	#455	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	#455	1	1	yes	characteristic
352	C₈	—	4	8	no	—
353	C₈	—	8	2	no	—
354	C₂²	—	2	2	no	—
355	C₂²	—	2	2	no	—
356	C₂²	—	2	1	no	—
357	C₂²	—	2	1	no	—
358	C₂²	—	4	2	no	—
359	C₂²	—	4	2	no	—
360	C₂²	—	4	8	no	—
361	C₂²	—	4	4	no	—
362	C₂²	—	8	4	no	—
363	C₂²	—	8	4	no	—
364	C₂²	C₂²⋊#95	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	#1789	1	4	yes	—
366	C₂²	#1792	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	#1792	1	1	yes	characteristic
368	C₄	—	2	2	no	—
369	C₄	—	2	2	no	—
370	C₄	—	2	1	no	—
371	C₄	—	2	1	no	—
372	C₄	—	4	8	no	—
373	C₄	—	4	8	no	—
374	C₄	—	4	4	no	—
375	C₄	—	8	4	no	—
376	C₄	C₄×#104	1	2	yes	—
377	C₄	#1759	1	2	yes	—
378	C₄	#1806	1	4	yes	—
379	C₄	#1856	1	1	yes	characteristic
380	C₄	#1856	1	1	yes	characteristic
381	C₄	#1885	1	1	yes	characteristic
382	C₄	#1887	1	1	yes	characteristic
383	C₂	—	4	1	no	—
384	C₂	—	4	1	no	—
385	C₂	—	8	4	no	—
386	C₂	#8440	1	2	yes	—
387	C₂	#8441	1	2	yes	—
388	C₂	#10749	1	1	yes	characteristic
389	C₂	#10790	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	#120
commutator	C₄²	C₂×C₄²
Frattini, cosocle	C₂²×C₄²	C₂³
socle	C₂³	#379
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. C₄×#339	C₂	semidirect
5. #7903	C₂	semidirect
11. #2369	C₄	semidirect
12. #2366	C₄	semidirect
20. #1962	C₄	semidirect
23. #1525	C₄	semidirect
50. #423	C₂×C₄	semidirect
58. C₄×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
80. C₄³	C₂×C₄	semidirect
253. C₄⋊C₄	#104	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34155	2
C₂×#1962	2
C₂×#1525	2
C₄×#339	2
#7903	2