Subgroups — #10849

Order 256.

543 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 210 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#384	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#340	C₂	1	4	yes	maximal
5	C₂³×C₈	C₂²	1	2	yes	—
6	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
7	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
8	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
11	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
13	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
14	C₂×C₄⋊C₈	C₄	1	4	yes	complemented
15	#384	—	2	2	no	—
16	#384	C₄	1	4	yes	complemented
17	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
18	C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	4	yes	complemented
19	C₂×#95	—	2	1	no	—
20	#340	—	2	8	no	—
21	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
22	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
23	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
24	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
25	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
26	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
27	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
28	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
29	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
30	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
31	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
32	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
33	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
34	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
35	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
36	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
37	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
38	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
39	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
40	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
41	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
42	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
45	C₂×C₄⋊C₄	Q₈	1	4	yes	—
46	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
47	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
48	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
49	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄²	D₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄²	D₄	1	2	yes	—
54	C₂×C₄²	Q₈	1	2	yes	—
55	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
56	#95	—	2	4	no	—
57	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
59	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
60	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
61	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
62	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
63	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
64	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
65	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
66	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
67	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
68	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
69	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
70	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
71	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
72	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
73	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄	D₈	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄	SD₁₆	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄	SD₁₆	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄	Q₁₆	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
88	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
90	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
91	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
92	C₂×C₈	—	2	4	no	—
93	C₂×C₈	—	2	8	no	—
94	C₂×C₈	—	4	4	no	—
95	C₂×C₈	—	4	2	no	—
96	C₂×C₈	—	4	2	no	—
97	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
98	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
99	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
100	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
101	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
102	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
103	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
104	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
105	C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	complemented
106	C₄²	—	4	8	no	—
107	C₄²	C₄²	1	4	yes	—
108	C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
109	C₄²	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
110	C₄²	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
111	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂³	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂³	#121	1	2	yes	—
115	C₂³	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
116	C₂³	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
117	C₂³	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
118	C₂³	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
119	C₂³	C₂×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
120	C₂³	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
121	C₂³	#137	1	2	yes	—
122	C₂×C₄	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄	—	2	8	no	—
127	C₂×C₄	—	4	4	no	—
128	C₂×C₄	—	4	4	no	—
129	C₂×C₄	—	4	4	no	—
130	C₂×C₄	—	4	4	no	—
131	C₂×C₄	—	4	4	no	—
132	C₂×C₄	—	4	4	no	—
133	C₂×C₄	—	4	4	no	—
134	C₂×C₄	—	4	4	no	—
135	C₂×C₄	—	4	4	no	—
136	C₂×C₄	—	8	4	no	—
137	C₂×C₄	—	8	4	no	—
138	C₂×C₄	#95	1	4	yes	—
139	C₂×C₄	#95	1	4	yes	—
140	C₂×C₄	#102	1	4	yes	—
141	C₂×C₄	#102	1	4	yes	—
142	C₂×C₄	#103	1	4	yes	—
143	C₂×C₄	#103	1	4	yes	—
144	C₂×C₄	#106	1	4	yes	—
145	C₂×C₄	#107	1	4	yes	—
146	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄	#117	1	2	yes	—
152	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
155	C₂×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
156	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
157	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
158	C₂×C₄	#124	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄	#124	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄	#125	1	2	yes	—
161	C₂×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
163	C₂×C₄	C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
164	C₈	—	4	4	no	—
165	C₂²	C₂×#95	1	1	yes	characteristic
166	C₂²	#380	1	2	yes	—
167	C₂²	#389	1	2	yes	—
168	C₂²	#390	1	1	yes	characteristic
169	C₂²	#391	1	1	yes	characteristic
170	C₂²	C₂×#102	1	1	yes	characteristic
171	C₂²	C₂×#102	1	1	yes	characteristic
172	C₂²	C₂×#103	1	1	yes	characteristic
173	C₂²	C₂×#103	1	1	yes	characteristic
174	C₂²	#417	1	2	yes	—
175	C₂²	#418	1	1	yes	characteristic
176	C₂²	#419	1	1	yes	characteristic
177	C₂²	C₂×#106	1	1	yes	characteristic
178	C₂²	C₂×#107	1	1	yes	characteristic
179	C₂²	#428	1	2	yes	—
180	C₂²	#459	1	2	yes	—
181	C₂²	#460	1	2	yes	—
182	C₂²	#461	1	2	yes	—
183	C₂²	#462	1	2	yes	—
184	C₂²	#474	1	2	yes	—
185	C₂²	#475	1	2	yes	—
186	C₂²	#476	1	2	yes	—
187	C₂²	#477	1	2	yes	—
188	C₄	—	2	4	no	—
189	C₄	—	4	8	no	—
190	C₄	—	8	4	no	—
191	C₄	#340	1	8	yes	complemented
192	C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
193	C₄	#382	1	1	yes	characteristic
194	C₄	#384	1	1	yes	characteristic
195	C₄	#389	1	2	yes	—
196	C₄	#390	1	1	yes	characteristic
197	C₄	#391	1	1	yes	characteristic
198	C₂	C₄⋊#95	1	1	yes	characteristic
199	C₂	C₂×#340	1	1	yes	characteristic
200	C₂	#1736	1	1	yes	characteristic
201	C₂	#1802	1	2	yes	—
202	C₂	#1803	1	2	yes	—
203	C₂	#1947	1	2	yes	—
204	C₂	#1948	1	2	yes	—
205	C₂	#1981	1	1	yes	characteristic
206	C₂	#1982	1	1	yes	characteristic
207	C₂	#1987	1	1	yes	characteristic
208	C₂	#1988	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂⁴	C₂×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂³
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
14. C₂×C₄⋊C₈	C₄	semidirect
16. #384	C₄	semidirect
18. C₄×C₄⋊C₄	C₄	semidirect
105. C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	semidirect
191. C₄	#340	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄⋊C₈	2
C₂×#384	2
C₂×C₄×C₄⋊C₄	2
C₂×#340	2