Subgroups — #10852

Order 256.

493 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 190 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#423	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₄×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#339	C₂	1	4	yes	maximal
5	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
6	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
7	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
8	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	#423	—	2	2	no	—
11	#423	C₄	1	4	yes	complemented
12	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
13	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
14	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
15	C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	complemented
16	C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	complemented
17	C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	4	yes	complemented
18	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
19	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
20	#376	—	2	1	no	—
21	C₂×#95	—	2	1	no	—
22	C₄³	—	2	1	no	—
23	#339	—	2	8	no	—
24	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
25	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
26	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
27	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
28	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
29	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
30	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
31	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
32	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
33	#117	—	2	2	no	—
34	#117	—	2	2	no	—
35	#117	D₄	1	4	yes	—
36	#117	Q₈	1	4	yes	—
37	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
38	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
39	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
41	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
43	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
44	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄²	D₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₄²	Q₈	1	2	yes	—
56	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
57	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
58	#95	—	2	4	no	—
59	#95	—	2	2	no	—
60	#95	—	2	2	no	—
61	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
63	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
64	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
65	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
66	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
67	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
68	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
69	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
73	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
87	M₁₆	—	2	8	no	—
88	M₁₆	—	4	2	no	—
89	M₁₆	—	4	2	no	—
90	C₂×C₈	—	2	4	no	—
91	C₂×C₈	—	4	4	no	—
92	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
93	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
94	C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	complemented
95	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
96	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
97	C₄²	—	2	4	no	—
98	C₄²	—	2	4	no	—
99	C₄²	—	2	8	no	—
100	C₄²	—	4	4	no	—
101	C₄²	—	4	4	no	—
102	C₄²	—	4	2	no	—
103	C₄²	—	4	2	no	—
104	C₄²	C₄²	1	2	yes	—
105	C₄²	C₄²	1	2	yes	—
106	C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
107	C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
108	C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
109	C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
110	C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
111	C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
112	C₂³	—	2	2	no	—
113	C₂³	—	2	2	no	—
114	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂³	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂³	#121	1	2	yes	—
118	C₂³	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
119	C₂×C₄	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄	—	2	4	no	—
124	C₂×C₄	—	2	8	no	—
125	C₂×C₄	—	2	8	no	—
126	C₂×C₄	—	4	2	no	—
127	C₂×C₄	—	4	2	no	—
128	C₂×C₄	—	4	16	no	—
129	C₂×C₄	—	4	4	no	—
130	C₂×C₄	—	4	4	no	—
131	C₂×C₄	—	4	4	no	—
132	C₂×C₄	—	4	4	no	—
133	C₂×C₄	#95	1	2	yes	—
134	C₂×C₄	#95	1	2	yes	—
135	C₂×C₄	#95	1	2	yes	—
136	C₂×C₄	#95	1	2	yes	—
137	C₂×C₄	#104	1	4	yes	—
138	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄	#117	1	2	yes	—
144	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
145	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
147	C₂×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
148	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
149	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
150	C₂×C₄	#124	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄	#124	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄	#125	1	2	yes	—
153	C₂×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
155	C₂×C₄	C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
156	C₈	—	4	4	no	—
157	C₂²	—	2	4	no	—
158	C₂²	—	2	4	no	—
159	C₂²	—	2	1	no	—
160	C₂²	—	2	1	no	—
161	C₂²	—	2	1	no	—
162	C₂²	—	2	1	no	—
163	C₂²	C₂×#95	1	1	yes	characteristic
164	C₂²	#380	1	2	yes	—
165	C₂²	#389	1	2	yes	—
166	C₂²	#390	1	1	yes	characteristic
167	C₂²	#391	1	1	yes	characteristic
168	C₂²	C₂×#104	1	2	yes	—
169	C₂²	#421	1	2	yes	—
170	C₄	—	2	2	no	—
171	C₄	—	2	2	no	—
172	C₄	—	2	2	no	—
173	C₄	—	4	8	no	—
174	C₄	—	4	8	no	—
175	C₄	#339	1	4	yes	complemented
176	C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
177	C₄	#382	1	1	yes	characteristic
178	C₄	#384	1	1	yes	characteristic
179	C₄	#389	1	2	yes	—
180	C₄	#390	1	1	yes	characteristic
181	C₄	#391	1	1	yes	characteristic
182	C₂	—	2	1	no	—
183	C₂	—	2	2	no	—
184	C₂	—	2	1	no	—
185	C₂	C₄⋊#95	1	1	yes	characteristic
186	C₂	C₂×#339	1	1	yes	characteristic
187	C₂	#1733	1	1	yes	characteristic
188	C₂	#1806	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂³
socle	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂⁴	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
11. #423	C₄	semidirect
15. C₄×C₄⋊C₄	C₄	semidirect
16. C₄×C₄⋊C₄	C₄	semidirect
17. C₄×C₄⋊C₄	C₄	semidirect
94. C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	semidirect
175. C₄	#339	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#423	2
C₄×#117	2
C₂×C₄×C₄⋊C₄	2
C₂×#339	2