Subgroups — #108550

Order 512.

564 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 337 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₈×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₄×#344	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#7932	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#7890	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#7882	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂×#1278	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#7866	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#344	C₄	1	2	yes	—
16	C₂×#344	C₄	1	2	yes	—
17	C₈×M₁₆	—	2	2	no	—
18	C₈×M₁₆	C₄	1	4	yes	complemented
19	C₂×#322	—	2	1	no	—
20	C₂×C₈²	—	2	1	no	—
21	#1283	C₄	1	4	yes	complemented
22	#1279	—	2	2	no	—
23	#1278	—	2	2	no	—
24	#1278	—	2	1	no	—
25	#1278	—	2	1	no	—
26	#1276	—	2	2	no	—
27	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
28	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
30	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
31	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
32	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	#431	—	2	1	no	—
34	#431	—	2	1	no	—
35	#431	—	2	1	no	—
36	#431	—	2	1	no	—
37	#431	—	2	1	no	—
38	#431	—	2	1	no	—
39	#431	—	2	1	no	—
40	#431	—	2	1	no	—
41	#431	—	2	1	no	—
42	#431	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	#431	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	#431	D₄	1	2	yes	—
45	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
46	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂×C₄⋊C₈	Q₈	1	2	yes	—
48	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
49	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
50	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
51	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
52	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
53	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
54	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
55	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
56	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
57	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂×#97	—	2	1	no	—
60	C₂×#97	—	2	1	no	—
61	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
62	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
63	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
64	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
65	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
66	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
67	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
68	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
69	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
73	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
74	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
75	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
76	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
77	#376	—	2	1	no	—
78	C₄³	—	2	1	no	—
79	#344	—	2	4	no	—
80	#344	C₈	1	8	yes	complemented
81	#322	—	2	4	no	—
82	C₈²	—	2	4	no	—
83	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
85	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
86	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
87	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
88	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
89	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
90	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
91	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
92	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
93	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
94	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
95	C₂×M₁₆	C₄²	1	2	yes	—
96	C₂×M₁₆	C₄²	1	2	yes	—
97	C₂×M₁₆	C₂×C₈	1	4	yes	—
98	C₂×M₁₆	C₂×C₈	1	4	yes	—
99	C₂×M₁₆	M₁₆	1	4	yes	—
100	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
101	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
102	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
110	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
111	#117	—	2	2	no	—
112	#117	—	2	2	no	—
113	#117	—	2	2	no	—
114	#117	C₂×C₈	1	4	yes	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
119	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
120	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
132	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
133	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
134	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
135	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
136	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
137	C₄⋊C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
138	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
139	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
140	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
142	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
143	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
144	#97	—	2	2	no	—
145	#97	—	2	2	no	—
146	#97	—	4	1	no	—
147	#97	—	4	1	no	—
148	C₄×C₈	—	2	2	no	—
149	C₄×C₈	—	2	2	no	—
150	C₄×C₈	—	2	2	no	—
151	C₄×C₈	—	2	2	no	—
152	C₄×C₈	—	2	2	no	—
153	C₄×C₈	—	2	2	no	—
154	C₄×C₈	—	2	1	no	—
155	C₄×C₈	—	2	1	no	—
156	C₄×C₈	—	2	2	no	—
157	C₄×C₈	—	4	1	no	—
158	C₄×C₈	—	4	1	no	—
159	C₄×C₈	—	4	1	no	—
160	C₄×C₈	—	4	1	no	—
161	C₄×C₈	—	4	1	no	—
162	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
163	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
164	#95	—	4	1	no	—
165	#95	—	4	1	no	—
166	C₂⁴	#117	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
169	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
170	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
172	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
174	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
176	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
181	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₄	#124	1	1	yes	characteristic
185	C₂²×C₄	#125	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×C₄	#126	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₄	#126	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
190	C₂²×C₄	#131	1	2	yes	—
191	C₂²×C₄	#131	1	2	yes	—
192	M₁₆	—	2	2	no	—
193	M₁₆	—	2	2	no	—
194	M₁₆	—	2	4	no	—
195	M₁₆	—	2	4	no	—
196	M₁₆	—	2	4	no	—
197	M₁₆	—	2	4	no	—
198	M₁₆	—	4	2	no	—
199	M₁₆	—	4	2	no	—
200	M₁₆	C₄×C₈	1	4	yes	—
201	M₁₆	#97	1	4	yes	—
202	C₂×C₈	—	2	4	no	—
203	C₂×C₈	—	2	2	no	—
204	C₂×C₈	—	2	2	no	—
205	C₂×C₈	—	2	2	no	—
206	C₂×C₈	—	2	4	no	—
207	C₂×C₈	—	2	4	no	—
208	C₂×C₈	—	2	4	no	—
209	C₂×C₈	—	2	2	no	—
210	C₂×C₈	—	2	4	no	—
211	C₂×C₈	—	4	4	no	—
212	C₂×C₈	—	4	4	no	—
213	C₂×C₈	—	4	4	no	—
214	C₂×C₈	—	4	2	no	—
215	C₂×C₈	—	4	2	no	—
216	C₂×C₈	—	4	2	no	—
217	C₂×C₈	—	4	2	no	—
218	C₂×C₈	—	4	2	no	—
219	C₂×C₈	—	8	2	no	—
220	C₂×C₈	—	8	2	no	—
221	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
222	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
223	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
225	C₄²	—	2	4	no	—
226	C₄²	—	4	2	no	—
227	C₄²	—	8	2	no	—
228	C₄²	—	8	2	no	—
229	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
230	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
231	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
232	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
233	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
234	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
236	C₄²	C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
237	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
238	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
239	C₄²	#123	1	1	yes	characteristic
240	C₄²	#123	1	1	yes	characteristic
241	C₄²	#124	1	1	yes	characteristic
242	C₄²	#125	1	1	yes	characteristic
243	C₄²	#126	1	1	yes	characteristic
244	C₄²	#126	1	1	yes	characteristic
245	C₂³	—	4	1	no	—
246	C₂³	—	4	1	no	—
247	C₂³	#376	1	1	yes	characteristic
248	C₂³	#387	1	1	yes	characteristic
249	C₂³	#388	1	1	yes	characteristic
250	C₂³	#431	1	2	yes	—
251	C₂³	#433	1	2	yes	—
252	C₂×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂×C₄	—	4	1	no	—
259	C₂×C₄	—	4	1	no	—
260	C₂×C₄	—	4	1	no	—
261	C₂×C₄	—	4	1	no	—
262	C₂×C₄	—	4	1	no	—
263	C₂×C₄	—	4	1	no	—
264	C₂×C₄	—	4	4	no	—
265	C₂×C₄	—	8	2	no	—
266	C₂×C₄	—	8	2	no	—
267	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₄	#380	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₄	#381	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₄	#382	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₄	#383	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₄	#387	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₄	#387	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₄	#387	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₄	#388	1	1	yes	characteristic
277	C₂×C₄	#388	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₄	#388	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₄	C₂×#97	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₄	#405	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₄	#405	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	#431	1	2	yes	—
284	C₂×C₄	#433	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	C₈×D₄	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	C₈×D₄	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	C₈×D₄	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	#435	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	#435	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	#436	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	C₈×Q₈	1	2	yes	—
292	C₂×C₄	#446	1	2	yes	—
293	C₈	—	2	4	no	—
294	C₈	—	2	4	no	—
295	C₈	—	2	4	no	—
296	C₈	—	4	2	no	—
297	C₈	—	4	4	no	—
298	C₈	—	4	4	no	—
299	C₈	—	8	2	no	—
300	C₈	—	8	2	no	—
301	C₂²	—	2	1	no	—
302	C₂²	—	2	1	no	—
303	C₂²	—	2	1	no	—
304	C₂²	—	2	1	no	—
305	C₂²	—	2	1	no	—
306	C₂²	—	2	1	no	—
307	C₂²	—	4	2	no	—
308	C₂²	—	4	2	no	—
309	C₂²	#1434	1	1	yes	characteristic
310	C₂²	#1744	1	1	yes	characteristic
311	C₂²	#1746	1	1	yes	characteristic
312	C₂²	#1916	1	2	yes	—
313	C₂²	#1923	1	2	yes	—
314	C₄	—	2	1	no	—
315	C₄	—	2	1	no	—
316	C₄	—	2	1	no	—
317	C₄	—	2	1	no	—
318	C₄	—	2	1	no	—
319	C₄	—	2	1	no	—
320	C₄	—	8	4	no	—
321	C₄	C₈×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
322	C₄	#1752	1	1	yes	characteristic
323	C₄	C₈×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
324	C₄	#1770	1	1	yes	characteristic
325	C₄	#1814	1	2	yes	—
326	C₄	#1916	1	2	yes	—
327	C₄	#1923	1	2	yes	—
328	C₄	#1932	1	2	yes	—
329	C₂	—	2	2	no	—
330	C₂	—	2	2	no	—
331	C₂	—	2	1	no	—
332	C₂	—	2	1	no	—
333	C₂	#10797	1	1	yes	characteristic
334	C₂	#10826	1	1	yes	characteristic
335	C₂	#10828	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₄²	#121
commutator	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈
Frattini, cosocle	C₂²×C₄²	C₂³
socle	C₂²	#1434
prime radical	C₂⁴	#117
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄² ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
18. C₈×M₁₆	C₄	semidirect
21. #1283	C₄	semidirect
80. #344	C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₈×M₁₆	2
C₄×#344	2
#7932	2
#7890	2
#7882	2
C₂×#1278	2
#7866	2