Subgroups — #108552

Order 512.

600 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 378 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₈×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₄×#343	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1283	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#7892	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1279	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂×#1278	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#7873	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#343	C₄	1	2	yes	—
16	C₂×#343	C₄	1	2	yes	—
17	C₈×M₁₆	—	2	2	no	—
18	C₈×M₁₆	C₄	1	4	yes	complemented
19	C₂×#322	—	2	1	no	—
20	C₂×C₈²	—	2	1	no	—
21	#1283	C₄	1	4	yes	complemented
22	#1279	—	2	1	no	—
23	#1279	—	2	1	no	—
24	#1279	—	2	1	no	—
25	#1279	—	2	1	no	—
26	#1278	—	2	2	no	—
27	#1277	—	2	1	no	—
28	#1277	—	2	1	no	—
29	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
30	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
33	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
34	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
35	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
36	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	#431	—	2	1	no	—
38	#431	—	2	1	no	—
39	#431	—	2	1	no	—
40	#431	—	2	1	no	—
41	#431	—	2	1	no	—
42	#431	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	#431	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	#431	Q₈	1	2	yes	—
45	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
46	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
47	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
48	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
49	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
50	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
51	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
55	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
56	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
57	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
58	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
59	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
60	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
61	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
62	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂×#97	—	2	1	no	—
65	C₂×#97	—	2	1	no	—
66	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
67	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
68	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
69	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
70	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
71	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
72	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
73	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
77	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
78	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
79	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
80	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
81	C₂×#95	—	2	1	no	—
82	#343	—	2	4	no	—
83	#343	C₈	1	8	yes	complemented
84	#322	—	2	4	no	—
85	C₈²	—	2	4	no	—
86	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
87	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
89	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
90	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
91	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
92	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
93	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
94	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
95	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
96	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
97	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
98	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
99	C₂×M₁₆	C₄²	1	2	yes	—
100	C₂×M₁₆	C₄²	1	2	yes	—
101	C₂×M₁₆	C₂×C₈	1	4	yes	—
102	C₂×M₁₆	C₂×C₈	1	4	yes	—
103	C₂×M₁₆	M₁₆	1	4	yes	—
104	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
114	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
115	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
116	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
117	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
118	C₂²×C₈	—	8	1	no	—
119	C₂²×C₈	—	8	1	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
126	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
127	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
128	C₂×C₄²	—	8	1	no	—
129	C₂×C₄²	—	8	1	no	—
130	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
142	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
143	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
144	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
145	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
146	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
147	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
148	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
149	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
150	C₄⋊C₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
151	C₄⋊C₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
152	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
153	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
154	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
155	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
156	#97	—	2	2	no	—
157	#97	—	2	2	no	—
158	#97	—	4	1	no	—
159	#97	—	4	1	no	—
160	C₄×C₈	—	2	2	no	—
161	C₄×C₈	—	2	2	no	—
162	C₄×C₈	—	2	2	no	—
163	C₄×C₈	—	2	2	no	—
164	C₄×C₈	—	2	2	no	—
165	C₄×C₈	—	2	2	no	—
166	C₄×C₈	—	2	2	no	—
167	C₄×C₈	—	2	1	no	—
168	C₄×C₈	—	2	1	no	—
169	C₄×C₈	—	4	1	no	—
170	C₄×C₈	—	4	1	no	—
171	C₄×C₈	—	4	1	no	—
172	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
173	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
174	#95	—	4	1	no	—
175	#95	—	4	1	no	—
176	C₂⁴	#117	1	1	yes	characteristic
177	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
187	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
191	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	#124	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×C₄	#125	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	#126	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	#126	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	#131	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	#131	1	2	yes	—
209	M₁₆	—	2	2	no	—
210	M₁₆	—	2	2	no	—
211	M₁₆	—	2	4	no	—
212	M₁₆	—	2	4	no	—
213	M₁₆	—	2	4	no	—
214	M₁₆	—	2	4	no	—
215	M₁₆	—	4	2	no	—
216	M₁₆	—	4	2	no	—
217	M₁₆	C₄×C₈	1	4	yes	—
218	M₁₆	#97	1	4	yes	—
219	C₂×C₈	—	2	4	no	—
220	C₂×C₈	—	2	2	no	—
221	C₂×C₈	—	2	2	no	—
222	C₂×C₈	—	2	2	no	—
223	C₂×C₈	—	2	4	no	—
224	C₂×C₈	—	2	4	no	—
225	C₂×C₈	—	2	2	no	—
226	C₂×C₈	—	2	2	no	—
227	C₂×C₈	—	2	2	no	—
228	C₂×C₈	—	2	4	no	—
229	C₂×C₈	—	4	4	no	—
230	C₂×C₈	—	4	4	no	—
231	C₂×C₈	—	4	2	no	—
232	C₂×C₈	—	4	2	no	—
233	C₂×C₈	—	4	2	no	—
234	C₂×C₈	—	4	1	no	—
235	C₂×C₈	—	4	1	no	—
236	C₂×C₈	—	4	1	no	—
237	C₂×C₈	—	4	1	no	—
238	C₂×C₈	—	4	2	no	—
239	C₂×C₈	—	4	2	no	—
240	C₂×C₈	—	8	2	no	—
241	C₂×C₈	—	8	2	no	—
242	C₂×C₈	—	8	1	no	—
243	C₂×C₈	—	8	1	no	—
244	C₂×C₈	—	8	2	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
249	C₄²	—	8	2	no	—
250	C₄²	—	8	1	no	—
251	C₄²	—	8	1	no	—
252	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
253	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
254	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
255	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
256	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₄²	C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
260	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
261	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
262	C₄²	#123	1	1	yes	characteristic
263	C₄²	#123	1	1	yes	characteristic
264	C₄²	#124	1	1	yes	characteristic
265	C₄²	#125	1	1	yes	characteristic
266	C₄²	#126	1	1	yes	characteristic
267	C₄²	#126	1	1	yes	characteristic
268	C₂³	—	2	1	no	—
269	C₂³	—	2	1	no	—
270	C₂³	—	2	2	no	—
271	C₂³	#376	1	1	yes	characteristic
272	C₂³	#387	1	1	yes	characteristic
273	C₂³	#388	1	1	yes	characteristic
274	C₂³	#431	1	2	yes	—
275	C₂³	#433	1	2	yes	—
276	C₂×C₄	—	2	1	no	—
277	C₂×C₄	—	2	1	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	1	no	—
281	C₂×C₄	—	2	1	no	—
282	C₂×C₄	—	2	1	no	—
283	C₂×C₄	—	2	1	no	—
284	C₂×C₄	—	2	1	no	—
285	C₂×C₄	—	2	1	no	—
286	C₂×C₄	—	2	1	no	—
287	C₂×C₄	—	2	1	no	—
288	C₂×C₄	—	4	1	no	—
289	C₂×C₄	—	4	1	no	—
290	C₂×C₄	—	4	1	no	—
291	C₂×C₄	—	4	1	no	—
292	C₂×C₄	—	4	4	no	—
293	C₂×C₄	—	8	4	no	—
294	C₂×C₄	—	8	2	no	—
295	C₂×C₄	—	8	2	no	—
296	C₂×C₄	—	8	4	no	—
297	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	#380	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	#381	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	#382	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	#383	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	#387	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	#387	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	#387	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	#388	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	#388	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	#388	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂×#97	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	#405	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	#405	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	#431	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	#433	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	C₈×D₄	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	C₈×D₄	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	C₈×D₄	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	#435	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	#435	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	#436	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₈×Q₈	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	#446	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	#471	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	#471	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	#472	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	#473	1	1	yes	characteristic
327	C₈	—	2	4	no	—
328	C₈	—	2	4	no	—
329	C₈	—	2	4	no	—
330	C₈	—	4	2	no	—
331	C₈	—	4	2	no	—
332	C₈	—	4	2	no	—
333	C₈	—	4	4	no	—
334	C₈	—	8	2	no	—
335	C₈	—	8	2	no	—
336	C₂²	—	2	1	no	—
337	C₂²	—	2	1	no	—
338	C₂²	—	2	1	no	—
339	C₂²	—	2	1	no	—
340	C₂²	—	2	2	no	—
341	C₂²	—	2	2	no	—
342	C₂²	—	2	2	no	—
343	C₂²	—	2	2	no	—
344	C₂²	#1434	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	#1744	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	#1746	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	#1916	1	2	yes	—
348	C₂²	#1923	1	2	yes	—
349	C₂²	#1930	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	#1931	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	#1932	1	2	yes	—
352	C₄	—	2	1	no	—
353	C₄	—	2	1	no	—
354	C₄	—	2	1	no	—
355	C₄	—	2	1	no	—
356	C₄	—	2	1	no	—
357	C₄	—	2	1	no	—
358	C₄	—	8	4	no	—
359	C₄	C₈×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
360	C₄	#1752	1	1	yes	characteristic
361	C₄	C₈×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
362	C₄	#1770	1	1	yes	characteristic
363	C₄	#1815	1	1	yes	characteristic
364	C₄	#1816	1	1	yes	characteristic
365	C₄	#1916	1	2	yes	—
366	C₄	#1923	1	2	yes	—
367	C₄	#1930	1	1	yes	characteristic
368	C₄	#1931	1	1	yes	characteristic
369	C₂	—	2	2	no	—
370	C₂	—	2	1	no	—
371	C₂	—	2	1	no	—
372	C₂	#9549	1	2	yes	—
373	C₂	#9550	1	2	yes	—
374	C₂	#10797	1	1	yes	characteristic
375	C₂	#10826	1	1	yes	characteristic
376	C₂	#10827	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	#121
commutator	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈
Frattini, cosocle	C₂²×C₄²	C₂³
socle	C₂³	#388
prime radical	C₂⁴	#117
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
18. C₈×M₁₆	C₄	semidirect
21. #1283	C₄	semidirect
83. #343	C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₈×M₁₆	2
C₄×#343	2
C₂×#1283	2
#7892	2
C₂×#1279	2
C₂×#1278	2
#7873	2