Subgroups — #108697

Order 512.

744 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 370 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₈×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#10849	C₂	1	2	yes	maximal
3	#10841	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1296	C₂	1	2	yes	maximal
5	C₂×#1277	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
7	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×C₄×C₈	—	2	1	no	—
9	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
13	C₈×C₄⋊C₄	C₄	1	4	yes	complemented
14	C₂×#340	—	2	1	no	—
15	C₂×#340	—	2	1	no	—
16	C₂×#340	—	2	2	no	—
17	C₂×#340	—	2	2	no	—
18	C₂×#336	—	2	1	no	—
19	#1296	C₄	1	8	yes	complemented
20	#1277	—	2	2	no	—
21	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
22	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
23	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
24	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
26	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
27	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
28	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
31	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
32	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
33	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
34	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
35	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
36	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
37	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
38	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
39	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
45	C₂×C₄×C₈	—	4	4	no	—
46	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
48	#384	—	2	2	no	—
49	#384	—	2	2	no	—
50	#384	—	2	2	no	—
51	#384	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
53	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
54	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₄×C₄⋊C₄	Q₈	1	2	yes	—
56	C₂×#95	—	2	1	no	—
57	#340	—	4	2	no	—
58	#340	—	4	2	no	—
59	#340	—	4	4	no	—
60	#340	—	4	4	no	—
61	#336	—	2	4	no	—
62	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
63	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
64	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
65	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
69	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
70	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
71	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
72	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
73	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
74	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
75	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
76	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
77	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
78	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
79	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
80	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
81	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
82	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
83	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
84	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
85	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
86	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
87	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
88	C₂²×C₈	SD₁₆	1	2	yes	—
89	C₂²×C₈	Q₁₆	1	2	yes	—
90	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
91	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
92	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
93	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
94	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
95	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
96	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
97	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
98	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
99	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
100	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
101	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
102	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
103	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
104	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
105	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
106	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
107	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
108	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
109	C₂×C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
110	C₂×C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
112	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	2	yes	—
114	C₂×C₄⋊C₄	SD₁₆	1	4	yes	—
115	C₂×C₄⋊C₄	Q₁₆	1	2	yes	—
116	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
119	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
120	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
122	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
125	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
127	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
128	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
129	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
130	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
131	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
132	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
133	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
134	C₄⋊C₈	C₄²	1	4	yes	—
135	C₄×C₈	—	2	2	no	—
136	C₄×C₈	—	2	2	no	—
137	C₄×C₈	—	2	4	no	—
138	C₄×C₈	—	4	8	no	—
139	#95	—	2	2	no	—
140	#95	—	2	2	no	—
141	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
151	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
152	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
153	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
154	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
155	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
156	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
157	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
158	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
159	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
160	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
161	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
162	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
166	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
167	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
168	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
172	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
173	C₂²×C₄	#126	1	2	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
176	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
178	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
180	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
181	C₂²×C₄	#135	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₄	#135	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
185	C₂²×C₄	#137	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₈	—	2	2	no	—
187	C₂×C₈	—	2	2	no	—
188	C₂×C₈	—	2	4	no	—
189	C₂×C₈	—	2	4	no	—
190	C₂×C₈	—	2	4	no	—
191	C₂×C₈	—	2	2	no	—
192	C₂×C₈	—	2	2	no	—
193	C₂×C₈	—	2	2	no	—
194	C₂×C₈	—	4	2	no	—
195	C₂×C₈	—	4	2	no	—
196	C₂×C₈	—	4	4	no	—
197	C₂×C₈	—	4	4	no	—
198	C₂×C₈	—	4	2	no	—
199	C₂×C₈	—	4	2	no	—
200	C₂×C₈	—	4	4	no	—
201	C₂×C₈	—	4	4	no	—
202	C₂×C₈	—	4	4	no	—
203	C₂×C₈	—	8	2	no	—
204	C₂×C₈	—	8	2	no	—
205	C₂×C₈	—	8	2	no	—
206	C₂×C₈	—	8	2	no	—
207	C₂×C₈	#103	1	4	yes	—
208	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
209	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
210	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
211	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
212	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
213	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
214	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
215	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
216	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
217	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
218	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
219	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
220	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
221	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
222	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
223	C₄⋊C₄	#106	1	4	yes	—
224	C₄⋊C₄	#107	1	4	yes	—
225	C₄²	—	4	2	no	—
226	C₄²	—	4	2	no	—
227	C₄²	—	4	4	no	—
228	C₄²	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
229	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
230	C₄²	#117	1	2	yes	—
231	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
232	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
233	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
234	C₄²	C₄×Q₈	1	2	yes	—
235	C₄²	#123	1	2	yes	—
236	C₄²	#125	1	2	yes	—
237	C₄²	#126	1	2	yes	—
238	C₂³	#380	1	1	yes	characteristic
239	C₂³	#388	1	2	yes	—
240	C₂³	#460	1	1	yes	characteristic
241	C₂³	#462	1	1	yes	characteristic
242	C₂³	#463	1	2	yes	—
243	C₂³	#465	1	2	yes	—
244	C₂³	#466	1	1	yes	characteristic
245	C₂³	#467	1	1	yes	characteristic
246	C₂³	#471	1	2	yes	—
247	C₂³	#472	1	1	yes	characteristic
248	C₂³	#473	1	1	yes	characteristic
249	C₂×C₄	—	2	1	no	—
250	C₂×C₄	—	2	1	no	—
251	C₂×C₄	—	2	1	no	—
252	C₂×C₄	—	2	1	no	—
253	C₂×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂×C₄	—	4	2	no	—
262	C₂×C₄	—	4	2	no	—
263	C₂×C₄	—	4	4	no	—
264	C₂×C₄	—	4	4	no	—
265	C₂×C₄	—	4	4	no	—
266	C₂×C₄	—	4	4	no	—
267	C₂×C₄	—	8	4	no	—
268	C₂×C₄	—	8	4	no	—
269	C₂×C₄	—	8	4	no	—
270	C₂×C₄	—	16	2	no	—
271	C₂×C₄	—	16	2	no	—
272	C₂×C₄	—	16	2	no	—
273	C₂×C₄	—	16	2	no	—
274	C₂×C₄	#376	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
277	C₂×C₄	#381	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₄	#382	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₄	#383	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₄	#387	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	#387	1	2	yes	—
282	C₂×C₄	#388	1	2	yes	—
283	C₂×C₄	C₂×#103	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₄	#416	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₄	#417	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₄	#418	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₄	C₂×#106	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₄	C₂×#107	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₄	#427	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₄	#427	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₄	C₄×D₈	1	2	yes	—
292	C₂×C₄	C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	C₄×Q₁₆	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	C₄×Q₁₆	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	#440	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	#442	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	#465	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	#466	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	#467	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	#475	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	#477	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	#478	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	#481	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	#482	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	#484	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	#485	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	#486	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	#487	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	#488	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	#488	1	2	yes	—
313	C₈	—	2	4	no	—
314	C₈	—	4	2	no	—
315	C₈	—	4	4	no	—
316	C₈	—	8	4	no	—
317	C₂²	#1434	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	#1666	1	2	yes	—
319	C₂²	#1668	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	#1670	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	#1672	1	2	yes	—
322	C₂²	#1674	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	#1676	1	1	yes	characteristic
324	C₂²	#1677	1	2	yes	—
325	C₂²	#1679	1	2	yes	—
326	C₂²	#1681	1	2	yes	—
327	C₂²	#1683	1	2	yes	—
328	C₂²	#1803	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	#1804	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	#1807	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	#1808	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	#1815	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	#1816	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	#1926	1	2	yes	—
335	C₂²	#1928	1	2	yes	—
336	C₂²	#1930	1	2	yes	—
337	C₂²	#1931	1	2	yes	—
338	C₂²	#1933	1	2	yes	—
339	C₂²	#1934	1	2	yes	—
340	C₄	—	2	1	no	—
341	C₄	—	2	1	no	—
342	C₄	—	2	2	no	—
343	C₄	—	4	4	no	—
344	C₄	—	4	4	no	—
345	C₄	—	16	4	no	—
346	C₄	C₄×#103	1	1	yes	characteristic
347	C₄	#1762	1	1	yes	characteristic
348	C₄	C₄×#106	1	1	yes	characteristic
349	C₄	C₄×#107	1	1	yes	characteristic
350	C₄	#1824	1	1	yes	characteristic
351	C₄	#1825	1	1	yes	characteristic
352	C₄	#1834	1	1	yes	characteristic
353	C₄	#1835	1	1	yes	characteristic
354	C₄	#1919	1	2	yes	—
355	C₄	#1921	1	2	yes	—
356	C₄	#1933	1	2	yes	—
357	C₄	#1934	1	2	yes	—
358	C₂	#8643	1	1	yes	characteristic
359	C₂	#8645	1	1	yes	characteristic
360	C₂	#8646	1	1	yes	characteristic
361	C₂	#8648	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#9562	1	2	yes	—
363	C₂	#9564	1	2	yes	—
364	C₂	#9566	1	2	yes	—
365	C₂	#9568	1	2	yes	—
366	C₂	#10807	1	1	yes	characteristic
367	C₂	#10820	1	1	yes	characteristic
368	C₂	#10827	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂⁴	#121
commutator	C₄²	C₂×C₄²
Frattini, cosocle	C₂²×C₄²	C₂³
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
13. C₈×C₄⋊C₄	C₄	semidirect
19. #1296	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₈×C₄⋊C₄	2
#10849	2
#10841	2
C₂×#1296	2
C₂×#1277	2