Subgroups — #108704

Order 512.

603 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 331 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#431	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₄×#339	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#8092	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#8060	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#7883	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#7869	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#7867	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#2920	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	#2920	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₄×C₄⋊C₈	C₄	1	2	yes	complemented
16	C₄×C₄⋊C₈	C₄	1	2	yes	complemented
17	C₄×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
18	#1744	—	2	1	no	—
19	C₂×#339	—	2	2	no	—
20	C₄²×C₈	—	2	1	no	—
21	#1303	C₄	1	4	yes	complemented
22	#1299	C₄	1	4	yes	complemented
23	#1278	—	2	2	no	—
24	#1276	—	2	2	no	—
25	#1276	—	2	1	no	—
26	#1276	—	2	1	no	—
27	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
28	C₂×#117	—	2	1	no	—
29	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
30	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
31	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
32	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	#432	—	2	1	no	—
34	#432	—	2	1	no	—
35	#432	—	2	1	no	—
36	#432	—	2	1	no	—
37	#431	—	2	1	no	—
38	#431	—	2	1	no	—
39	#431	—	2	1	no	—
40	#431	—	2	1	no	—
41	#431	—	2	1	no	—
42	#431	—	2	1	no	—
43	#431	—	2	1	no	—
44	#431	—	2	1	no	—
45	#431	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	#431	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	#431	D₄	1	2	yes	—
48	#431	Q₈	1	2	yes	—
49	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	#407	—	2	1	no	—
55	#407	—	2	1	no	—
56	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
57	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
58	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
59	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
60	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
61	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
62	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
63	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂×#97	—	2	1	no	—
65	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
66	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
67	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
68	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
70	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
71	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
73	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
74	#376	—	2	1	no	—
75	C₄³	—	2	1	no	—
76	C₄³	—	2	1	no	—
77	C₄³	—	2	1	no	—
78	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
81	#339	—	2	8	no	—
82	#336	—	2	2	no	—
83	#336	—	2	2	no	—
84	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
85	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
87	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
88	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
89	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
90	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
91	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
92	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
93	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
94	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
95	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
96	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
97	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
98	#117	—	2	4	no	—
99	#117	—	4	2	no	—
100	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
101	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
102	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
103	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
104	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
105	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
106	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
107	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
108	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
109	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
110	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
111	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
112	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
113	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
114	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
115	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
116	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
117	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
118	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
130	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
131	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
132	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
133	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
134	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
135	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
136	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
137	C₄⋊C₈	C₄²	1	2	yes	—
138	C₄⋊C₈	C₄²	1	2	yes	—
139	C₄⋊C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
140	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
143	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
144	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
145	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
146	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
147	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
148	#97	—	2	2	no	—
149	#97	—	4	1	no	—
150	#97	—	4	1	no	—
151	#97	—	4	1	no	—
152	C₄×C₈	—	2	2	no	—
153	C₄×C₈	—	2	2	no	—
154	C₄×C₈	—	2	2	no	—
155	C₄×C₈	—	2	2	no	—
156	C₄×C₈	—	2	2	no	—
157	C₄×C₈	—	4	4	no	—
158	C₄×C₈	—	4	4	no	—
159	C₄×C₈	—	4	1	no	—
160	C₄×C₈	—	4	1	no	—
161	C₄×C₈	—	4	1	no	—
162	#95	—	2	2	no	—
163	#95	—	4	1	no	—
164	C₂⁴	#123	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
171	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
172	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
173	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
175	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
177	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
178	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
185	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄	#124	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₄	#125	1	1	yes	characteristic
191	C₂²×C₄	#126	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×C₄	#126	1	1	yes	characteristic
193	M₁₆	—	2	4	no	—
194	M₁₆	—	4	4	no	—
195	M₁₆	—	4	2	no	—
196	M₁₆	—	4	4	no	—
197	M₁₆	—	8	2	no	—
198	C₂×C₈	—	2	2	no	—
199	C₂×C₈	—	2	2	no	—
200	C₂×C₈	—	2	4	no	—
201	C₂×C₈	—	4	4	no	—
202	C₂×C₈	—	4	2	no	—
203	C₂×C₈	—	4	2	no	—
204	C₂×C₈	—	4	2	no	—
205	C₂×C₈	—	4	2	no	—
206	C₂×C₈	—	4	2	no	—
207	C₂×C₈	—	4	2	no	—
208	C₂×C₈	—	4	2	no	—
209	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
210	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
211	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
212	C₄²	—	2	4	no	—
213	C₄²	—	2	8	no	—
214	C₄²	—	2	4	no	—
215	C₄²	—	2	4	no	—
216	C₄²	—	2	2	no	—
217	C₄²	—	2	2	no	—
218	C₄²	—	2	2	no	—
219	C₄²	—	4	4	no	—
220	C₄²	—	4	4	no	—
221	C₄²	—	4	2	no	—
222	C₄²	—	4	4	no	—
223	C₄²	—	4	4	no	—
224	C₄²	—	8	2	no	—
225	C₄²	#104	1	4	yes	—
226	C₄²	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
227	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
228	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
229	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
230	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
231	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
232	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
233	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
234	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₄²	C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
236	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
237	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
238	C₄²	#124	1	1	yes	characteristic
239	C₄²	#125	1	1	yes	characteristic
240	C₄²	#126	1	1	yes	characteristic
241	C₄²	#126	1	1	yes	characteristic
242	C₂³	—	2	2	no	—
243	C₂³	—	2	2	no	—
244	C₂³	—	4	1	no	—
245	C₂³	#381	1	1	yes	characteristic
246	C₂³	#387	1	1	yes	characteristic
247	C₂³	#388	1	1	yes	characteristic
248	C₂×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂×C₄	—	2	1	no	—
261	C₂×C₄	—	2	1	no	—
262	C₂×C₄	—	2	1	no	—
263	C₂×C₄	—	2	1	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂×C₄	—	4	1	no	—
268	C₂×C₄	—	4	1	no	—
269	C₂×C₄	—	4	1	no	—
270	C₂×C₄	—	4	16	no	—
271	C₂×C₄	—	4	2	no	—
272	C₂×C₄	—	4	2	no	—
273	C₂×C₄	—	4	4	no	—
274	C₂×C₄	—	8	2	no	—
275	C₂×C₄	—	8	2	no	—
276	C₂×C₄	#376	1	1	yes	characteristic
277	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₄	#380	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₄	#382	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₄	#383	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₄	#387	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	#387	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₄	#387	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₄	#388	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₄	#388	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₄	#388	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₄	C₂×#104	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	#421	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	#443	1	4	yes	—
291	C₈	—	4	4	no	—
292	C₈	—	4	4	no	—
293	C₈	—	4	2	no	—
294	C₈	—	4	2	no	—
295	C₈	—	8	2	no	—
296	C₈	—	8	2	no	—
297	C₂²	—	2	1	no	—
298	C₂²	—	2	1	no	—
299	C₂²	—	2	1	no	—
300	C₂²	—	2	1	no	—
301	C₂²	—	2	1	no	—
302	C₂²	—	2	1	no	—
303	C₂²	—	2	1	no	—
304	C₂²	—	4	4	no	—
305	C₂²	#1434	1	1	yes	characteristic
306	C₂²	#1826	1	2	yes	—
307	C₂²	#1937	1	2	yes	—
308	C₄	—	2	8	no	—
309	C₄	—	2	1	no	—
310	C₄	—	2	1	no	—
311	C₄	—	2	1	no	—
312	C₄	—	2	1	no	—
313	C₄	—	2	1	no	—
314	C₄	—	2	1	no	—
315	C₄	—	2	1	no	—
316	C₄	—	4	4	no	—
317	C₄	—	8	4	no	—
318	C₄	C₄×#104	1	1	yes	characteristic
319	C₄	#1759	1	1	yes	characteristic
320	C₄	#1772	1	2	yes	—
321	C₄	#1806	1	2	yes	—
322	C₄	#1932	1	2	yes	—
323	C₄	#1937	1	2	yes	—
324	C₂	—	2	2	no	—
325	C₂	—	2	2	no	—
326	C₂	—	4	1	no	—
327	C₂	#10808	1	1	yes	characteristic
328	C₂	#10818	1	1	yes	characteristic
329	C₂	#10826	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₄²	#121
commutator	C₄²	C₂×C₄²
Frattini, cosocle	C₂²×C₄²	C₂³
socle	C₂²	#1434
prime radical	C₂⁴	#123
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄² ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
15. C₄×C₄⋊C₈	C₄	semidirect
16. C₄×C₄⋊C₈	C₄	semidirect
21. #1303	C₄	semidirect
22. #1299	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#431	2
C₄×#339	2
#8092	2
#8060	2
#7883	2
#7869	2
#7867	2