Subgroups — #109082

Order 512.

1054 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 369 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₄×#384	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1279	C₂	1	4	yes	maximal
5	C₂²×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
6	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
7	C₂²×C₄×C₈	—	2	1	no	—
8	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#384	C₄	1	2	yes	—
10	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
11	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
12	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₄×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
15	C₄×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
16	C₄×C₄⋊C₈	C₄	1	4	yes	complemented
17	C₄×C₄⋊C₈	C₄	1	4	yes	complemented
18	C₂×#336	—	2	1	no	—
19	C₂×#336	—	2	1	no	—
20	C₄⋊#95	—	2	1	no	—
21	C₄⋊#95	—	2	1	no	—
22	C₄⋊#95	C₄	1	2	yes	—
23	#1279	—	2	8	no	—
24	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
25	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
26	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
27	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
28	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
29	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
30	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
38	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
39	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
40	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
41	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
44	C₂×C₄⋊C₈	Q₈	1	4	yes	—
45	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
46	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
47	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
48	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄×C₈	—	4	2	no	—
50	C₂×C₄×C₈	—	4	2	no	—
51	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	#384	—	2	4	no	—
53	#384	C₈	1	8	yes	complemented
54	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
55	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
56	C₄×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
57	C₄×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
58	C₄×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
59	C₂×#95	—	2	2	no	—
60	C₂×#95	—	2	2	no	—
61	C₂×#95	—	2	2	no	—
62	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₄³	D₄	1	2	yes	—
65	C₄³	Q₈	1	2	yes	—
66	#336	—	2	4	no	—
67	#336	—	2	4	no	—
68	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
69	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
77	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
78	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
79	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
80	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
81	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
82	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
83	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
84	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
85	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
86	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
87	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
88	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
89	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
90	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
91	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
92	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
93	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
94	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
95	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
96	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
97	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	8	yes	—
98	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
99	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
100	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
101	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
102	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
103	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
104	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
105	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
106	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
107	C₂×C₄²	C₄²	1	2	yes	—
108	C₂×C₄²	C₄²	1	2	yes	—
109	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
110	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
111	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
112	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
113	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
114	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
115	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
116	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
117	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
118	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
119	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	4	yes	—
120	C₂×C₄²	M₁₆	1	4	yes	—
121	C₂×C₄²	D₈	1	2	yes	—
122	C₂×C₄²	SD₁₆	1	2	yes	—
123	C₂×C₄²	SD₁₆	1	2	yes	—
124	C₂×C₄²	Q₁₆	1	2	yes	—
125	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
130	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
132	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
133	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
134	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
135	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
136	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
137	C₄⋊C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	complemented
138	C₄×C₈	—	2	8	no	—
139	C₄×C₈	—	4	8	no	—
140	C₄×C₈	—	4	4	no	—
141	#95	—	4	4	no	—
142	#95	—	4	4	no	—
143	#95	—	4	2	no	—
144	#95	—	4	2	no	—
145	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
158	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
159	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
160	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
161	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
162	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
163	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
164	C₂²×C₄	#95	1	2	yes	—
165	C₂²×C₄	#95	1	2	yes	—
166	C₂²×C₄	#95	1	2	yes	—
167	C₂²×C₄	#95	1	2	yes	—
168	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
169	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
170	C₂²×C₄	#102	1	2	yes	—
171	C₂²×C₄	#102	1	2	yes	—
172	C₂²×C₄	#103	1	2	yes	—
173	C₂²×C₄	#103	1	2	yes	—
174	C₂²×C₄	#104	1	4	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
176	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
182	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
183	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
185	C₂²×C₄	#124	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×C₄	#124	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
191	C₂²×C₄	#131	1	4	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	#137	1	2	yes	—
198	C₂×C₈	—	2	8	no	—
199	C₂×C₈	—	2	8	no	—
200	C₂×C₈	—	4	8	no	—
201	C₂×C₈	—	4	8	no	—
202	C₂×C₈	—	4	4	no	—
203	C₂×C₈	—	4	4	no	—
204	C₂×C₈	—	4	4	no	—
205	C₂×C₈	—	4	4	no	—
206	C₂×C₈	—	4	4	no	—
207	C₂×C₈	—	4	4	no	—
208	C₂×C₈	—	4	4	no	—
209	C₂×C₈	—	4	4	no	—
210	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
211	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
212	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
213	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
214	C₄²	—	2	4	no	—
215	C₄²	—	2	4	no	—
216	C₄²	—	2	4	no	—
217	C₄²	—	2	4	no	—
218	C₄²	—	2	4	no	—
219	C₄²	—	2	4	no	—
220	C₄²	—	4	2	no	—
221	C₄²	—	4	2	no	—
222	C₄²	—	8	4	no	—
223	C₄²	—	8	4	no	—
224	C₄²	C₄×C₈	1	4	yes	—
225	C₄²	#97	1	4	yes	—
226	C₄²	#102	1	4	yes	—
227	C₄²	#103	1	4	yes	—
228	C₄²	C₄⋊C₈	1	8	yes	—
229	C₄²	#106	1	4	yes	—
230	C₄²	#107	1	4	yes	—
231	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
232	C₄²	#117	1	2	yes	—
233	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
234	C₄²	C₄×Q₈	1	2	yes	—
235	C₄²	#121	1	2	yes	—
236	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
237	C₄²	#125	1	2	yes	—
238	C₄²	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
239	C₂³	C₂×#95	1	1	yes	characteristic
240	C₂³	#390	1	1	yes	characteristic
241	C₂³	#391	1	1	yes	characteristic
242	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
243	C₂³	#408	1	2	yes	—
244	C₂³	C₂×#102	1	1	yes	characteristic
245	C₂³	C₂×#103	1	1	yes	characteristic
246	C₂³	#418	1	1	yes	characteristic
247	C₂³	#419	1	1	yes	characteristic
248	C₂³	C₂×#104	1	2	yes	—
249	C₂³	#421	1	2	yes	—
250	C₂×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂×C₄	—	2	1	no	—
256	C₂×C₄	—	2	1	no	—
257	C₂×C₄	—	2	1	no	—
258	C₂×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂×C₄	—	2	1	no	—
261	C₂×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂×C₄	—	4	2	no	—
270	C₂×C₄	—	4	2	no	—
271	C₂×C₄	—	4	8	no	—
272	C₂×C₄	—	4	8	no	—
273	C₂×C₄	—	4	8	no	—
274	C₂×C₄	—	8	4	no	—
275	C₂×C₄	—	8	4	no	—
276	C₂×C₄	—	8	4	no	—
277	C₂×C₄	—	8	4	no	—
278	C₂×C₄	D₄⋊C₈	1	8	yes	—
279	C₂×C₄	Q₈⋊C₈	1	8	yes	—
280	C₂×C₄	#336	1	4	yes	—
281	C₂×C₄	#336	1	4	yes	—
282	C₂×C₄	#339	1	4	yes	—
283	C₂×C₄	#340	1	4	yes	—
284	C₂×C₄	#340	1	4	yes	—
285	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	#382	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₄	#384	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₄	#389	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	#389	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	#390	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	#391	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₄	C₂×#97	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	#405	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	C₂×#102	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	C₂×#103	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	#417	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	#424	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	C₂×#106	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	C₂×#107	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	#428	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	C₈×D₄	1	4	yes	—
305	C₂×C₄	#436	1	4	yes	—
306	C₂×C₄	C₈×Q₈	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	#446	1	4	yes	—
308	C₂×C₄	#459	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	#460	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	#461	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	#462	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	#474	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	#475	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	#476	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	#477	1	2	yes	—
316	C₈	—	4	8	no	—
317	C₈	—	4	8	no	—
318	C₂²	C₄⋊#95	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	C₂×D₄⋊C₈	1	2	yes	—
320	C₂²	C₂×Q₈⋊C₈	1	2	yes	—
321	C₂²	#1478	1	2	yes	—
322	C₂²	#1479	1	2	yes	—
323	C₂²	#1480	1	2	yes	—
324	C₂²	#1481	1	2	yes	—
325	C₂²	#1484	1	2	yes	—
326	C₂²	#1485	1	2	yes	—
327	C₂²	C₂×#336	1	1	yes	characteristic
328	C₂²	#1729	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	C₂×#339	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	#1733	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	C₂×#340	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	#1736	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	#1954	1	2	yes	—
334	C₂²	#1980	1	2	yes	—
335	C₂²	#1981	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	#1982	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	#1984	1	2	yes	—
338	C₂²	#1986	1	2	yes	—
339	C₂²	#1987	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	#1988	1	1	yes	characteristic
341	C₄	—	2	1	no	—
342	C₄	—	2	1	no	—
343	C₄	—	2	1	no	—
344	C₄	—	2	1	no	—
345	C₄	—	2	4	no	—
346	C₄	—	2	4	no	—
347	C₄	—	4	2	no	—
348	C₄	—	8	8	no	—
349	C₄	#1279	1	8	yes	complemented
350	C₄	C₈×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
351	C₄	#1770	1	2	yes	—
352	C₄	#1802	1	2	yes	—
353	C₄	#1803	1	2	yes	—
354	C₄	#1939	1	4	yes	—
355	C₄	#1947	1	2	yes	—
356	C₄	#1948	1	2	yes	—
357	C₂	C₂×#1279	1	1	yes	characteristic
358	C₂	#7892	1	1	yes	characteristic
359	C₂	#7893	1	1	yes	characteristic
360	C₂	#7896	1	1	yes	characteristic
361	C₂	#9673	1	2	yes	—
362	C₂	#9674	1	2	yes	—
363	C₂	#9864	1	2	yes	—
364	C₂	#9865	1	2	yes	—
365	C₂	#10834	1	1	yes	characteristic
366	C₂	#10849	1	1	yes	characteristic
367	C₂	#10851	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³×C₄	C₂×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈
Frattini, cosocle	C₂²×C₄²	C₂³
socle, prime radical	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
16. C₄×C₄⋊C₈	C₄	semidirect
17. C₄×C₄⋊C₈	C₄	semidirect
53. #384	C₈	semidirect
137. C₄⋊C₈	C₄⋊C₄	semidirect
349. C₄	#1279	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×C₄⋊C₈	2
C₄×#384	2
C₂×#1279	2