Subgroups — #109188

Order 512.

1062 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 341 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#1842	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#14692	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1296	C₂	1	4	yes	maximal
5	C₂²×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
6	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
7	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂²×C₄×C₈	—	2	1	no	—
9	C₂×#384	—	2	1	no	—
10	C₂×#384	—	2	1	no	—
11	C₂×#384	—	2	2	no	—
12	C₂×#384	C₄	1	4	yes	—
13	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#1842	—	2	2	no	—
16	#1842	C₄	1	4	yes	complemented
17	C₄×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
18	C₄×C₄⋊C₈	C₄	1	4	yes	complemented
19	C₂×#336	—	2	1	no	—
20	#1296	—	2	8	no	—
21	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
22	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
23	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
24	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
25	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
26	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
27	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
28	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
29	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
32	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
34	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
35	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
36	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
37	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
38	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
39	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
40	C₂×C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
41	C₂×C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
42	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
45	C₂×C₄⋊C₈	Q₈	1	4	yes	—
46	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
47	C₂×C₄×C₈	—	4	2	no	—
48	C₂×C₄×C₈	—	4	2	no	—
49	#384	—	2	4	no	—
50	#384	—	2	4	no	—
51	#384	—	4	8	no	—
52	#384	—	4	4	no	—
53	#384	—	4	2	no	—
54	#384	—	4	4	no	—
55	#384	—	4	4	no	—
56	#384	—	4	2	no	—
57	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₄³	D₄	1	2	yes	—
60	C₄³	Q₈	1	2	yes	—
61	#336	—	2	4	no	—
62	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
63	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
64	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
65	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
69	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
70	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
71	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
72	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
73	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
74	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
75	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
76	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
77	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
78	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
79	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
80	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
81	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
82	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
83	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
84	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
85	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
86	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
87	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
88	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
89	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
90	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
91	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
92	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
93	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
94	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
95	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
96	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
97	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
98	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
99	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
100	C₂×C₄²	C₄²	1	4	yes	—
101	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
102	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
103	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
104	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
105	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
106	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
107	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
108	C₂×C₄²	D₈	1	2	yes	—
109	C₂×C₄²	D₈	1	4	yes	—
110	C₂×C₄²	SD₁₆	1	2	yes	—
111	C₂×C₄²	SD₁₆	1	4	yes	—
112	C₂×C₄²	SD₁₆	1	4	yes	—
113	C₂×C₄²	SD₁₆	1	2	yes	—
114	C₂×C₄²	Q₁₆	1	4	yes	—
115	C₂×C₄²	Q₁₆	1	2	yes	—
116	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
121	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
123	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
124	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
125	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
126	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
127	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
128	C₄⋊C₈	—	4	16	no	—
129	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
130	C₄⋊C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	complemented
131	C₄×C₈	—	4	8	no	—
132	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
140	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
141	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
142	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
143	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
144	C₂²×C₄	#95	1	4	yes	—
145	C₂²×C₄	#95	1	4	yes	—
146	C₂²×C₄	#100	1	4	yes	—
147	C₂²×C₄	#101	1	4	yes	—
148	C₂²×C₄	#102	1	4	yes	—
149	C₂²×C₄	#102	1	4	yes	—
150	C₂²×C₄	#102	1	4	yes	—
151	C₂²×C₄	#103	1	4	yes	—
152	C₂²×C₄	#103	1	4	yes	—
153	C₂²×C₄	#103	1	4	yes	—
154	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
161	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
162	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
163	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
164	C₂²×C₄	#124	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₄	#124	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
176	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
177	C₂²×C₄	#137	1	2	yes	—
178	C₂×C₈	—	2	8	no	—
179	C₂×C₈	—	4	4	no	—
180	C₂×C₈	—	4	4	no	—
181	C₂×C₈	—	4	4	no	—
182	C₂×C₈	—	4	4	no	—
183	C₂×C₈	—	4	4	no	—
184	C₂×C₈	—	4	4	no	—
185	C₂×C₈	—	4	4	no	—
186	C₂×C₈	—	4	8	no	—
187	C₂×C₈	—	8	4	no	—
188	C₂×C₈	—	8	2	no	—
189	C₂×C₈	—	8	2	no	—
190	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
191	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
192	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
193	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
194	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
195	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
196	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
197	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
198	C₄²	—	2	8	no	—
199	C₄²	—	2	8	no	—
200	C₄²	—	2	4	no	—
201	C₄²	—	2	4	no	—
202	C₄²	#102	1	4	yes	—
203	C₄²	#102	1	8	yes	—
204	C₄²	#103	1	8	yes	—
205	C₄²	#103	1	4	yes	—
206	C₄²	#106	1	8	yes	—
207	C₄²	#106	1	4	yes	—
208	C₄²	#107	1	8	yes	—
209	C₄²	#107	1	4	yes	—
210	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
211	C₄²	#117	1	2	yes	—
212	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
213	C₄²	C₄×Q₈	1	2	yes	—
214	C₄²	#121	1	2	yes	—
215	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
216	C₄²	#125	1	2	yes	—
217	C₄²	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
218	C₂³	C₂×#95	1	1	yes	characteristic
219	C₂³	#390	1	1	yes	characteristic
220	C₂³	#391	1	1	yes	characteristic
221	C₂³	C₂×#100	1	2	yes	—
222	C₂³	C₂×#101	1	2	yes	—
223	C₂³	C₂×#102	1	1	yes	characteristic
224	C₂³	C₂×#102	1	2	yes	—
225	C₂³	C₂×#103	1	1	yes	characteristic
226	C₂³	C₂×#103	1	2	yes	—
227	C₂³	#418	1	1	yes	characteristic
228	C₂³	#419	1	1	yes	characteristic
229	C₂×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂×C₄	—	8	8	no	—
241	C₂×C₄	—	8	8	no	—
242	C₂×C₄	—	8	4	no	—
243	C₂×C₄	—	8	4	no	—
244	C₂×C₄	—	8	4	no	—
245	C₂×C₄	#331	1	8	yes	—
246	C₂×C₄	#332	1	8	yes	—
247	C₂×C₄	#332	1	8	yes	—
248	C₂×C₄	#333	1	8	yes	—
249	C₂×C₄	#340	1	8	yes	—
250	C₂×C₄	#340	1	8	yes	—
251	C₂×C₄	#340	1	8	yes	—
252	C₂×C₄	#343	1	8	yes	—
253	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
254	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
255	C₂×C₄	#382	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₄	#384	1	1	yes	characteristic
257	C₂×C₄	#389	1	2	yes	—
258	C₂×C₄	#389	1	2	yes	—
259	C₂×C₄	#390	1	1	yes	characteristic
260	C₂×C₄	#391	1	1	yes	characteristic
261	C₂×C₄	C₂×#102	1	1	yes	characteristic
262	C₂×C₄	C₂×#102	1	2	yes	—
263	C₂×C₄	C₂×#103	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₄	C₂×#103	1	2	yes	—
265	C₂×C₄	#417	1	2	yes	—
266	C₂×C₄	C₂×#106	1	2	yes	—
267	C₂×C₄	C₂×#106	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₄	C₂×#107	1	2	yes	—
269	C₂×C₄	C₂×#107	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₄	#428	1	2	yes	—
271	C₂×C₄	#459	1	2	yes	—
272	C₂×C₄	#460	1	2	yes	—
273	C₂×C₄	#461	1	2	yes	—
274	C₂×C₄	#462	1	2	yes	—
275	C₂×C₄	#474	1	2	yes	—
276	C₂×C₄	#475	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	#476	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	#477	1	2	yes	—
279	C₂×C₄	#486	1	2	yes	—
280	C₂×C₄	#486	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	#487	1	2	yes	—
282	C₂×C₄	#487	1	2	yes	—
283	C₂×C₄	#492	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₄	#492	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₄	#493	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₄	#494	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₄	#498	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	#500	1	2	yes	—
289	C₈	—	4	8	no	—
290	C₈	—	8	4	no	—
291	C₂²	C₄⋊#95	1	1	yes	characteristic
292	C₂²	C₂×#331	1	2	yes	—
293	C₂²	C₂×#332	1	2	yes	—
294	C₂²	C₂×#332	1	2	yes	—
295	C₂²	C₂×#333	1	2	yes	—
296	C₂²	#1545	1	2	yes	—
297	C₂²	#1546	1	2	yes	—
298	C₂²	#1548	1	2	yes	—
299	C₂²	#1549	1	2	yes	—
300	C₂²	C₂×#340	1	2	yes	—
301	C₂²	C₂×#340	1	1	yes	characteristic
302	C₂²	#1736	1	1	yes	characteristic
303	C₂²	C₂×#343	1	2	yes	—
304	C₂²	#1956	1	1	yes	characteristic
305	C₂²	#1957	1	1	yes	characteristic
306	C₂²	#1965	1	1	yes	characteristic
307	C₂²	#1966	1	1	yes	characteristic
308	C₂²	#1981	1	1	yes	characteristic
309	C₂²	#1982	1	1	yes	characteristic
310	C₂²	#1987	1	1	yes	characteristic
311	C₂²	#1988	1	1	yes	characteristic
312	C₂²	#1990	1	2	yes	—
313	C₂²	#1997	1	2	yes	—
314	C₄	—	2	2	no	—
315	C₄	—	2	2	no	—
316	C₄	—	2	8	no	—
317	C₄	—	16	4	no	—
318	C₄	#1296	1	16	yes	complemented
319	C₄	#1802	1	2	yes	—
320	C₄	#1803	1	2	yes	—
321	C₄	#1834	1	2	yes	—
322	C₄	#1844	1	1	yes	characteristic
323	C₄	#1845	1	1	yes	characteristic
324	C₄	#1947	1	2	yes	—
325	C₄	#1948	1	2	yes	—
326	C₄	#1956	1	1	yes	characteristic
327	C₄	#1957	1	1	yes	characteristic
328	C₄	#1990	1	2	yes	—
329	C₂	C₂×#1296	1	2	yes	—
330	C₂	#8043	1	2	yes	—
331	C₂	#9691	1	1	yes	characteristic
332	C₂	#9692	1	1	yes	characteristic
333	C₂	#9694	1	1	yes	characteristic
334	C₂	#9695	1	1	yes	characteristic
335	C₂	#9896	1	2	yes	—
336	C₂	#9898	1	2	yes	—
337	C₂	#10841	1	1	yes	characteristic
338	C₂	#10849	1	1	yes	characteristic
339	C₂	#10857	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂×C₄²
Frattini, cosocle	C₂²×C₄²	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
16. #1842	C₄	semidirect
18. C₄×C₄⋊C₈	C₄	semidirect
130. C₄⋊C₈	C₄⋊C₄	semidirect
318. C₄	#1296	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#1842	2
C₂×C₄×C₄⋊C₈	2
#14692	2
C₂×#1296	2