Subgroups — #109359

Order 512.

786 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 344 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#1834	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₈×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂²×#335	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#10849	C₂	1	2	yes	maximal
5	C₂×#1296	C₂	1	2	yes	maximal
6	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
7	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×C₄×C₈	—	2	1	no	—
9	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#1834	—	2	2	no	—
13	#1834	C₄	1	4	yes	complemented
14	C₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
15	C₈×C₄⋊C₄	C₄	1	4	yes	complemented
16	C₂×#340	—	2	1	no	—
17	C₂×#340	—	2	1	no	—
18	C₂×#340	—	2	4	no	—
19	C₂×#336	—	2	1	no	—
20	C₂×#335	—	2	2	no	—
21	C₂×#335	—	2	2	no	—
22	C₂×#335	C₄	1	4	yes	complemented
23	#1296	—	2	4	no	—
24	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
25	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
26	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
27	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
29	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
30	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
31	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
32	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
33	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
34	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
35	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
36	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
37	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
38	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
39	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
40	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
41	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
45	C₂×C₄⋊C₈	Q₈	1	2	yes	—
46	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
47	C₂×C₄×C₈	—	4	4	no	—
48	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄×C₈	Q₈	1	2	yes	—
54	#384	—	2	2	no	—
55	#384	—	2	2	no	—
56	#384	—	2	2	no	—
57	#384	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
59	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
60	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₄×C₄⋊C₄	Q₈	1	2	yes	—
62	C₂×#95	—	2	1	no	—
63	#340	—	2	4	no	—
64	#340	—	2	4	no	—
65	#340	—	4	8	no	—
66	#336	—	2	4	no	—
67	#335	—	2	8	no	—
68	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
69	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
70	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
74	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
75	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
76	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
77	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
78	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
79	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
80	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
81	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
82	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
83	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
84	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
85	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
86	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
87	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
88	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
89	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
90	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
91	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
92	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
93	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
94	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
95	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
96	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
97	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
98	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
99	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
100	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
101	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
102	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
103	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
104	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
105	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
106	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
107	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
108	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
109	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
110	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	4	yes	—
111	C₂×C₄⋊C₄	Q₁₆	1	4	yes	—
112	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
113	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
115	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
116	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
128	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
129	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
130	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
131	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
132	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
133	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
134	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
135	C₄⋊C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
136	C₄×C₈	—	4	8	no	—
137	C₄×C₈	C₄²	1	4	yes	—
138	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
139	C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
140	C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
141	#95	—	2	2	no	—
142	#95	—	2	2	no	—
143	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
148	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
149	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
150	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
151	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
152	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
153	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
154	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
155	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₄	#124	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₄	#125	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
172	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
175	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
176	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
177	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
178	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
179	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
180	C₂²×C₄	#137	1	2	yes	—
181	C₂×C₈	—	2	2	no	—
182	C₂×C₈	—	2	2	no	—
183	C₂×C₈	—	2	4	no	—
184	C₂×C₈	—	2	4	no	—
185	C₂×C₈	—	2	2	no	—
186	C₂×C₈	—	2	2	no	—
187	C₂×C₈	—	2	4	no	—
188	C₂×C₈	—	2	4	no	—
189	C₂×C₈	—	2	4	no	—
190	C₂×C₈	—	4	2	no	—
191	C₂×C₈	—	4	2	no	—
192	C₂×C₈	—	4	4	no	—
193	C₂×C₈	—	4	4	no	—
194	C₂×C₈	—	4	4	no	—
195	C₂×C₈	—	4	8	no	—
196	C₂×C₈	—	8	4	no	—
197	C₂×C₈	—	8	2	no	—
198	C₂×C₈	—	8	2	no	—
199	C₂×C₈	#95	1	4	yes	—
200	C₂×C₈	#95	1	4	yes	—
201	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
202	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
203	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
204	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
205	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
206	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
207	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
208	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
209	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
210	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
211	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
212	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
213	C₄⋊C₄	#107	1	8	yes	—
214	C₄²	—	4	2	no	—
215	C₄²	—	4	2	no	—
216	C₄²	—	4	4	no	—
217	C₄²	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
218	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
219	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
220	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
221	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
222	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
223	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₄²	C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
225	C₄²	C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
226	C₄²	C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
227	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
228	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
229	C₄²	#124	1	1	yes	characteristic
230	C₄²	#125	1	1	yes	characteristic
231	C₄²	C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
232	C₄²	C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
233	C₂³	#380	1	1	yes	characteristic
234	C₂³	#389	1	1	yes	characteristic
235	C₂³	#390	1	1	yes	characteristic
236	C₂³	#463	1	2	yes	—
237	C₂³	#464	1	2	yes	—
238	C₂³	#466	1	2	yes	—
239	C₂³	#467	1	2	yes	—
240	C₂³	#471	1	4	yes	—
241	C₂×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂×C₄	—	2	8	no	—
248	C₂×C₄	—	4	4	no	—
249	C₂×C₄	—	4	4	no	—
250	C₂×C₄	—	4	8	no	—
251	C₂×C₄	—	4	8	no	—
252	C₂×C₄	—	8	4	no	—
253	C₂×C₄	—	8	4	no	—
254	C₂×C₄	—	8	4	no	—
255	C₂×C₄	—	16	4	no	—
256	C₂×C₄	—	16	4	no	—
257	C₂×C₄	C₂×#95	1	1	yes	characteristic
258	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂×C₄	#380	1	1	yes	characteristic
261	C₂×C₄	#382	1	1	yes	characteristic
262	C₂×C₄	#384	1	1	yes	characteristic
263	C₂×C₄	#389	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₄	#389	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₄	#389	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₄	#390	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₄	#391	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₄	#391	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₄	#416	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₄	#416	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₄	#416	1	2	yes	—
272	C₂×C₄	#417	1	2	yes	—
273	C₂×C₄	#418	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₄	#419	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₄	C₂×#107	1	2	yes	—
276	C₂×C₄	#427	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	#427	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	#428	1	2	yes	—
279	C₂×C₄	C₄×D₈	1	2	yes	—
280	C₂×C₄	C₄×D₈	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	C₄×Q₁₆	1	2	yes	—
282	C₂×C₄	C₄×Q₁₆	1	2	yes	—
283	C₂×C₄	#463	1	2	yes	—
284	C₂×C₄	#464	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	#466	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	#467	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	#478	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	#478	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	#479	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	#479	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	#493	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	#494	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₄	#495	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₄	#495	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	#499	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	#500	1	2	yes	—
297	C₈	—	2	4	no	—
298	C₈	—	2	4	no	—
299	C₈	—	4	4	no	—
300	C₈	—	8	4	no	—
301	C₂²	C₄⋊#95	1	1	yes	characteristic
302	C₂²	#1681	1	4	yes	—
303	C₂²	#1682	1	4	yes	—
304	C₂²	#1683	1	4	yes	—
305	C₂²	#1684	1	4	yes	—
306	C₂²	#1804	1	1	yes	characteristic
307	C₂²	#1805	1	1	yes	characteristic
308	C₂²	#1808	1	2	yes	—
309	C₂²	#1815	1	2	yes	—
310	C₂²	#1942	1	2	yes	—
311	C₂²	#1949	1	2	yes	—
312	C₂²	#1951	1	2	yes	—
313	C₂²	#1969	1	1	yes	characteristic
314	C₂²	#1970	1	1	yes	characteristic
315	C₂²	#1977	1	2	yes	—
316	C₂²	#1983	1	2	yes	—
317	C₄	—	2	1	no	—
318	C₄	—	2	1	no	—
319	C₄	—	2	1	no	—
320	C₄	—	2	1	no	—
321	C₄	—	4	8	no	—
322	C₄	—	16	4	no	—
323	C₄	#1735	1	1	yes	characteristic
324	C₄	#1736	1	1	yes	characteristic
325	C₄	C₄×#107	1	2	yes	—
326	C₄	#1804	1	1	yes	characteristic
327	C₄	#1805	1	1	yes	characteristic
328	C₄	#1845	1	1	yes	characteristic
329	C₄	#1846	1	1	yes	characteristic
330	C₄	#1942	1	2	yes	—
331	C₄	#1949	1	2	yes	—
332	C₄	#1969	1	1	yes	characteristic
333	C₄	#1970	1	1	yes	characteristic
334	C₄	#1989	1	2	yes	—
335	C₂	#8648	1	2	yes	—
336	C₂	#8649	1	2	yes	—
337	C₂	#9616	1	4	yes	—
338	C₂	#9737	1	2	yes	—
339	C₂	#9738	1	2	yes	—
340	C₂	#10850	1	1	yes	characteristic
341	C₂	#10862	1	1	yes	characteristic
342	C₂	#10869	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂⁴	#121
commutator	C₄²	C₂×C₄²
Frattini, cosocle	C₂²×C₄²	C₂³
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
13. #1834	C₄	semidirect
15. C₈×C₄⋊C₄	C₄	semidirect
22. C₂×#335	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#1834	2
C₂×C₈×C₄⋊C₄	2
C₂²×#335	2
#10849	2
C₂×#1296	2