Subgroups — #109488

Order 512.

748 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 418 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21349	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₈×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₄×#339	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₄×#336	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#7890	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂×#1278	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂×#1276	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#1939	C₄	1	2	yes	complemented
16	#1939	C₄	1	2	yes	complemented
17	#1850	—	2	2	no	—
18	C₄×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
19	C₄×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
20	C₂×#339	C₄	1	2	yes	—
21	C₂×#339	C₄	1	2	yes	—
22	C₂×#336	—	2	2	no	—
23	C₈×M₁₆	—	2	2	no	—
24	C₈×M₁₆	—	2	2	no	—
25	C₂×#322	—	2	1	no	—
26	C₂×C₈²	—	2	1	no	—
27	#1279	C₄	1	2	yes	complemented
28	#1279	C₄	1	2	yes	complemented
29	#1278	—	2	2	no	—
30	#1276	—	2	2	no	—
31	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
32	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
33	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
34	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
37	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
38	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	#431	—	2	1	no	—
41	#431	—	2	1	no	—
42	#431	—	2	1	no	—
43	#431	—	2	1	no	—
44	#431	—	2	1	no	—
45	#431	—	2	1	no	—
46	#431	D₄	1	2	yes	—
47	#431	Q₈	1	2	yes	—
48	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
53	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
54	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
55	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
56	C₄×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
57	C₄×M₁₆	Q₈	1	2	yes	—
58	C₂×#97	—	2	1	no	—
59	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
60	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
61	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
62	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
63	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
64	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
65	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
66	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
67	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
68	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
69	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
70	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
71	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
75	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
80	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
81	#376	—	2	1	no	—
82	C₄³	—	2	1	no	—
83	C₄³	—	2	1	no	—
84	C₄³	—	2	1	no	—
85	C₄³	—	2	1	no	—
86	C₄³	—	2	1	no	—
87	#339	—	2	4	no	—
88	#339	C₈	1	8	yes	complemented
89	#336	—	2	8	no	—
90	#336	—	2	2	no	—
91	#336	—	2	2	no	—
92	#322	—	2	4	no	—
93	C₈²	—	2	4	no	—
94	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
95	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
98	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
99	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
100	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
101	C₂×M₁₆	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
102	C₂×M₁₆	C₂×C₈	1	4	yes	—
103	C₂×M₁₆	M₁₆	1	4	yes	—
104	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
112	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
113	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
114	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
115	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
116	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
117	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
118	#117	—	2	2	no	—
119	#117	—	2	2	no	—
120	#117	—	2	2	no	—
121	#117	C₂×C₈	1	4	yes	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₄²	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄⋊C₄	C₄²	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄⋊C₄	C₄²	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₄⋊C₄	C₄²	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
128	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
129	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
136	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
137	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
138	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
140	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
142	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
143	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
144	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
145	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
146	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
147	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	4	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
160	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
161	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
162	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
163	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
164	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
165	C₄⋊C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
166	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
167	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
168	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
169	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
170	#97	—	2	2	no	—
171	#97	—	2	2	no	—
172	C₄×C₈	—	2	2	no	—
173	C₄×C₈	—	2	2	no	—
174	C₄×C₈	—	2	2	no	—
175	C₄×C₈	—	2	2	no	—
176	C₄×C₈	—	2	1	no	—
177	C₄×C₈	—	2	2	no	—
178	C₄×C₈	—	2	2	no	—
179	C₄×C₈	—	2	1	no	—
180	C₄×C₈	—	2	2	no	—
181	C₄×C₈	—	2	2	no	—
182	C₄×C₈	—	2	1	no	—
183	C₄×C₈	—	2	1	no	—
184	C₄×C₈	—	4	1	no	—
185	C₄×C₈	—	4	1	no	—
186	C₄×C₈	—	4	1	no	—
187	C₄×C₈	—	4	1	no	—
188	#95	—	2	1	no	—
189	#95	—	2	1	no	—
190	#95	—	2	1	no	—
191	#95	—	2	1	no	—
192	C₂⁴	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	#124	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	#125	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	#126	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	#131	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	#131	1	2	yes	—
230	M₁₆	—	2	4	no	—
231	M₁₆	—	2	4	no	—
232	M₁₆	—	2	4	no	—
233	M₁₆	C₄⋊C₈	1	8	yes	complemented
234	C₂×C₈	—	2	4	no	—
235	C₂×C₈	—	2	2	no	—
236	C₂×C₈	—	2	2	no	—
237	C₂×C₈	—	2	4	no	—
238	C₂×C₈	—	2	4	no	—
239	C₂×C₈	—	2	4	no	—
240	C₂×C₈	—	2	4	no	—
241	C₂×C₈	—	2	2	no	—
242	C₂×C₈	—	2	2	no	—
243	C₂×C₈	—	2	2	no	—
244	C₂×C₈	—	4	4	no	—
245	C₂×C₈	—	4	4	no	—
246	C₂×C₈	—	4	2	no	—
247	C₂×C₈	—	4	4	no	—
248	C₂×C₈	—	4	4	no	—
249	C₂×C₈	—	4	2	no	—
250	C₂×C₈	—	4	2	no	—
251	C₂×C₈	—	4	2	no	—
252	C₂×C₈	—	4	2	no	—
253	C₂×C₈	—	4	2	no	—
254	C₂×C₈	—	4	2	no	—
255	C₂×C₈	#104	1	4	yes	—
256	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
262	C₄⋊C₄	C₄×C₈	1	2	yes	—
263	C₄⋊C₄	C₄×C₈	1	2	yes	—
264	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
266	C₄²	—	2	4	no	—
267	C₄²	—	2	4	no	—
268	C₄²	—	2	4	no	—
269	C₄²	—	4	4	no	—
270	C₄²	—	4	4	no	—
271	C₄²	—	4	4	no	—
272	C₄²	—	4	4	no	—
273	C₄²	—	4	2	no	—
274	C₄²	—	4	2	no	—
275	C₄²	—	4	2	no	—
276	C₄²	—	4	2	no	—
277	C₄²	—	4	2	no	—
278	C₄²	—	4	2	no	—
279	C₄²	—	4	2	no	—
280	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
281	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
282	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
284	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
285	C₄²	C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
286	C₄²	C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
287	C₄²	C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
288	C₄²	#120	1	1	yes	characteristic
289	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
290	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
291	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
292	C₄²	#123	1	1	yes	characteristic
293	C₄²	#123	1	1	yes	characteristic
294	C₄²	#125	1	1	yes	characteristic
295	C₄²	#126	1	1	yes	characteristic
296	C₂³	—	2	1	no	—
297	C₂³	—	2	1	no	—
298	C₂³	—	2	1	no	—
299	C₂³	—	2	1	no	—
300	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
301	C₂³	#388	1	1	yes	characteristic
302	C₂³	#389	1	1	yes	characteristic
303	C₂³	C₈×D₄	1	2	yes	—
304	C₂³	#436	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	—	2	1	no	—
306	C₂×C₄	—	2	1	no	—
307	C₂×C₄	—	2	1	no	—
308	C₂×C₄	—	2	1	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	8	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	4	4	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	4	no	—
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	4	no	—
325	C₂×C₄	—	4	4	no	—
326	C₂×C₄	—	4	1	no	—
327	C₂×C₄	—	4	1	no	—
328	C₂×C₄	—	4	1	no	—
329	C₂×C₄	—	4	1	no	—
330	C₂×C₄	—	4	1	no	—
331	C₂×C₄	—	4	1	no	—
332	C₂×C₄	—	4	1	no	—
333	C₂×C₄	—	4	1	no	—
334	C₂×C₄	—	4	1	no	—
335	C₂×C₄	—	4	1	no	—
336	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	#385	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#385	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	#386	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	#387	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	#387	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	#387	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	#387	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	#388	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	#389	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	#391	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	C₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	#405	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	#405	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	C₂×#104	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	#421	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	#424	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	#431	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	#433	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	C₈×D₄	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	C₈×D₄	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	#435	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	#435	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	#443	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	#444	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	C₈×Q₈	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	#446	1	2	yes	—
366	C₈	—	2	8	no	—
367	C₈	—	2	4	no	—
368	C₈	—	4	4	no	—
369	C₈	—	4	4	no	—
370	C₈	—	4	2	no	—
371	C₈	—	8	2	no	—
372	C₂²	—	2	2	no	—
373	C₂²	—	2	2	no	—
374	C₂²	—	2	1	no	—
375	C₂²	—	2	1	no	—
376	C₂²	—	2	1	no	—
377	C₂²	—	2	1	no	—
378	C₂²	—	2	2	no	—
379	C₂²	—	2	2	no	—
380	C₂²	#1436	1	1	yes	characteristic
381	C₂²	C₈×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
382	C₂²	#1753	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	C₄×#104	1	1	yes	characteristic
384	C₂²	#1759	1	1	yes	characteristic
385	C₂²	#1764	1	1	yes	characteristic
386	C₂²	#1765	1	1	yes	characteristic
387	C₂²	#1923	1	2	yes	—
388	C₂²	#1939	1	2	yes	—
389	C₄	—	2	1	no	—
390	C₄	—	2	1	no	—
391	C₄	—	2	1	no	—
392	C₄	—	2	1	no	—
393	C₄	—	4	8	no	—
394	C₄	—	4	2	no	—
395	C₄	—	4	2	no	—
396	C₄	—	8	1	no	—
397	C₄	—	8	1	no	—
398	C₄	C₄×C₄⋊C₈	1	1	yes	characteristic
399	C₄	#1768	1	1	yes	characteristic
400	C₄	C₈×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
401	C₄	#1771	1	1	yes	characteristic
402	C₄	#1850	1	2	yes	—
403	C₄	#1866	1	2	yes	—
404	C₄	#1871	1	2	yes	—
405	C₄	#1916	1	2	yes	—
406	C₄	#1922	1	2	yes	—
407	C₄	#1986	1	2	yes	—
408	C₂	—	2	2	no	—
409	C₂	—	2	2	no	—
410	C₂	C₈×#104	1	1	yes	characteristic
411	C₂	#8191	1	1	yes	characteristic
412	C₂	#8196	1	1	yes	characteristic
413	C₂	#8197	1	1	yes	characteristic
414	C₂	#10876	1	1	yes	characteristic
415	C₂	#10886	1	1	yes	characteristic
416	C₂	#10887	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄²	C₂×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈
Frattini, cosocle	C₂²×C₄²	C₂³
socle	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂⁴	C₄×D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄² ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
15. #1939	C₄	semidirect
16. #1939	C₄	semidirect
27. #1279	C₄	semidirect
28. #1279	C₄	semidirect
88. #339	C₈	semidirect
233. M₁₆	C₄⋊C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21349	2
C₂×C₈×M₁₆	2
C₄×#339	2
C₄×#336	2
#7890	2
C₂×#1278	2
C₂×#1276	2