Subgroups — #110256

Order 512.

796 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 418 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21400	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1994	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1744	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1493	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#10839	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#7897	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#7874	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#1994	—	2	2	no	—
16	#1994	C₄	1	4	yes	complemented
17	#1990	C₄	1	2	yes	complemented
18	#1956	C₄	1	2	yes	complemented
19	#1892	—	2	2	no	—
20	C₄×#103	—	2	2	no	—
21	#1744	—	2	2	no	—
22	#1744	—	2	2	no	—
23	C₂×#339	—	2	2	no	—
24	C₂×#339	—	2	2	no	—
25	C₂×#336	—	2	2	no	—
26	#1493	—	2	2	no	—
27	#1493	C₄	1	4	yes	complemented
28	C₂×Q₈⋊C₈	—	2	2	no	—
29	#1279	—	2	2	no	—
30	#1277	—	2	2	no	—
31	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
32	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
33	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
34	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
35	#533	—	2	1	no	—
36	#533	—	2	1	no	—
37	#533	—	2	1	no	—
38	#533	—	2	1	no	—
39	#533	—	2	1	no	—
40	#533	—	2	1	no	—
41	#533	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	#533	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×#125	—	2	1	no	—
46	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
47	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
48	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
49	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
50	C₂×#117	—	2	1	no	—
51	C₂×#117	—	2	1	no	—
52	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
53	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
54	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#423	—	2	1	no	—
57	#423	—	2	1	no	—
58	#423	—	2	1	no	—
59	#423	—	2	1	no	—
60	#423	—	2	1	no	—
61	#423	—	2	1	no	—
62	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
65	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
68	C₂×#103	—	2	4	no	—
69	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
70	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
71	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
72	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
73	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
74	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
75	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
76	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
79	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
80	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
81	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	#382	—	2	1	no	—
83	#380	—	2	1	no	—
84	#380	—	2	1	no	—
85	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
86	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
87	C₄³	—	2	1	no	—
88	C₄³	—	2	1	no	—
89	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
90	C₄³	D₄	1	2	yes	—
91	#340	—	2	4	no	—
92	#339	—	2	8	no	—
93	#339	—	4	4	no	—
94	#336	—	2	8	no	—
95	Q₈⋊C₈	—	2	8	no	—
96	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
97	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
98	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
99	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
102	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
103	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
104	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
105	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
106	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
107	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
108	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
109	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
116	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
117	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
118	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
119	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
120	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
121	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
122	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
123	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
124	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
125	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
126	C₄⋊Q₈	C₄²	1	2	yes	—
127	C₄⋊Q₈	C₄²	1	2	yes	—
128	#125	—	2	2	no	—
129	#125	—	2	2	no	—
130	#125	—	4	1	no	—
131	#125	—	4	1	no	—
132	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
133	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
134	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
135	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
136	C₂²⋊Q₈	—	4	1	no	—
137	C₂²⋊Q₈	—	4	1	no	—
138	C₂²⋊Q₈	—	4	1	no	—
139	C₂²⋊Q₈	—	4	1	no	—
140	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
141	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
142	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
143	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
144	C₄×Q₈	—	4	1	no	—
145	C₄×Q₈	—	4	1	no	—
146	C₄×Q₈	—	4	1	no	—
147	C₄×Q₈	—	4	1	no	—
148	#117	—	2	2	no	—
149	#117	—	2	2	no	—
150	#117	—	4	1	no	—
151	#117	—	4	1	no	—
152	#117	—	4	2	no	—
153	#117	—	4	2	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
173	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
174	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
175	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
176	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
177	C₂×C₄²	SD₁₆	1	4	yes	—
178	C₂×C₄²	Q₁₆	1	4	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
191	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
192	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
193	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
194	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
195	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
196	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
197	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
198	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
199	#103	—	4	8	no	—
200	C₄×C₈	—	2	2	no	—
201	C₄×C₈	—	2	2	no	—
202	C₄×C₈	—	2	2	no	—
203	C₄×C₈	—	2	2	no	—
204	C₄×C₈	—	2	2	no	—
205	C₄×C₈	—	2	2	no	—
206	C₄×C₈	—	2	2	no	—
207	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
208	#95	—	4	1	no	—
209	#95	—	4	1	no	—
210	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
211	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
212	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
213	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
214	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
216	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
227	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	#124	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	#124	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	#126	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
249	M₁₆	—	4	4	no	—
250	M₁₆	—	4	4	no	—
251	M₁₆	—	8	2	no	—
252	M₁₆	—	8	2	no	—
253	C₂×C₈	—	2	4	no	—
254	C₂×C₈	—	2	4	no	—
255	C₂×C₈	—	2	4	no	—
256	C₂×C₈	—	2	4	no	—
257	C₂×C₈	—	4	4	no	—
258	C₂×C₈	—	4	4	no	—
259	C₂×C₈	—	4	4	no	—
260	C₂×C₈	—	4	4	no	—
261	C₂×C₈	—	4	4	no	—
262	C₂×C₈	—	4	2	no	—
263	C₂×C₈	—	4	2	no	—
264	C₂×C₈	—	8	1	no	—
265	C₂×C₈	—	8	1	no	—
266	C₂×C₈	—	8	1	no	—
267	C₂×C₈	—	8	1	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
280	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
281	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
286	C₄²	—	2	4	no	—
287	C₄²	—	2	4	no	—
288	C₄²	—	2	4	no	—
289	C₄²	—	4	4	no	—
290	C₄²	—	4	4	no	—
291	C₄²	—	4	4	no	—
292	C₄²	—	4	4	no	—
293	C₄²	—	4	2	no	—
294	C₄²	—	4	2	no	—
295	C₄²	—	8	1	no	—
296	C₄²	—	8	1	no	—
297	C₄²	#103	1	8	yes	complemented
298	C₄²	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
299	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
300	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
301	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
302	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
303	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
304	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
305	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
306	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
307	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
308	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
309	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
310	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
311	C₄²	#123	1	1	yes	characteristic
312	C₄²	#124	1	1	yes	characteristic
313	C₄²	#126	1	1	yes	characteristic
314	C₂³	—	2	2	no	—
315	C₂³	—	2	2	no	—
316	C₂³	#386	1	1	yes	characteristic
317	C₂³	#388	1	1	yes	characteristic
318	C₂³	#390	1	1	yes	characteristic
319	C₂³	#465	1	2	yes	—
320	C₂³	#467	1	2	yes	—
321	Q₈	—	4	4	no	—
322	Q₈	—	4	4	no	—
323	Q₈	—	8	2	no	—
324	Q₈	—	8	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	8	no	—
336	C₂×C₄	—	4	4	no	—
337	C₂×C₄	—	4	4	no	—
338	C₂×C₄	—	4	8	no	—
339	C₂×C₄	—	4	8	no	—
340	C₂×C₄	—	4	2	no	—
341	C₂×C₄	—	4	2	no	—
342	C₂×C₄	—	8	2	no	—
343	C₂×C₄	—	8	2	no	—
344	C₂×C₄	—	8	2	no	—
345	C₂×C₄	—	8	2	no	—
346	C₂×C₄	—	8	2	no	—
347	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	#386	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	#386	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	#388	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	#388	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	#388	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	#388	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	#388	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	#390	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	#390	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	C₂×#103	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	#416	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	#421	1	4	yes	—
362	C₂×C₄	C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	C₄×Q₁₆	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	C₄×Q₁₆	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	#444	1	4	yes	—
367	C₂×C₄	#465	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	#467	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	#487	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	#488	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	#492	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	#494	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	#495	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	#495	1	1	yes	characteristic
375	C₈	—	4	4	no	—
376	C₈	—	4	4	no	—
377	C₈	—	8	2	no	—
378	C₈	—	8	2	no	—
379	C₂²	—	2	4	no	—
380	C₂²	—	2	4	no	—
381	C₂²	—	2	1	no	—
382	C₂²	—	2	1	no	—
383	C₂²	—	2	1	no	—
384	C₂²	—	2	1	no	—
385	C₂²	#1437	1	1	yes	characteristic
386	C₂²	#1892	1	2	yes	—
387	C₂²	#1933	1	2	yes	—
388	C₂²	#1963	1	2	yes	—
389	C₂²	#1968	1	1	yes	characteristic
390	C₂²	#1969	1	1	yes	characteristic
391	C₂²	#1975	1	2	yes	—
392	C₄	—	2	1	no	—
393	C₄	—	2	1	no	—
394	C₄	—	2	1	no	—
395	C₄	—	2	1	no	—
396	C₄	—	4	8	no	—
397	C₄	—	8	2	no	—
398	C₄	—	8	2	no	—
399	C₄	—	16	2	no	—
400	C₄	#1759	1	2	yes	—
401	C₄	C₄×#103	1	2	yes	—
402	C₄	#1765	1	2	yes	—
403	C₄	#1897	1	2	yes	—
404	C₄	#1933	1	2	yes	—
405	C₄	#1938	1	2	yes	—
406	C₄	#1956	1	1	yes	characteristic
407	C₄	#1958	1	1	yes	characteristic
408	C₄	#1968	1	1	yes	characteristic
409	C₄	#1969	1	1	yes	characteristic
410	C₂	—	2	2	no	—
411	C₂	—	2	2	no	—
412	C₂	#9846	1	2	yes	—
413	C₂	#9848	1	2	yes	—
414	C₂	#10924	1	1	yes	characteristic
415	C₂	#10926	1	1	yes	characteristic
416	C₂	#10930	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	#127
commutator	C₄²	C₂×C₄²
Frattini, cosocle	C₂²×C₄²	C₂³
socle	C₂³	#390
prime radical	C₂⁴	#121
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
16. #1994	C₄	semidirect
17. #1990	C₄	semidirect
18. #1956	C₄	semidirect
27. #1493	C₄	semidirect
297. C₄²	#103	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21400	2
C₂×#1994	2
C₂×#1744	2
C₂×#1493	2
#10839	2
#7897	2
#7874	2