Subgroups — #110727

Order 512.

652 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 364 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21840	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1997	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20551	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1556	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1307	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#8035	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂×#1291	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#2283	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#1997	—	2	2	no	—
16	#1997	C₄	1	4	yes	complemented
17	#1993	—	2	2	no	—
18	#1987	—	2	2	no	—
19	#1823	C₄	1	4	yes	—
20	#1771	—	2	2	no	—
21	#1768	—	2	2	no	—
22	#1753	—	2	2	no	—
23	C₂×#343	—	2	2	no	—
24	#1556	—	2	2	no	—
25	#1556	C₄	1	4	yes	complemented
26	C₂×#332	—	2	2	no	—
27	#1307	—	2	2	no	—
28	#1295	—	2	2	no	—
29	#1291	—	2	2	no	—
30	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
31	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
32	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
33	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
34	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
35	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
36	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
37	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
38	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
39	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
40	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
42	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	#432	—	2	1	no	—
49	#432	—	2	1	no	—
50	#432	—	2	1	no	—
51	#432	—	2	1	no	—
52	#432	—	2	1	no	—
53	#432	—	2	1	no	—
54	#432	—	2	1	no	—
55	#432	—	2	1	no	—
56	#432	—	2	1	no	—
57	#432	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	#432	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	#432	D₄	1	2	yes	—
60	#423	—	2	1	no	—
61	#423	—	2	1	no	—
62	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	#423	D₄	1	2	yes	—
64	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
65	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
68	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
70	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
71	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
73	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
74	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
75	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	C₂×#97	—	2	1	no	—
77	C₂×#97	—	2	1	no	—
78	C₂×#97	—	2	1	no	—
79	C₂×#97	—	2	1	no	—
80	C₂×#97	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
82	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
83	#383	—	2	1	no	—
84	#382	D₄	1	2	yes	—
85	#381	—	2	1	no	—
86	#380	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
88	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
89	#376	—	2	1	no	—
90	#343	—	2	8	no	—
91	#340	—	2	8	no	—
92	#336	—	2	4	no	—
93	#332	—	2	8	no	—
94	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
95	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
96	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
97	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
98	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
99	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
100	C₂²×Q₈	—	8	4	no	—
101	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
102	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
105	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
106	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
107	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
108	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
109	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
110	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
111	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
112	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
113	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
116	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
117	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
118	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
119	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
120	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
121	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
122	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
123	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
124	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
125	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
126	C₄⋊Q₈	—	4	1	no	—
127	C₄⋊Q₈	—	4	1	no	—
128	C₄⋊Q₈	—	4	1	no	—
129	C₄⋊Q₈	—	4	1	no	—
130	C₄⋊Q₈	—	4	1	no	—
131	C₄⋊Q₈	—	4	1	no	—
132	C₄⋊Q₈	—	4	1	no	—
133	C₄⋊Q₈	—	4	1	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	C₄²	1	4	yes	—
146	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
161	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
162	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
163	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
164	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
165	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
166	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
167	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
168	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
169	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
170	C₄⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
171	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
172	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
173	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
174	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
175	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
176	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
177	#97	—	2	2	no	—
178	#97	—	2	2	no	—
179	#97	—	2	2	no	—
180	#97	—	2	2	no	—
181	#97	—	4	1	no	—
182	#97	—	4	1	no	—
183	#97	—	4	1	no	—
184	#97	—	4	1	no	—
185	#97	—	8	2	no	—
186	C₄×C₈	—	2	2	no	—
187	C₄×C₈	—	4	1	no	—
188	C₄×C₈	—	8	2	no	—
189	#95	—	2	2	no	—
190	#95	—	2	2	no	—
191	#95	—	2	2	no	—
192	#95	—	2	2	no	—
193	C₂⁴	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
195	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
196	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
197	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
198	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
199	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
200	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
201	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
202	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
203	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
213	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	#124	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	#126	1	1	yes	characteristic
231	M₁₆	—	2	4	no	—
232	M₁₆	—	4	4	no	—
233	M₁₆	—	4	2	no	—
234	M₁₆	—	4	4	no	—
235	M₁₆	—	8	2	no	—
236	C₂×C₈	—	2	4	no	—
237	C₂×C₈	—	2	4	no	—
238	C₂×C₈	—	4	4	no	—
239	C₂×C₈	—	4	2	no	—
240	C₂×C₈	—	4	2	no	—
241	C₂×C₈	—	4	2	no	—
242	C₂×C₈	—	4	2	no	—
243	C₂×C₈	—	4	2	no	—
244	C₂×C₈	—	4	4	no	—
245	C₂×C₈	—	4	2	no	—
246	C₂×C₈	—	4	2	no	—
247	C₂×C₈	—	8	2	no	—
248	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
258	C₄²	—	4	2	no	—
259	C₄²	—	4	2	no	—
260	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
261	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
262	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
263	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
266	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
267	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
268	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
269	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
270	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
271	C₄²	#123	1	1	yes	characteristic
272	C₄²	#124	1	1	yes	characteristic
273	C₄²	#124	1	1	yes	characteristic
274	C₄²	#126	1	1	yes	characteristic
275	C₄²	#127	1	1	yes	characteristic
276	C₂³	—	2	2	no	—
277	C₂³	—	2	2	no	—
278	C₂³	—	2	2	no	—
279	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂³	#386	1	1	yes	characteristic
281	C₂³	#388	1	1	yes	characteristic
282	Q₈	—	8	4	no	—
283	Q₈	—	8	4	no	—
284	Q₈	—	8	4	no	—
285	Q₈	—	8	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	1	no	—
294	C₂×C₄	—	2	1	no	—
295	C₂×C₄	—	2	1	no	—
296	C₂×C₄	—	2	1	no	—
297	C₂×C₄	—	4	1	no	—
298	C₂×C₄	—	4	1	no	—
299	C₂×C₄	—	4	1	no	—
300	C₂×C₄	—	4	1	no	—
301	C₂×C₄	—	4	1	no	—
302	C₂×C₄	—	4	1	no	—
303	C₂×C₄	—	4	1	no	—
304	C₂×C₄	—	4	1	no	—
305	C₂×C₄	—	4	4	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	4	no	—
308	C₂×C₄	—	4	4	no	—
309	C₂×C₄	—	8	4	no	—
310	C₂×C₄	—	8	4	no	—
311	C₂×C₄	—	8	4	no	—
312	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	#386	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	#386	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	#388	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	#388	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	#388	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	#388	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	#388	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	#390	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	#390	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	#390	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	#455	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	#456	1	2	yes	—
326	C₈	—	4	4	no	—
327	C₈	—	4	4	no	—
328	C₈	—	4	4	no	—
329	C₈	—	8	2	no	—
330	C₈	—	8	2	no	—
331	C₂²	—	2	1	no	—
332	C₂²	—	2	1	no	—
333	C₂²	—	2	1	no	—
334	C₂²	—	2	1	no	—
335	C₂²	—	2	1	no	—
336	C₂²	—	2	1	no	—
337	C₂²	—	4	4	no	—
338	C₂²	#1437	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	#1882	1	2	yes	—
340	C₂²	#1903	1	2	yes	—
341	C₂²	#1915	1	2	yes	—
342	C₄	—	2	1	no	—
343	C₄	—	2	1	no	—
344	C₄	—	2	1	no	—
345	C₄	—	2	1	no	—
346	C₄	—	2	1	no	—
347	C₄	—	2	1	no	—
348	C₄	—	2	1	no	—
349	C₄	—	2	1	no	—
350	C₄	—	2	1	no	—
351	C₄	—	2	1	no	—
352	C₄	—	8	4	no	—
353	C₄	—	8	4	no	—
354	C₄	#1882	1	2	yes	—
355	C₄	#1885	1	1	yes	characteristic
356	C₄	#1886	1	1	yes	characteristic
357	C₂	—	4	1	no	—
358	C₂	—	4	1	no	—
359	C₂	#9338	1	4	yes	—
360	C₂	#10940	1	1	yes	characteristic
361	C₂	#10953	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#10957	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	#386
commutator	C₂²×C₄	C₂×C₄²
Frattini, cosocle	C₂²×C₄²	C₂³
prime radical	C₂⁴	C₄×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
16. #1997	C₄	semidirect
25. #1556	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21840	2
C₂×#1997	2
#20551	2
C₂×#1556	2
C₂×#1307	2
#8035	2
C₂×#1291	2