Subgroups — #110748

Order 512.

668 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 384 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21400	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1746	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1531	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1506	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#8034	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#8022	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#7875	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#1990	C₄	1	2	yes	complemented
16	#1956	C₄	1	2	yes	complemented
17	#1892	—	2	2	no	—
18	C₄×#103	—	2	2	no	—
19	#1746	—	2	2	no	—
20	#1746	—	2	2	no	—
21	C₂×#336	—	2	2	no	—
22	#1531	—	2	2	no	—
23	#1531	C₄	1	4	yes	complemented
24	C₂×#330	—	2	2	no	—
25	#1506	—	2	2	no	—
26	#1506	C₄	1	4	yes	complemented
27	C₂×#328	—	2	2	no	—
28	#1295	—	2	2	no	—
29	#1294	—	2	2	no	—
30	#1277	—	2	2	no	—
31	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
32	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
33	#533	—	2	1	no	—
34	#533	—	2	1	no	—
35	#533	—	2	1	no	—
36	#533	—	2	1	no	—
37	#533	—	2	1	no	—
38	#533	—	2	1	no	—
39	#533	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	#533	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#125	—	2	1	no	—
44	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
45	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
46	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
47	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
48	C₂×#117	—	2	1	no	—
49	C₂×#117	—	2	1	no	—
50	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
51	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	#432	—	2	1	no	—
53	#432	—	2	1	no	—
54	#432	—	2	1	no	—
55	#432	—	2	1	no	—
56	#432	—	2	1	no	—
57	#432	—	2	1	no	—
58	#432	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	#432	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
61	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
62	C₂×#103	—	2	4	no	—
63	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
64	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
65	C₂×#97	—	2	1	no	—
66	C₂×#97	—	2	1	no	—
67	C₂×#97	—	2	1	no	—
68	C₂×#97	—	2	1	no	—
69	C₂×#97	—	2	1	no	—
70	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
72	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
74	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
75	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
76	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
77	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
79	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	#382	—	2	1	no	—
81	#380	—	2	1	no	—
82	#380	—	2	1	no	—
83	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
84	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
85	#376	—	2	1	no	—
86	#376	—	2	1	no	—
87	#376	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	#376	D₄	1	2	yes	—
89	C₂×#95	—	2	1	no	—
90	C₂×#95	D₄	1	2	yes	—
91	#340	—	2	4	no	—
92	#336	—	2	8	no	—
93	#330	—	2	8	no	—
94	#328	—	2	8	no	—
95	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
96	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
97	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
98	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
102	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
107	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
108	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
109	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
110	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
111	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
112	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
113	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
114	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
115	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
116	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
117	C₄⋊Q₈	C₄²	1	2	yes	—
118	C₄⋊Q₈	C₄²	1	2	yes	—
119	#125	—	2	2	no	—
120	#125	—	2	2	no	—
121	#125	—	4	1	no	—
122	#125	—	4	1	no	—
123	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
124	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
125	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
126	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
127	C₂²⋊Q₈	—	4	1	no	—
128	C₂²⋊Q₈	—	4	1	no	—
129	C₂²⋊Q₈	—	4	1	no	—
130	C₂²⋊Q₈	—	4	1	no	—
131	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
132	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
133	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
134	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
135	C₄×Q₈	—	4	1	no	—
136	C₄×Q₈	—	4	1	no	—
137	C₄×Q₈	—	4	1	no	—
138	C₄×Q₈	—	4	1	no	—
139	#117	—	2	2	no	—
140	#117	—	2	2	no	—
141	#117	—	4	1	no	—
142	#117	—	4	1	no	—
143	#117	—	8	2	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
158	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
159	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
160	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
172	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
173	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
174	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
175	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
176	#103	—	4	8	no	—
177	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
178	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
179	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
180	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
181	#97	—	2	2	no	—
182	#97	—	2	2	no	—
183	#97	—	2	2	no	—
184	#97	—	2	2	no	—
185	#97	—	2	2	no	—
186	#97	—	4	1	no	—
187	#97	—	4	1	no	—
188	#97	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
189	C₄×C₈	—	2	2	no	—
190	C₄×C₈	—	2	2	no	—
191	C₄×C₈	—	2	2	no	—
192	C₄×C₈	—	2	2	no	—
193	#95	—	2	2	no	—
194	#95	—	2	2	no	—
195	#95	—	2	2	no	—
196	#95	—	4	1	no	—
197	#95	—	4	1	no	—
198	#95	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
199	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
200	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
201	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
202	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
203	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
204	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
205	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
218	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	#124	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	#124	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	#126	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
236	C₂×C₈	—	2	4	no	—
237	C₂×C₈	—	2	4	no	—
238	C₂×C₈	—	2	4	no	—
239	C₂×C₈	—	2	4	no	—
240	C₂×C₈	—	4	4	no	—
241	C₂×C₈	—	4	4	no	—
242	C₂×C₈	—	4	4	no	—
243	C₂×C₈	—	4	4	no	—
244	C₂×C₈	—	4	4	no	—
245	C₂×C₈	—	4	2	no	—
246	C₂×C₈	—	4	2	no	—
247	C₂×C₈	—	8	2	no	—
248	C₂×C₈	—	8	2	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
262	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
263	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
267	C₄²	—	4	4	no	—
268	C₄²	—	4	4	no	—
269	C₄²	—	4	2	no	—
270	C₄²	—	4	2	no	—
271	C₄²	—	8	2	no	—
272	C₄²	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
273	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
274	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
275	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
276	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
277	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
278	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
279	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
280	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
282	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
283	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
284	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
285	C₄²	#123	1	1	yes	characteristic
286	C₄²	#124	1	1	yes	characteristic
287	C₄²	#126	1	1	yes	characteristic
288	C₂³	—	2	2	no	—
289	C₂³	—	2	2	no	—
290	C₂³	#386	1	1	yes	characteristic
291	C₂³	#388	1	1	yes	characteristic
292	C₂³	#390	1	1	yes	characteristic
293	C₂³	#471	1	2	yes	—
294	C₂³	#473	1	2	yes	—
295	Q₈	—	4	4	no	—
296	Q₈	—	8	2	no	—
297	Q₈	—	8	2	no	—
298	Q₈	—	8	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	1	no	—
307	C₂×C₄	—	2	1	no	—
308	C₂×C₄	—	2	1	no	—
309	C₂×C₄	—	2	1	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	4	1	no	—
315	C₂×C₄	—	4	1	no	—
316	C₂×C₄	—	4	1	no	—
317	C₂×C₄	—	4	1	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	4	no	—
321	C₂×C₄	—	4	2	no	—
322	C₂×C₄	—	4	2	no	—
323	C₂×C₄	—	8	4	no	—
324	C₂×C₄	—	8	4	no	—
325	C₂×C₄	—	8	2	no	—
326	C₂×C₄	—	8	2	no	—
327	C₂×C₄	—	8	2	no	—
328	C₂×C₄	—	8	2	no	—
329	C₂×C₄	—	8	2	no	—
330	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	#386	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	#386	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	#388	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	#388	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	#388	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	#388	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#388	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	#390	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	#390	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	#421	1	4	yes	—
343	C₈	—	4	4	no	—
344	C₈	—	4	4	no	—
345	C₈	—	8	2	no	—
346	C₈	—	8	2	no	—
347	C₂²	—	2	4	no	—
348	C₂²	—	2	4	no	—
349	C₂²	—	2	1	no	—
350	C₂²	—	2	1	no	—
351	C₂²	—	2	1	no	—
352	C₂²	—	2	1	no	—
353	C₂²	#1437	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	#1908	1	2	yes	—
355	C₂²	#1930	1	2	yes	—
356	C₂²	#1963	1	2	yes	—
357	C₂²	#1976	1	2	yes	—
358	C₂²	#1977	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	#1979	1	1	yes	characteristic
360	C₄	—	2	1	no	—
361	C₄	—	2	1	no	—
362	C₄	—	2	1	no	—
363	C₄	—	2	1	no	—
364	C₄	—	2	1	no	—
365	C₄	—	2	1	no	—
366	C₄	—	2	1	no	—
367	C₄	—	2	1	no	—
368	C₄	—	2	1	no	—
369	C₄	—	2	1	no	—
370	C₄	—	8	4	no	—
371	C₄	—	8	2	no	—
372	C₄	—	8	2	no	—
373	C₄	—	16	2	no	—
374	C₄	#1759	1	2	yes	—
375	C₄	#1897	1	2	yes	—
376	C₂	—	2	2	no	—
377	C₂	—	2	2	no	—
378	C₂	#9765	1	2	yes	—
379	C₂	#9766	1	2	yes	—
380	C₂	#10924	1	1	yes	characteristic
381	C₂	#10942	1	1	yes	characteristic
382	C₂	#10944	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	#390
commutator	C₄²	C₂×C₄²
Frattini, cosocle	C₂²×C₄²	C₂³
prime radical	C₂⁴	#121
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
15. #1990	C₄	semidirect
16. #1956	C₄	semidirect
23. #1531	C₄	semidirect
26. #1506	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21400	2
C₂×#1746	2
C₂×#1531	2
C₂×#1506	2
#8034	2
#8022	2
#7875	2