Subgroups — #110768

Order 512.

655 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 382 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₈×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#17715	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#17545	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1493	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#8097	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#8065	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#7885	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	#2920	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	#2920	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
16	C₈×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
17	#1744	—	2	1	no	—
18	C₄²×C₈	—	2	1	no	—
19	#1552	—	2	2	no	—
20	#1549	C₄	1	2	yes	complemented
21	#1546	C₄	1	2	yes	complemented
22	#1544	—	2	2	no	—
23	#1508	—	2	2	no	—
24	#1506	C₄	1	4	yes	—
25	#1503	—	2	2	no	—
26	#1493	—	2	1	no	—
27	#1493	—	2	1	no	—
28	#1493	C₄	1	4	yes	complemented
29	C₂×Q₈⋊C₈	—	2	2	no	—
30	#1303	—	2	2	no	—
31	#1299	—	2	2	no	—
32	#1278	—	2	2	no	—
33	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
34	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
35	#533	—	2	1	no	—
36	#533	—	2	1	no	—
37	#533	—	2	1	no	—
38	#533	—	2	1	no	—
39	#533	—	2	1	no	—
40	#533	—	2	1	no	—
41	#533	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	#533	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×#125	—	2	1	no	—
46	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
47	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
48	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
49	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
50	C₂×#117	—	2	1	no	—
51	C₂×#117	—	2	1	no	—
52	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	#432	—	2	1	no	—
54	#432	—	2	1	no	—
55	#432	—	2	1	no	—
56	#432	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	#431	—	2	1	no	—
58	#431	—	2	1	no	—
59	#431	—	2	1	no	—
60	#431	—	2	1	no	—
61	#431	—	2	1	no	—
62	#431	—	2	1	no	—
63	#431	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	#431	D₄	1	2	yes	—
65	#423	—	2	1	no	—
66	#423	—	2	1	no	—
67	#423	—	2	1	no	—
68	#423	—	2	1	no	—
69	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
72	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
73	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
74	#407	—	2	1	no	—
75	#407	—	2	1	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
77	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
78	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
79	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
80	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
81	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
82	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
83	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
84	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
87	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
89	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
90	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
91	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
92	#376	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	C₄³	—	2	1	no	—
94	#336	—	2	4	no	—
95	#332	—	2	4	no	—
96	#332	—	2	4	no	—
97	#328	—	2	8	no	—
98	Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
99	Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
100	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
101	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
102	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
104	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
105	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
106	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
107	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
108	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
109	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
116	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
117	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
118	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
119	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
120	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
121	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
122	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
123	C₄⋊Q₈	C₄²	1	2	yes	—
124	C₄⋊Q₈	C₄²	1	2	yes	—
125	#125	—	2	2	no	—
126	#125	—	2	2	no	—
127	#125	—	4	1	no	—
128	#125	—	4	1	no	—
129	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
130	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
131	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
132	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
133	C₂²⋊Q₈	—	4	1	no	—
134	C₂²⋊Q₈	—	4	1	no	—
135	C₂²⋊Q₈	—	4	1	no	—
136	C₂²⋊Q₈	—	4	1	no	—
137	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
138	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
139	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
140	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
141	C₄×Q₈	—	4	1	no	—
142	C₄×Q₈	—	4	1	no	—
143	C₄×Q₈	—	4	1	no	—
144	C₄×Q₈	—	4	1	no	—
145	#117	—	2	8	no	—
146	#117	—	2	2	no	—
147	#117	—	2	2	no	—
148	#117	—	4	1	no	—
149	#117	—	4	1	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
163	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
175	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
176	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
177	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
178	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
179	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
180	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
181	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
182	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
183	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
184	C₄⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
185	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
186	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
187	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
188	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
189	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
190	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
191	#97	—	2	2	no	—
192	#97	—	4	1	no	—
193	C₄×C₈	—	2	2	no	—
194	C₄×C₈	—	2	2	no	—
195	C₄×C₈	—	2	2	no	—
196	C₄×C₈	—	2	2	no	—
197	C₄×C₈	—	2	1	no	—
198	C₄×C₈	—	2	1	no	—
199	C₄×C₈	—	4	8	no	—
200	C₄×C₈	—	4	1	no	—
201	C₄×C₈	—	4	1	no	—
202	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
203	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
204	#95	—	2	2	no	—
205	#95	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
206	C₂⁴	#123	1	1	yes	characteristic
207	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
208	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
212	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
220	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	#124	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	#124	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	#126	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	#126	1	1	yes	characteristic
238	M₁₆	—	4	4	no	—
239	M₁₆	—	8	2	no	—
240	M₁₆	—	8	2	no	—
241	M₁₆	—	8	2	no	—
242	C₂×C₈	—	2	4	no	—
243	C₂×C₈	—	2	2	no	—
244	C₂×C₈	—	2	2	no	—
245	C₂×C₈	—	2	4	no	—
246	C₂×C₈	—	4	4	no	—
247	C₂×C₈	—	4	4	no	—
248	C₂×C₈	—	4	4	no	—
249	C₂×C₈	—	4	2	no	—
250	C₂×C₈	—	4	2	no	—
251	C₂×C₈	—	4	2	no	—
252	C₂×C₈	—	4	2	no	—
253	C₂×C₈	—	8	2	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
270	C₄²	—	2	8	no	—
271	C₄²	—	4	4	no	—
272	C₄²	—	4	2	no	—
273	C₄²	—	4	2	no	—
274	C₄²	—	4	2	no	—
275	C₄²	—	4	2	no	—
276	C₄²	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
277	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
278	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
279	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
280	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
282	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
284	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
285	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
286	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
287	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
288	C₄²	#123	1	1	yes	characteristic
289	C₄²	#123	1	1	yes	characteristic
290	C₄²	#124	1	1	yes	characteristic
291	C₄²	#127	1	1	yes	characteristic
292	C₂³	—	2	2	no	—
293	C₂³	—	2	2	no	—
294	C₂³	—	4	1	no	—
295	C₂³	#386	1	1	yes	characteristic
296	C₂³	#388	1	1	yes	characteristic
297	C₂³	#388	1	1	yes	characteristic
298	Q₈	—	4	4	no	—
299	Q₈	—	8	2	no	—
300	Q₈	—	8	2	no	—
301	Q₈	—	8	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	1	no	—
312	C₂×C₄	—	2	1	no	—
313	C₂×C₄	—	2	1	no	—
314	C₂×C₄	—	2	1	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	8	no	—
318	C₂×C₄	—	4	1	no	—
319	C₂×C₄	—	4	1	no	—
320	C₂×C₄	—	4	1	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	4	no	—
323	C₂×C₄	—	4	2	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	8	2	no	—
326	C₂×C₄	—	8	2	no	—
327	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	#386	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	#386	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	#388	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	#388	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	#388	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	#388	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	#390	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	#390	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	#390	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#443	1	4	yes	—
340	C₂×C₄	#471	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	#473	1	2	yes	—
342	C₈	—	2	4	no	—
343	C₈	—	4	2	no	—
344	C₈	—	4	4	no	—
345	C₈	—	8	2	no	—
346	C₈	—	8	2	no	—
347	C₈	—	8	2	no	—
348	C₂²	—	2	1	no	—
349	C₂²	—	2	1	no	—
350	C₂²	—	2	1	no	—
351	C₂²	—	2	1	no	—
352	C₂²	—	2	1	no	—
353	C₂²	—	2	1	no	—
354	C₂²	—	2	1	no	—
355	C₂²	—	4	4	no	—
356	C₂²	#1437	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	#1908	1	2	yes	—
358	C₂²	#1937	1	2	yes	—
359	C₄	—	2	1	no	—
360	C₄	—	2	1	no	—
361	C₄	—	2	1	no	—
362	C₄	—	2	1	no	—
363	C₄	—	2	1	no	—
364	C₄	—	2	1	no	—
365	C₄	—	2	1	no	—
366	C₄	—	4	8	no	—
367	C₄	—	8	2	no	—
368	C₄	—	8	2	no	—
369	C₄	#1764	1	2	yes	—
370	C₄	#1906	1	2	yes	—
371	C₄	#1930	1	2	yes	—
372	C₄	#1974	1	2	yes	—
373	C₄	#1977	1	1	yes	characteristic
374	C₄	#1979	1	1	yes	characteristic
375	C₂	—	2	2	no	—
376	C₂	—	2	2	no	—
377	C₂	—	4	1	no	—
378	C₂	#10929	1	1	yes	characteristic
379	C₂	#10942	1	1	yes	characteristic
380	C₂	#10945	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	#390
commutator	C₄²	C₂×C₄²
Frattini, cosocle	C₂²×C₄²	C₂³
socle	C₂²	#1437
prime radical	C₂⁴	#123
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
20. #1549	C₄	semidirect
21. #1546	C₄	semidirect
28. #1493	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₈×#117	2
#17715	2
#17545	2
C₂×#1493	2
#8097	2
#8065	2
#7885	2