Subgroups — #111136

Order 512.

1060 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 392 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20429	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#1545	C₂	1	2	yes	maximal
3	#14272	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1286	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#7906	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
10	C₂×#390	—	2	1	no	—
11	C₂×#390	—	2	1	no	—
12	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#1768	—	2	4	no	—
15	#1728	—	2	1	no	—
16	#1545	—	2	4	no	—
17	#1545	C₄	1	8	yes	complemented
18	C₂×#331	—	2	4	no	—
19	#1438	—	2	2	no	—
20	#1438	C₄	1	4	yes	—
21	#1286	—	2	4	no	—
22	#1280	—	2	2	no	—
23	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
24	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
25	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
26	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
27	C₂×#127	—	2	2	no	—
28	C₂×#127	—	2	2	no	—
29	C₂×#127	—	2	2	no	—
30	C₂×#127	—	2	2	no	—
31	C₂×#127	—	2	2	no	—
32	C₂×#127	C₂×C₄	1	4	yes	—
33	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
34	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
35	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
36	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	#431	—	2	2	no	—
40	#431	—	2	2	no	—
41	#431	—	2	2	no	—
42	#431	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	#423	—	2	2	no	—
44	#423	—	2	2	no	—
45	#423	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	#423	D₄	1	4	yes	—
47	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
50	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
51	C₄×M₁₆	—	4	2	no	—
52	C₄×M₁₆	—	4	2	no	—
53	C₂×#97	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
56	#390	—	4	4	no	—
57	#390	—	4	2	no	—
58	#390	—	4	2	no	—
59	#382	—	2	2	no	—
60	#382	—	2	2	no	—
61	#376	—	2	2	no	—
62	#376	—	2	2	no	—
63	C₂×#95	—	2	1	no	—
64	C₂×#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×#95	D₄	1	2	yes	—
67	#336	—	2	4	no	—
68	#331	—	2	16	no	—
69	C₂⁵	—	2	2	no	—
70	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
71	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
72	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
73	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
74	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
75	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
76	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
77	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
78	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
79	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
80	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
81	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
82	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
83	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
84	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
85	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
86	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
87	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
88	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
89	C₂²×D₄	C₄²	1	4	yes	—
90	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
91	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
97	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
98	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
99	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
100	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
101	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
102	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
103	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
104	#127	—	2	4	no	—
105	#127	—	2	4	no	—
106	#127	—	2	4	no	—
107	#127	—	2	4	no	—
108	#127	—	4	2	no	—
109	#127	—	4	2	no	—
110	#127	—	4	2	no	—
111	#127	—	4	2	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
122	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
123	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
124	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
125	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
126	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
127	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
128	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄²	D₈	1	2	yes	—
131	C₂×C₄²	SD₁₆	1	2	yes	—
132	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
136	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
137	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
138	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
139	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
140	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
141	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
142	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
143	C₄⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	complemented
144	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
145	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
146	#97	—	4	4	no	—
147	C₄×C₈	—	2	4	no	—
148	C₄×C₈	—	4	4	no	—
149	C₄×C₈	—	4	2	no	—
150	#95	—	2	4	no	—
151	#95	—	2	4	no	—
152	#95	—	2	4	no	—
153	#95	—	4	1	no	—
154	#95	—	4	1	no	—
155	C₂⁴	—	2	4	no	—
156	C₂⁴	—	4	4	no	—
157	C₂⁴	—	4	4	no	—
158	C₂⁴	—	4	4	no	—
159	C₂⁴	—	4	4	no	—
160	C₂⁴	—	4	2	no	—
161	C₂⁴	—	4	2	no	—
162	C₂⁴	—	4	2	no	—
163	C₂⁴	—	4	2	no	—
164	C₂⁴	—	4	2	no	—
165	C₂⁴	—	4	2	no	—
166	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂×D₄	—	2	8	no	—
168	C₂×D₄	—	4	4	no	—
169	C₂×D₄	—	4	4	no	—
170	C₂×D₄	—	4	4	no	—
171	C₂×D₄	—	4	4	no	—
172	C₂×D₄	—	4	4	no	—
173	C₂×D₄	—	4	4	no	—
174	C₂×D₄	—	4	4	no	—
175	C₂×D₄	—	4	4	no	—
176	C₂×D₄	—	4	4	no	—
177	C₂×D₄	—	8	8	no	—
178	C₂×D₄	—	8	8	no	—
179	C₂×D₄	—	8	4	no	—
180	C₂×D₄	—	8	8	no	—
181	C₂×D₄	—	8	4	no	—
182	C₂×D₄	—	8	4	no	—
183	C₂×D₄	—	8	8	no	—
184	C₂×D₄	—	8	4	no	—
185	C₂×D₄	—	8	1	no	—
186	C₂×D₄	—	8	1	no	—
187	C₂×D₄	—	8	2	no	—
188	C₂×D₄	—	8	2	no	—
189	C₂×D₄	—	8	2	no	—
190	C₂×D₄	—	8	2	no	—
191	C₂×D₄	—	8	2	no	—
192	C₂×D₄	—	8	1	no	—
193	C₂×D₄	—	8	1	no	—
194	C₂×D₄	—	8	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
211	C₂²×C₄	#102	1	4	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	#124	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	#137	1	1	yes	characteristic
230	M₁₆	—	4	4	no	—
231	M₁₆	—	4	4	no	—
232	M₁₆	—	4	4	no	—
233	M₁₆	—	4	4	no	—
234	C₂×C₈	—	2	8	no	—
235	C₂×C₈	—	4	4	no	—
236	C₂×C₈	—	4	4	no	—
237	C₂×C₈	—	4	4	no	—
238	C₂×C₈	—	8	4	no	—
239	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
240	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
243	C₄²	—	2	2	no	—
244	C₄²	—	2	2	no	—
245	C₄²	—	2	2	no	—
246	C₄²	—	2	2	no	—
247	C₄²	—	4	2	no	—
248	C₄²	—	4	2	no	—
249	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
250	C₄²	#117	1	2	yes	—
251	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
252	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
253	C₄²	#121	1	2	yes	—
254	C₄²	#123	1	2	yes	—
255	C₄²	#124	1	2	yes	—
256	C₄²	#126	1	2	yes	—
257	C₂³	—	2	2	no	—
258	C₂³	—	2	2	no	—
259	C₂³	—	4	8	no	—
260	C₂³	—	4	8	no	—
261	C₂³	—	4	4	no	—
262	C₂³	—	4	4	no	—
263	C₂³	—	4	4	no	—
264	C₂³	—	8	4	no	—
265	C₂³	—	8	4	no	—
266	C₂³	—	8	2	no	—
267	C₂³	—	8	2	no	—
268	C₂³	—	8	2	no	—
269	C₂³	—	8	2	no	—
270	C₂³	—	8	4	no	—
271	C₂³	—	8	4	no	—
272	C₂³	—	8	4	no	—
273	C₂³	—	8	4	no	—
274	C₂³	—	8	4	no	—
275	C₂³	—	8	4	no	—
276	C₂³	—	8	2	no	—
277	C₂³	—	8	2	no	—
278	C₂³	—	8	4	no	—
279	C₂³	—	8	4	no	—
280	C₂³	—	8	2	no	—
281	C₂³	—	8	2	no	—
282	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂³	#386	1	1	yes	characteristic
284	C₂³	#390	1	1	yes	characteristic
285	C₂³	C₂×#102	1	1	yes	characteristic
286	C₂³	#416	1	1	yes	characteristic
287	C₂³	#417	1	1	yes	characteristic
288	C₂³	#418	1	1	yes	characteristic
289	D₄	—	8	8	no	—
290	D₄	—	8	8	no	—
291	D₄	—	8	8	no	—
292	D₄	—	8	8	no	—
293	D₄	—	8	4	no	—
294	D₄	—	8	4	no	—
295	D₄	—	8	4	no	—
296	D₄	—	8	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	4	1	no	—
301	C₂×C₄	—	4	1	no	—
302	C₂×C₄	—	4	2	no	—
303	C₂×C₄	—	4	2	no	—
304	C₂×C₄	—	4	1	no	—
305	C₂×C₄	—	4	1	no	—
306	C₂×C₄	—	4	2	no	—
307	C₂×C₄	—	4	2	no	—
308	C₂×C₄	—	4	4	no	—
309	C₂×C₄	—	4	4	no	—
310	C₂×C₄	—	4	2	no	—
311	C₂×C₄	—	4	2	no	—
312	C₂×C₄	—	4	2	no	—
313	C₂×C₄	—	8	2	no	—
314	C₂×C₄	—	8	2	no	—
315	C₂×C₄	—	8	4	no	—
316	C₂×C₄	—	8	4	no	—
317	C₂×C₄	—	8	2	no	—
318	C₂×C₄	—	8	2	no	—
319	C₂×C₄	—	8	2	no	—
320	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	#388	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	#388	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	#388	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₄×D₈	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	#440	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	#442	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	#447	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	#448	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	#449	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#459	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	#460	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	#463	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#464	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#480	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	#481	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#482	1	2	yes	—
340	C₈	—	4	8	no	—
341	C₈	—	8	4	no	—
342	C₂²	—	2	1	no	—
343	C₂²	—	2	1	no	—
344	C₂²	—	2	1	no	—
345	C₂²	—	2	1	no	—
346	C₂²	—	2	2	no	—
347	C₂²	—	2	2	no	—
348	C₂²	—	2	2	no	—
349	C₂²	—	2	2	no	—
350	C₂²	—	8	8	no	—
351	C₂²	—	8	8	no	—
352	C₂²	—	8	4	no	—
353	C₂²	—	8	4	no	—
354	C₂²	—	8	4	no	—
355	C₂²	—	16	2	no	—
356	C₂²	—	16	2	no	—
357	C₂²	—	16	2	no	—
358	C₂²	—	16	2	no	—
359	C₂²	—	16	4	no	—
360	C₂²	—	16	4	no	—
361	C₂²	#1437	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	C₄×#102	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	#1762	1	1	yes	characteristic
364	C₂²	#1874	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	#1875	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	#1910	1	2	yes	—
367	C₂²	#1914	1	2	yes	—
368	C₂²	#1982	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	#1983	1	1	yes	characteristic
370	C₄	—	2	2	no	—
371	C₄	—	2	2	no	—
372	C₄	—	2	2	no	—
373	C₄	—	2	2	no	—
374	C₄	—	4	4	no	—
375	C₄	—	8	2	no	—
376	C₄	—	16	2	no	—
377	C₄	#1879	1	2	yes	—
378	C₄	#1880	1	2	yes	—
379	C₄	#1925	1	2	yes	—
380	C₄	#1926	1	2	yes	—
381	C₂	—	2	1	no	—
382	C₂	—	2	1	no	—
383	C₂	—	2	1	no	—
384	C₂	—	2	1	no	—
385	C₂	—	16	4	no	—
386	C₂	#9197	1	2	yes	—
387	C₂	#9198	1	2	yes	—
388	C₂	#10931	1	1	yes	characteristic
389	C₂	#10939	1	1	yes	characteristic
390	C₂	#10948	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	#386
commutator	C₂²×C₄	C₂×C₄²
Frattini, cosocle	C₂²×C₄²	C₂³
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20429	C₂	semidirect
4. C₂×#1286	C₂	semidirect
5. #7906	C₂	semidirect
17. #1545	C₄	semidirect
143. C₄⋊C₈	C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20429	2
C₂×#1545	2
#14272	2
C₂×#1286	2
#7906	2