Subgroups — #11324

Order 256.

487 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 198 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#107	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#384	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#340	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#336	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₄⋊#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂³×C₈	C₂²	1	2	yes	—
7	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
8	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#107	—	2	4	no	—
13	C₂×#107	—	2	4	no	—
14	C₂×#107	—	2	4	no	—
15	#384	—	2	4	no	—
16	C₂×#95	—	2	2	no	—
17	#340	—	2	4	no	—
18	#336	C₄	1	4	yes	complemented
19	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
20	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
21	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
22	C₂³×C₄	D₄	1	2	yes	—
23	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
25	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
26	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
27	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
28	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
29	C₂²×C₈	D₄	1	4	yes	—
30	C₂²×C₈	Q₈	1	4	yes	—
31	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
32	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
33	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
34	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
35	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
36	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
37	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
38	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
39	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
40	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
41	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
42	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
43	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
44	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
45	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
46	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
47	C₂×C₄⋊C₄	Q₈	1	2	yes	—
48	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₄²	Q₈	1	2	yes	—
52	#107	—	2	16	no	—
53	#95	—	4	4	no	—
54	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
56	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
57	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
58	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
59	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
60	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
61	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
62	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
63	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
64	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
65	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
66	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
67	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
68	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
69	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
70	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
71	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
72	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
73	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
74	C₂²×C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
75	C₂²×C₄	D₈	1	4	yes	—
76	C₂²×C₄	Q₁₆	1	4	yes	—
77	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₈	—	2	4	no	—
88	C₂×C₈	—	2	4	no	—
89	C₂×C₈	—	2	4	no	—
90	C₂×C₈	—	2	4	no	—
91	C₂×C₈	—	2	4	no	—
92	C₂×C₈	—	2	4	no	—
93	C₂×C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	complemented
94	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
95	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
96	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
97	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
98	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
99	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
100	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
101	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
102	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
103	C₄²	—	2	4	no	—
104	C₄²	—	2	4	no	—
105	C₂³	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂³	#120	1	1	yes	characteristic
107	C₂³	#121	1	1	yes	characteristic
108	C₂³	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
109	C₂³	#123	1	1	yes	characteristic
110	C₂³	#127	1	1	yes	characteristic
111	C₂³	C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
112	C₂³	C₂×D₈	1	2	yes	—
113	C₂³	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
114	C₂³	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
115	C₂³	#137	1	2	yes	—
116	C₂×C₄	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄	—	2	4	no	—
120	C₂×C₄	—	2	4	no	—
121	C₂×C₄	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄	—	4	2	no	—
123	C₂×C₄	—	4	4	no	—
124	C₂×C₄	—	4	2	no	—
125	C₂×C₄	—	4	8	no	—
126	C₂×C₄	—	4	4	no	—
127	C₂×C₄	—	4	4	no	—
128	C₂×C₄	—	8	2	no	—
129	C₂×C₄	—	8	4	no	—
130	C₂×C₄	—	8	2	no	—
131	C₂×C₄	—	8	1	no	—
132	C₂×C₄	—	8	1	no	—
133	C₂×C₄	—	8	2	no	—
134	C₂×C₄	—	8	2	no	—
135	C₂×C₄	—	8	1	no	—
136	C₂×C₄	—	8	1	no	—
137	C₂×C₄	#107	1	8	yes	complemented
138	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
139	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₄	C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
143	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
144	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
145	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
146	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
147	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
148	C₂×C₄	#123	1	2	yes	—
149	C₂×C₄	#125	1	2	yes	—
150	C₂×C₄	#125	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
152	C₂×C₄	C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
154	C₈	—	2	8	no	—
155	C₂²	#384	1	1	yes	characteristic
156	C₂²	#385	1	1	yes	characteristic
157	C₂²	#389	1	1	yes	characteristic
158	C₂²	#392	1	1	yes	characteristic
159	C₂²	#395	1	1	yes	characteristic
160	C₂²	#398	1	1	yes	characteristic
161	C₂²	#399	1	1	yes	characteristic
162	C₂²	C₂×#107	1	2	yes	—
163	C₂²	#428	1	2	yes	—
164	C₂²	#447	1	2	yes	—
165	C₂²	#451	1	2	yes	—
166	C₂²	#459	1	2	yes	—
167	C₂²	#462	1	2	yes	—
168	C₂²	#474	1	2	yes	—
169	C₂²	#477	1	2	yes	—
170	C₂²	#480	1	2	yes	—
171	C₂²	#484	1	2	yes	—
172	C₂²	#493	1	1	yes	characteristic
173	C₂²	#494	1	1	yes	characteristic
174	C₂²	#496	1	1	yes	characteristic
175	C₂²	#497	1	1	yes	characteristic
176	C₂²	#500	1	2	yes	—
177	C₂²	#501	1	2	yes	—
178	C₄	—	2	8	no	—
179	C₄	—	8	2	no	—
180	C₄	—	8	4	no	—
181	C₄	—	8	2	no	—
182	C₄	#385	1	2	yes	—
183	C₄	#389	1	2	yes	—
184	C₄	#395	1	2	yes	—
185	C₄	#398	1	2	yes	—
186	C₂	#1444	1	1	yes	characteristic
187	C₂	#1845	1	1	yes	characteristic
188	C₂	#1847	1	1	yes	characteristic
189	C₂	#1852	1	2	yes	—
190	C₂	#1947	1	2	yes	—
191	C₂	#2011	1	1	yes	characteristic
192	C₂	#2016	1	1	yes	characteristic
193	C₂	#2057	1	2	yes	—
194	C₂	#2083	1	2	yes	—
195	C₂	#2093	1	1	yes	characteristic
196	C₂	#2095	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂⁴	C₂×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂²×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
18. #336	C₄	semidirect
93. C₂×C₈	C₄⋊C₄	semidirect
137. C₂×C₄	#107	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#107	2
C₂×#384	2
C₂×#340	2
C₂×#336	2
C₄⋊#95	2