Subgroups — #116539

Order 512.

924 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 355 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#1955	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20799	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20732	C₂	1	2	yes	maximal
4	#7893	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1275	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂×#427	—	2	2	no	—
9	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
11	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#2285	C₂²	1	2	yes	—
13	#1955	—	2	2	no	—
14	#1955	C₄	1	4	yes	complemented
15	#1847	—	2	4	no	—
16	#1823	—	2	2	no	—
17	#1802	—	2	4	no	—
18	#1786	—	2	2	no	—
19	C₄×#102	—	2	4	no	—
20	#1279	—	2	4	no	—
21	#1275	—	2	2	no	—
22	C₂³×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
23	C₂⁴×C₄	—	2	1	no	—
24	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
25	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
27	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
28	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
29	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
30	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
31	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
32	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
33	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	2	yes	—
34	C₂×#117	—	2	2	no	—
35	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
37	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	#431	—	2	2	no	—
39	#431	—	2	2	no	—
40	#431	—	2	2	no	—
41	#431	—	2	2	no	—
42	#427	—	4	4	no	—
43	#427	—	4	4	no	—
44	C₂×#107	—	2	4	no	—
45	C₂×#106	—	2	4	no	—
46	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
50	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×#102	—	2	8	no	—
52	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
53	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
54	C₂×C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
55	C₂×C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
56	C₂×#97	—	2	2	no	—
57	C₂×#97	—	2	2	no	—
58	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
61	#384	D₄	1	4	yes	—
62	#382	—	2	2	no	—
63	#380	—	2	2	no	—
64	#380	—	2	2	no	—
65	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
66	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
67	#340	—	2	8	no	—
68	C₂⁵	—	2	1	no	—
69	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
70	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
71	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
72	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
73	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
74	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
75	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
76	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
77	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
78	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
79	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
80	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
81	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
82	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
83	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
84	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
85	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
89	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
90	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
91	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
92	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
93	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
94	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
95	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
96	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
97	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
98	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
99	C₂²×C₈	D₈	1	4	yes	—
100	C₂²×C₈	SD₁₆	1	4	yes	—
101	C₄×D₄	—	2	4	no	—
102	C₄×D₄	—	2	4	no	—
103	C₄×D₄	—	2	4	no	—
104	C₄×D₄	—	2	4	no	—
105	C₄×D₄	—	4	2	no	—
106	C₄×D₄	—	4	2	no	—
107	C₄×D₄	—	4	2	no	—
108	C₄×D₄	—	4	2	no	—
109	#117	—	4	4	no	—
110	#117	—	4	4	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
123	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
124	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
127	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
130	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
131	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
132	#107	—	4	8	no	—
133	#106	—	4	8	no	—
134	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
135	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
136	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
137	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
138	#102	—	4	16	no	—
139	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
140	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
141	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
142	#97	—	2	4	no	—
143	#97	—	2	4	no	—
144	C₄×C₈	—	2	4	no	—
145	C₄×C₈	—	2	4	no	—
146	#95	—	4	2	no	—
147	#95	—	4	2	no	—
148	C₂⁴	—	2	4	no	—
149	C₂⁴	—	2	2	no	—
150	C₂⁴	—	4	2	no	—
151	C₂⁴	—	4	4	no	—
152	C₂⁴	—	4	1	no	—
153	C₂⁴	—	4	1	no	—
154	C₂⁴	—	4	2	no	—
155	C₂⁴	—	4	2	no	—
156	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
157	C₂×D₄	—	2	8	no	—
158	C₂×D₄	—	2	4	no	—
159	C₂×D₄	—	4	4	no	—
160	C₂×D₄	—	4	4	no	—
161	C₂×D₄	—	4	8	no	—
162	C₂×D₄	—	4	4	no	—
163	C₂×D₄	—	4	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
168	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
169	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
170	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
171	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
172	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
187	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
188	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
189	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
190	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	#124	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×C₄	#126	1	2	yes	—
203	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	#137	1	2	yes	—
208	C₂×C₈	—	2	4	no	—
209	C₂×C₈	—	2	4	no	—
210	C₂×C₈	—	2	4	no	—
211	C₂×C₈	—	2	4	no	—
212	C₂×C₈	—	2	4	no	—
213	C₂×C₈	—	2	4	no	—
214	C₂×C₈	—	4	8	no	—
215	C₂×C₈	—	4	2	no	—
216	C₂×C₈	—	4	4	no	—
217	C₂×C₈	—	4	4	no	—
218	C₂×C₈	—	8	2	no	—
219	C₂×C₈	—	8	1	no	—
220	C₂×C₈	—	8	1	no	—
221	C₂×C₈	#102	1	8	yes	complemented
222	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
223	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
224	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
225	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
226	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
227	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
230	C₄²	—	8	2	no	—
231	C₄²	—	8	2	no	—
232	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
233	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
234	C₄²	#121	1	2	yes	—
235	C₄²	#121	1	2	yes	—
236	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
237	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
238	C₄²	#123	1	2	yes	—
239	C₄²	#124	1	2	yes	—
240	C₂³	—	2	2	no	—
241	C₂³	—	2	2	no	—
242	C₂³	—	2	4	no	—
243	C₂³	—	4	2	no	—
244	C₂³	—	4	4	no	—
245	C₂³	—	4	8	no	—
246	C₂³	—	4	8	no	—
247	C₂³	—	4	4	no	—
248	C₂³	—	4	4	no	—
249	C₂³	—	4	2	no	—
250	C₂³	—	4	4	no	—
251	C₂³	—	8	4	no	—
252	C₂³	—	8	4	no	—
253	C₂³	—	8	2	no	—
254	C₂³	—	8	2	no	—
255	C₂³	—	8	1	no	—
256	C₂³	—	8	1	no	—
257	C₂³	—	8	2	no	—
258	C₂³	#380	1	1	yes	characteristic
259	C₂³	#392	1	1	yes	characteristic
260	C₂³	#397	1	1	yes	characteristic
261	C₂³	#459	1	2	yes	—
262	C₂³	#461	1	2	yes	—
263	D₄	—	2	8	no	—
264	D₄	—	4	8	no	—
265	D₄	—	4	4	no	—
266	C₂×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂×C₄	—	4	1	no	—
269	C₂×C₄	—	4	1	no	—
270	C₂×C₄	—	4	1	no	—
271	C₂×C₄	—	4	1	no	—
272	C₂×C₄	—	4	2	no	—
273	C₂×C₄	—	4	2	no	—
274	C₂×C₄	—	4	4	no	—
275	C₂×C₄	—	4	2	no	—
276	C₂×C₄	—	8	2	no	—
277	C₂×C₄	—	8	1	no	—
278	C₂×C₄	—	8	1	no	—
279	C₂×C₄	—	8	2	no	—
280	C₂×C₄	—	8	2	no	—
281	C₂×C₄	—	8	4	no	—
282	C₂×C₄	—	8	2	no	—
283	C₂×C₄	—	8	2	no	—
284	C₂×C₄	—	8	4	no	—
285	C₂×C₄	—	8	4	no	—
286	C₂×C₄	—	8	4	no	—
287	C₂×C₄	—	8	4	no	—
288	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	#386	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₄	#388	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	#390	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	#393	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	#396	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	#399	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	C₂×#102	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	#417	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	#447	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	#448	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	#474	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	#476	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	#480	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	#481	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	#486	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	#489	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	#492	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	#493	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	#496	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	#497	1	1	yes	characteristic
310	C₈	—	2	8	no	—
311	C₈	—	8	4	no	—
312	C₈	—	8	2	no	—
313	C₂²	—	2	4	no	—
314	C₂²	—	2	4	no	—
315	C₂²	—	2	1	no	—
316	C₂²	—	2	1	no	—
317	C₂²	—	2	1	no	—
318	C₂²	—	2	1	no	—
319	C₂²	—	4	8	no	—
320	C₂²	—	4	4	no	—
321	C₂²	—	8	4	no	—
322	C₂²	—	8	8	no	—
323	C₂²	—	8	2	no	—
324	C₂²	—	8	4	no	—
325	C₂²	—	8	4	no	—
326	C₂²	—	8	2	no	—
327	C₂²	#1439	1	1	yes	characteristic
328	C₂²	#1802	1	2	yes	—
329	C₂²	#2010	1	2	yes	—
330	C₂²	#2011	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	#2013	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	#2017	1	2	yes	—
333	C₂²	#2071	1	2	yes	—
334	C₄	—	2	2	no	—
335	C₄	—	2	2	no	—
336	C₄	—	2	2	no	—
337	C₄	—	2	2	no	—
338	C₄	—	8	2	no	—
339	C₄	—	16	4	no	—
340	C₄	#1874	1	2	yes	—
341	C₄	#1957	1	1	yes	characteristic
342	C₄	#1959	1	1	yes	characteristic
343	C₄	#2023	1	2	yes	—
344	C₄	#2093	1	1	yes	characteristic
345	C₄	#2094	1	1	yes	characteristic
346	C₂	—	2	2	no	—
347	C₂	—	2	2	no	—
348	C₂	—	8	4	no	—
349	C₂	#10032	1	2	yes	—
350	C₂	#10036	1	2	yes	—
351	C₂	#11049	1	1	yes	characteristic
352	C₂	#11100	1	1	yes	characteristic
353	C₂	#11111	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	#127
commutator	C₂×C₄²	C₂²×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄²	C₂³
socle	C₂³	#392
prime radical	C₂³×D₄	D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20799	C₂	semidirect
4. #7893	C₂	semidirect
5. C₂×#1275	C₂	semidirect
14. #1955	C₄	semidirect
221. C₂×C₈	#102	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#1955	2
#20799	2
#20732	2
#7893	2
C₂×#1275	2