Subgroups — #116551

Order 512.

752 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 346 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21187	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1835	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#1517	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1286	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#7872	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#408	—	2	1	no	—
10	C₂×#408	—	2	1	no	—
11	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
13	#1954	—	2	2	no	—
14	#1954	C₄	1	4	yes	complemented
15	#1835	—	2	4	no	—
16	C₂×#340	—	2	1	no	—
17	C₂×#340	—	2	1	no	—
18	#1517	—	2	4	no	—
19	#1517	—	2	4	no	—
20	C₂×#327	—	2	4	no	—
21	#1286	—	2	4	no	—
22	#1277	—	2	2	no	—
23	C₂²×#41	—	2	1	no	—
24	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
25	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
26	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
27	#532	—	2	2	no	—
28	#532	—	2	2	no	—
29	#532	—	2	2	no	—
30	#532	—	2	2	no	—
31	C₂×C₄⋊Q₈	Q₈	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#127	Q₈	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#124	—	2	1	no	—
34	C₂×#121	—	2	1	no	—
35	C₂×#121	D₄	1	2	yes	—
36	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
37	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
39	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	#431	—	2	2	no	—
41	#431	—	2	2	no	—
42	#431	—	2	2	no	—
43	#431	D₄	1	4	yes	—
44	#423	—	2	2	no	—
45	#423	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
48	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	#408	—	4	4	no	—
50	#408	—	4	4	no	—
51	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
52	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
53	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
59	#382	—	2	2	no	—
60	#382	—	2	2	no	—
61	#382	—	2	2	no	—
62	#382	D₄	1	4	yes	—
63	C₂×#95	—	2	2	no	—
64	C₂×#95	—	2	2	no	—
65	#340	—	2	4	no	—
66	#340	—	2	4	no	—
67	#327	—	2	16	no	—
68	C₂×#41	—	4	1	no	—
69	C₂×#41	—	4	1	no	—
70	C₂×#41	—	4	1	no	—
71	C₂×#41	—	4	1	no	—
72	C₂×#41	—	4	2	no	—
73	C₂×#41	—	4	2	no	—
74	C₂×#41	—	4	2	no	—
75	C₂×#41	—	4	2	no	—
76	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
77	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
78	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
79	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
80	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
81	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
82	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
83	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
86	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
87	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
88	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
89	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
90	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
91	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
92	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
93	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
94	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
95	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
96	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
97	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
98	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
99	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
100	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
101	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
102	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
103	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
104	#127	—	2	2	no	—
105	#127	—	2	2	no	—
106	#124	—	4	2	no	—
107	#124	—	4	2	no	—
108	#121	—	2	4	no	—
109	#121	—	2	4	no	—
110	#121	—	4	2	no	—
111	#121	—	4	2	no	—
112	C₄×D₄	—	2	4	no	—
113	C₄×D₄	—	2	4	no	—
114	C₄×D₄	—	4	2	no	—
115	C₄×D₄	—	4	2	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
132	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
133	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
134	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
135	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
136	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
137	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
138	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
139	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
140	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
141	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
142	C₄×C₈	—	2	4	no	—
143	C₄×C₈	—	2	4	no	—
144	C₄×C₈	—	2	4	no	—
145	C₄×C₈	—	4	2	no	—
146	#95	—	2	4	no	—
147	#95	—	2	4	no	—
148	#95	—	4	2	no	—
149	#95	—	4	2	no	—
150	C₂⁴	—	2	2	no	—
151	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
152	#41	—	8	2	no	—
153	#41	—	8	2	no	—
154	#41	—	8	2	no	—
155	#41	—	8	2	no	—
156	#41	—	8	2	no	—
157	#41	—	8	2	no	—
158	#41	—	8	2	no	—
159	#41	—	8	2	no	—
160	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
161	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
162	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
163	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
164	C₂×D₄	—	2	4	no	—
165	C₂×D₄	—	4	4	no	—
166	C₂×D₄	—	4	4	no	—
167	C₂×D₄	—	4	2	no	—
168	C₂×D₄	—	4	2	no	—
169	C₂×D₄	—	4	4	no	—
170	C₂×D₄	—	4	4	no	—
171	C₂×D₄	—	4	1	no	—
172	C₂×D₄	—	4	2	no	—
173	C₂×D₄	—	4	1	no	—
174	C₂×D₄	—	4	2	no	—
175	C₂×D₄	—	4	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
190	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	#124	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×C₄	#126	1	2	yes	—
203	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
208	M₁₆	—	8	2	no	—
209	M₁₆	—	8	2	no	—
210	C₂×C₈	—	2	2	no	—
211	C₂×C₈	—	2	2	no	—
212	C₂×C₈	—	2	2	no	—
213	C₂×C₈	—	2	2	no	—
214	C₂×C₈	—	2	2	no	—
215	C₂×C₈	—	2	2	no	—
216	C₂×C₈	—	4	2	no	—
217	C₂×C₈	—	4	2	no	—
218	C₂×C₈	—	4	2	no	—
219	C₂×C₈	—	4	2	no	—
220	C₂×C₈	—	4	2	no	—
221	C₂×C₈	—	4	4	no	—
222	C₂×C₈	—	4	2	no	—
223	C₂×C₈	—	4	2	no	—
224	C₂×C₈	—	8	4	no	—
225	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
226	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
227	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
228	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
229	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
230	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
231	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
232	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
233	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
234	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
235	C₄²	#121	1	2	yes	—
236	C₄²	#121	1	2	yes	—
237	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
238	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
239	C₄²	#123	1	2	yes	—
240	C₄²	#124	1	2	yes	—
241	C₂³	—	2	2	no	—
242	C₂³	—	2	2	no	—
243	C₂³	—	4	2	no	—
244	C₂³	—	4	2	no	—
245	C₂³	—	4	4	no	—
246	C₂³	—	4	4	no	—
247	C₂³	—	4	2	no	—
248	C₂³	#380	1	1	yes	characteristic
249	C₂³	#392	1	1	yes	characteristic
250	C₂³	#397	1	1	yes	characteristic
251	C₂³	#463	1	2	yes	—
252	C₂³	#463	1	2	yes	—
253	Q₈	—	8	2	no	—
254	Q₈	—	8	2	no	—
255	D₄	—	8	4	no	—
256	D₄	—	8	4	no	—
257	D₄	—	8	4	no	—
258	D₄	—	8	4	no	—
259	D₄	—	8	2	no	—
260	D₄	—	8	2	no	—
261	C₂×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	4	2	no	—
266	C₂×C₄	—	4	2	no	—
267	C₂×C₄	—	4	2	no	—
268	C₂×C₄	—	4	2	no	—
269	C₂×C₄	—	4	2	no	—
270	C₂×C₄	—	4	2	no	—
271	C₂×C₄	—	4	2	no	—
272	C₂×C₄	—	8	2	no	—
273	C₂×C₄	—	8	2	no	—
274	C₂×C₄	—	8	2	no	—
275	C₂×C₄	—	8	2	no	—
276	C₂×C₄	—	8	4	no	—
277	C₂×C₄	—	8	4	no	—
278	C₂×C₄	—	8	4	no	—
279	C₂×C₄	—	16	4	no	—
280	C₂×C₄	—	16	4	no	—
281	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
282	C₂×C₄	#386	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	#388	1	2	yes	—
284	C₂×C₄	#390	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₄	#393	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	#396	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	#399	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₄	#416	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₄	#416	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₄	#418	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	#418	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₄	#449	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	#449	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	#478	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	#478	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	#482	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	#482	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	#488	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	#490	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	#495	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	#496	1	2	yes	—
303	C₈	—	4	2	no	—
304	C₈	—	4	2	no	—
305	C₈	—	8	4	no	—
306	C₈	—	8	2	no	—
307	C₂²	—	2	1	no	—
308	C₂²	—	2	1	no	—
309	C₂²	—	2	1	no	—
310	C₂²	—	2	1	no	—
311	C₂²	—	2	4	no	—
312	C₂²	—	2	4	no	—
313	C₂²	—	8	2	no	—
314	C₂²	—	8	2	no	—
315	C₂²	—	8	2	no	—
316	C₂²	—	8	4	no	—
317	C₂²	—	8	4	no	—
318	C₂²	#1439	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	#1804	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	#1804	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	#1812	1	2	yes	—
322	C₂²	#1814	1	2	yes	—
323	C₂²	#2012	1	2	yes	—
324	C₂²	#2073	1	2	yes	—
325	C₄	—	2	2	no	—
326	C₄	—	2	2	no	—
327	C₄	—	2	2	no	—
328	C₄	—	2	2	no	—
329	C₄	—	8	2	no	—
330	C₄	—	16	4	no	—
331	C₄	#1875	1	1	yes	characteristic
332	C₄	#1875	1	1	yes	characteristic
333	C₄	#1958	1	1	yes	characteristic
334	C₄	#1961	1	1	yes	characteristic
335	C₄	#2025	1	2	yes	—
336	C₄	#2092	1	2	yes	—
337	C₂	—	2	2	no	—
338	C₂	—	2	2	no	—
339	C₂	—	16	2	no	—
340	C₂	#8678	1	2	yes	—
341	C₂	#8680	1	2	yes	—
342	C₂	#11051	1	1	yes	characteristic
343	C₂	#11098	1	1	yes	characteristic
344	C₂	#11104	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	#380
commutator	C₂×C₄²	C₂²×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄²	C₂³
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1835	C₂	semidirect
4. C₂×#1286	C₂	semidirect
5. #7872	C₂	semidirect
14. #1954	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21187	2
C₂×#1835	2
C₂×#1517	2
C₂×#1286	2
#7872	2