Subgroups — #117103

Order 512.

794 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 308 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21195	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1837	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#1492	C₂	1	2	yes	maximal
4	#7897	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1273	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂×#416	—	2	2	no	—
9	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#1958	—	2	2	no	—
13	#1957	C₄	1	2	yes	—
14	#1956	C₄	1	2	yes	—
15	#1837	—	2	4	no	—
16	C₂×#341	—	2	2	no	—
17	#1492	—	2	4	no	—
18	#1492	—	2	4	no	—
19	C₂×D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
20	#1279	—	2	4	no	—
21	#1273	—	2	2	no	—
22	C₂²×#41	—	2	1	no	—
23	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
24	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
25	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
26	#532	—	2	2	no	—
27	#532	—	2	2	no	—
28	#532	—	2	1	no	—
29	#532	—	2	1	no	—
30	#532	D₄	1	2	yes	—
31	#532	Q₈	1	2	yes	—
32	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#124	—	2	1	no	—
35	C₂×#121	—	2	2	no	—
36	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
37	C₂×#117	—	2	1	no	—
38	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	#423	—	2	2	no	—
40	#423	—	2	2	no	—
41	#423	—	2	2	no	—
42	#423	D₄	1	4	yes	—
43	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
45	#416	—	4	8	no	—
46	C₂×#103	—	2	4	no	—
47	C₂×#102	—	2	4	no	—
48	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
57	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
58	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	#382	—	2	1	no	—
60	#380	—	2	2	no	—
61	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
62	#341	—	2	8	no	—
63	D₄⋊C₈	—	2	16	no	—
64	C₂×#41	—	2	2	no	—
65	C₂×#41	—	2	2	no	—
66	C₂×#41	—	4	1	no	—
67	C₂×#41	—	4	1	no	—
68	C₂×#41	—	4	4	no	—
69	C₂×#41	—	4	4	no	—
70	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
71	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
72	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
73	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
74	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
75	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
77	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
78	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
79	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
80	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
81	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
82	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
83	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
84	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
85	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
86	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
87	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
88	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
89	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
90	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
91	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
92	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
93	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
94	C₄⋊Q₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
95	#127	—	2	1	no	—
96	#127	—	2	2	no	—
97	#127	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
98	#124	—	2	2	no	—
99	#124	—	2	2	no	—
100	#124	—	4	2	no	—
101	#121	—	2	4	no	—
102	#121	—	2	4	no	—
103	#121	—	4	2	no	—
104	#121	—	4	2	no	—
105	C₄×D₄	—	2	4	no	—
106	C₄×D₄	—	2	4	no	—
107	C₄×D₄	—	4	2	no	—
108	C₄×D₄	—	4	2	no	—
109	#117	—	4	4	no	—
110	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
116	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
117	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
121	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
126	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
127	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
128	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
129	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
130	#103	—	4	8	no	—
131	#102	—	4	8	no	—
132	C₄×C₈	—	2	4	no	—
133	C₄×C₈	—	2	4	no	—
134	C₄×C₈	—	2	4	no	—
135	C₄×C₈	—	2	4	no	—
136	C₄×C₈	—	4	2	no	—
137	C₄×C₈	—	4	2	no	—
138	#95	—	4	2	no	—
139	C₂⁴	—	4	1	no	—
140	C₂⁴	#124	1	1	yes	characteristic
141	#41	—	4	8	no	—
142	#41	—	4	8	no	—
143	#41	—	8	4	no	—
144	#41	—	8	4	no	—
145	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
146	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
147	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
148	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
149	C₂×D₄	—	2	2	no	—
150	C₂×D₄	—	2	4	no	—
151	C₂×D₄	—	4	2	no	—
152	C₂×D₄	—	4	2	no	—
153	C₂×D₄	—	4	1	no	—
154	C₂×D₄	—	4	2	no	—
155	C₂×D₄	—	4	2	no	—
156	C₂×D₄	—	4	2	no	—
157	C₂×D₄	—	4	4	no	—
158	C₂×D₄	—	4	4	no	—
159	C₂×D₄	—	8	2	no	—
160	C₂×D₄	—	8	2	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
163	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
164	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
165	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
169	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
171	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
172	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
173	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
174	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
176	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
177	C₂²×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
178	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
179	C₂²×C₄	#126	1	2	yes	—
180	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
181	C₂²×C₄	#135	1	4	yes	—
182	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
183	M₁₆	—	4	8	no	—
184	M₁₆	—	8	4	no	—
185	C₂×C₈	—	2	8	no	—
186	C₂×C₈	—	2	4	no	—
187	C₂×C₈	—	2	4	no	—
188	C₂×C₈	—	2	4	no	—
189	C₂×C₈	—	4	4	no	—
190	C₂×C₈	—	4	8	no	—
191	C₂×C₈	—	4	8	no	—
192	C₂×C₈	—	4	4	no	—
193	C₂×C₈	—	4	4	no	—
194	C₂×C₈	—	4	4	no	—
195	C₂×C₈	—	4	4	no	—
196	C₂×C₈	—	8	2	no	—
197	C₂×C₈	—	8	2	no	—
198	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
199	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
200	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
201	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
202	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
203	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
204	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
205	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
206	C₄²	—	8	2	no	—
207	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
208	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
209	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
210	C₄²	#120	1	2	yes	—
211	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
212	C₄²	#121	1	2	yes	—
213	C₄²	#121	1	2	yes	—
214	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
215	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
216	C₄²	#123	1	2	yes	—
217	C₂³	—	2	2	no	—
218	C₂³	—	2	2	no	—
219	C₂³	—	4	2	no	—
220	C₂³	—	8	1	no	—
221	C₂³	—	8	1	no	—
222	C₂³	—	8	2	no	—
223	C₂³	—	8	2	no	—
224	C₂³	#390	1	1	yes	characteristic
225	C₂³	#393	1	1	yes	characteristic
226	C₂³	#397	1	1	yes	characteristic
227	C₂³	#488	1	2	yes	—
228	C₂³	#490	1	2	yes	—
229	Q₈	—	4	4	no	—
230	Q₈	—	8	2	no	—
231	D₄	—	4	4	no	—
232	D₄	—	4	8	no	—
233	D₄	—	8	4	no	—
234	D₄	—	8	4	no	—
235	D₄	—	8	2	no	—
236	D₄	—	8	4	no	—
237	C₂×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂×C₄	—	4	2	no	—
244	C₂×C₄	—	8	1	no	—
245	C₂×C₄	—	8	1	no	—
246	C₂×C₄	—	8	4	no	—
247	C₂×C₄	—	8	4	no	—
248	C₂×C₄	—	8	2	no	—
249	C₂×C₄	—	8	2	no	—
250	C₂×C₄	—	8	2	no	—
251	C₂×C₄	#380	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
253	C₂×C₄	#386	1	1	yes	characteristic
254	C₂×C₄	#388	1	2	yes	—
255	C₂×C₄	#392	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
257	C₂×C₄	#396	1	2	yes	—
258	C₂×C₄	#399	1	1	yes	characteristic
259	C₂×C₄	#416	1	2	yes	—
260	C₂×C₄	#418	1	2	yes	—
261	C₂×C₄	#443	1	4	yes	—
262	C₂×C₄	#444	1	4	yes	—
263	C₂×C₄	#449	1	4	yes	—
264	C₂×C₄	#463	1	4	yes	—
265	C₂×C₄	#478	1	4	yes	—
266	C₂×C₄	#482	1	4	yes	—
267	C₂×C₄	#495	1	2	yes	—
268	C₂×C₄	#496	1	2	yes	—
269	C₈	—	4	8	no	—
270	C₈	—	4	4	no	—
271	C₈	—	8	4	no	—
272	C₂²	—	2	2	no	—
273	C₂²	—	2	2	no	—
274	C₂²	—	2	2	no	—
275	C₂²	—	2	4	no	—
276	C₂²	—	2	2	no	—
277	C₂²	—	8	2	no	—
278	C₂²	—	8	4	no	—
279	C₂²	—	16	1	no	—
280	C₂²	—	16	2	no	—
281	C₂²	—	16	1	no	—
282	C₂²	#1439	1	1	yes	characteristic
283	C₂²	#1958	1	1	yes	characteristic
284	C₂²	#1961	1	1	yes	characteristic
285	C₂²	#1974	1	2	yes	—
286	C₂²	#1975	1	2	yes	—
287	C₂²	#2025	1	2	yes	—
288	C₂²	#2073	1	2	yes	—
289	C₄	—	2	2	no	—
290	C₄	—	2	2	no	—
291	C₄	—	8	2	no	—
292	C₄	—	16	2	no	—
293	C₄	#1804	1	2	yes	—
294	C₄	#1866	1	4	yes	—
295	C₄	#1875	1	2	yes	—
296	C₄	#1929	1	4	yes	—
297	C₄	#2012	1	2	yes	—
298	C₄	#2092	1	2	yes	—
299	C₂	—	2	2	no	—
300	C₂	—	2	2	no	—
301	C₂	—	16	2	no	—
302	C₂	#9857	1	1	yes	characteristic
303	C₂	#9860	1	2	yes	—
304	C₂	#9863	1	1	yes	characteristic
305	C₂	#11051	1	1	yes	characteristic
306	C₂	#11125	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	#127
commutator	C₂×C₄²	C₂²×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄²	C₂³
socle	C₂³	#390
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1837	C₂	semidirect
4. #7897	C₂	semidirect
5. C₂×#1273	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21195	2
C₂×#1837	2
C₂×#1492	2
#7897	2
C₂×#1273	2