Subgroups — #120082

Order 512.

530 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 369 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21979	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20819	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#10840	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1300	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1299	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#8013	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#7900	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂×#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#2283	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#1940	—	2	1	no	—
16	#1940	—	2	1	no	—
17	#1851	—	2	2	no	—
18	#1847	C₄	1	2	yes	complemented
19	#1843	—	2	1	no	—
20	#1836	C₄	1	2	yes	complemented
21	#1832	—	2	1	no	—
22	#1809	—	2	2	no	—
23	C₄×#107	—	2	1	no	—
24	C₄×#106	—	2	1	no	—
25	C₂×#339	—	2	2	no	—
26	#1300	—	2	2	no	—
27	#1299	—	2	2	no	—
28	#1294	—	2	2	no	—
29	#1279	—	2	1	no	—
30	#1279	—	2	1	no	—
31	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
32	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
33	C₂×#117	—	2	1	no	—
34	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
35	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	#432	—	2	1	no	—
37	#432	—	2	1	no	—
38	#432	—	2	1	no	—
39	#432	—	2	1	no	—
40	#431	—	2	1	no	—
41	#431	—	2	1	no	—
42	#431	—	2	1	no	—
43	#431	Q₈	1	2	yes	—
44	C₂×#107	—	2	2	no	—
45	C₂×#106	—	2	2	no	—
46	#423	—	2	1	no	—
47	#423	—	2	1	no	—
48	#423	—	2	1	no	—
49	#423	—	2	1	no	—
50	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
51	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
52	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
53	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
58	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
59	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
60	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
61	C₄×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
62	C₄×M₁₆	Q₈	1	2	yes	—
63	C₂×#97	—	2	1	no	—
64	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
67	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
68	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	#383	—	2	1	no	—
70	#382	—	2	1	no	—
71	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	#381	—	2	1	no	—
73	#380	—	2	1	no	—
74	#380	—	2	1	no	—
75	#380	D₄	1	2	yes	—
76	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
77	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
78	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
81	#376	—	2	1	no	—
82	#376	—	2	1	no	—
83	#376	—	2	1	no	—
84	#376	—	2	1	no	—
85	#376	Q₈	1	2	yes	—
86	C₂×#95	—	2	1	no	—
87	C₂×#95	—	2	1	no	—
88	#340	—	2	2	no	—
89	#340	—	2	2	no	—
90	#339	—	4	4	no	—
91	#336	—	2	2	no	—
92	#336	—	2	2	no	—
93	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
94	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
97	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
98	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
99	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
100	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
101	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
102	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
103	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
109	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
110	#117	—	4	2	no	—
111	#117	—	4	2	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
119	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
123	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
124	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
125	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
126	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
127	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
128	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
140	#107	—	4	4	no	—
141	#106	—	4	4	no	—
142	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
143	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
144	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
145	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
146	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
147	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
148	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
149	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
150	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
151	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
152	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
153	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
154	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
155	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
156	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
157	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
158	#97	—	2	1	no	—
159	#97	—	2	1	no	—
160	#97	—	4	1	no	—
161	#97	—	4	1	no	—
162	#97	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
163	#97	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
164	C₄×C₈	—	2	2	no	—
165	C₄×C₈	—	2	2	no	—
166	C₄×C₈	—	2	2	no	—
167	C₄×C₈	—	4	1	no	—
168	#95	—	2	2	no	—
169	#95	—	2	2	no	—
170	#95	—	2	2	no	—
171	#95	—	2	1	no	—
172	#95	—	2	1	no	—
173	#95	—	2	2	no	—
174	#95	—	2	2	no	—
175	#95	—	4	1	no	—
176	#95	—	4	1	no	—
177	#95	—	4	1	no	—
178	#95	—	4	1	no	—
179	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
194	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	#125	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	#125	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	#126	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
212	M₁₆	—	4	4	no	—
213	M₁₆	—	4	4	no	—
214	M₁₆	—	4	4	no	—
215	M₁₆	—	8	2	no	—
216	C₂×C₈	—	2	4	no	—
217	C₂×C₈	—	2	2	no	—
218	C₂×C₈	—	2	2	no	—
219	C₂×C₈	—	4	2	no	—
220	C₂×C₈	—	4	1	no	—
221	C₂×C₈	—	4	1	no	—
222	C₂×C₈	—	4	2	no	—
223	C₂×C₈	—	4	2	no	—
224	C₂×C₈	—	4	1	no	—
225	C₂×C₈	—	4	2	no	—
226	C₂×C₈	—	4	1	no	—
227	C₂×C₈	—	4	1	no	—
228	C₂×C₈	—	4	2	no	—
229	C₂×C₈	—	4	1	no	—
230	C₂×C₈	—	8	2	no	—
231	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
233	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
234	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
239	C₄²	—	2	4	no	—
240	C₄²	—	4	2	no	—
241	C₄²	—	4	2	no	—
242	C₄²	—	4	2	no	—
243	C₄²	—	4	1	no	—
244	C₄²	—	4	1	no	—
245	C₄²	—	4	1	no	—
246	C₄²	—	4	1	no	—
247	C₄²	—	8	1	no	—
248	C₄²	—	8	1	no	—
249	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
250	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
251	C₄²	C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
252	C₄²	C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
253	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
254	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
255	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
256	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
257	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
258	C₄²	#123	1	1	yes	characteristic
259	C₄²	#124	1	1	yes	characteristic
260	C₄²	#125	1	1	yes	characteristic
261	C₄²	#125	1	1	yes	characteristic
262	C₄²	#126	1	1	yes	characteristic
263	C₄²	C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
264	C₄²	C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
265	C₂³	—	2	2	no	—
266	C₂³	—	2	1	no	—
267	C₂³	—	2	1	no	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	#386	1	1	yes	characteristic
270	C₂³	#396	1	1	yes	characteristic
271	C₂³	#398	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	1	no	—
275	C₂×C₄	—	2	1	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	1	no	—
279	C₂×C₄	—	2	1	no	—
280	C₂×C₄	—	2	1	no	—
281	C₂×C₄	—	2	1	no	—
282	C₂×C₄	—	2	1	no	—
283	C₂×C₄	—	2	1	no	—
284	C₂×C₄	—	2	1	no	—
285	C₂×C₄	—	2	1	no	—
286	C₂×C₄	—	4	1	no	—
287	C₂×C₄	—	4	1	no	—
288	C₂×C₄	—	4	1	no	—
289	C₂×C₄	—	4	1	no	—
290	C₂×C₄	—	4	1	no	—
291	C₂×C₄	—	4	1	no	—
292	C₂×C₄	—	4	1	no	—
293	C₂×C₄	—	4	1	no	—
294	C₂×C₄	—	4	4	no	—
295	C₂×C₄	—	4	2	no	—
296	C₂×C₄	—	4	2	no	—
297	C₂×C₄	—	4	2	no	—
298	C₂×C₄	—	4	2	no	—
299	C₂×C₄	—	4	2	no	—
300	C₂×C₄	—	4	2	no	—
301	C₂×C₄	—	8	2	no	—
302	C₂×C₄	—	8	2	no	—
303	C₂×C₄	—	8	4	no	—
304	C₂×C₄	—	8	4	no	—
305	C₂×C₄	—	8	2	no	—
306	C₂×C₄	—	8	2	no	—
307	C₂×C₄	—	8	2	no	—
308	C₂×C₄	#380	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	#387	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	#387	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	#389	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	#389	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	#391	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	#394	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	#395	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	#396	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	#398	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	#398	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	#400	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	#453	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	#454	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	#455	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	#456	1	1	yes	characteristic
324	C₈	—	2	4	no	—
325	C₈	—	4	2	no	—
326	C₈	—	8	2	no	—
327	C₈	—	8	1	no	—
328	C₈	—	8	2	no	—
329	C₈	—	8	1	no	—
330	C₂²	—	2	1	no	—
331	C₂²	—	2	1	no	—
332	C₂²	—	2	1	no	—
333	C₂²	—	2	1	no	—
334	C₂²	—	2	1	no	—
335	C₂²	—	2	1	no	—
336	C₂²	—	4	2	no	—
337	C₂²	—	4	2	no	—
338	C₂²	#1441	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	#1881	1	2	yes	—
340	C₂²	#1882	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	#1883	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	#1884	1	2	yes	—
343	C₄	—	2	1	no	—
344	C₄	—	2	1	no	—
345	C₄	—	2	1	no	—
346	C₄	—	2	1	no	—
347	C₄	—	2	1	no	—
348	C₄	—	2	1	no	—
349	C₄	—	2	1	no	—
350	C₄	—	2	1	no	—
351	C₄	—	2	1	no	—
352	C₄	—	2	1	no	—
353	C₄	—	8	4	no	—
354	C₄	—	8	2	no	—
355	C₄	—	8	2	no	—
356	C₄	—	16	2	no	—
357	C₄	#2037	1	1	yes	characteristic
358	C₄	#2038	1	1	yes	characteristic
359	C₄	#2060	1	1	yes	characteristic
360	C₄	#2061	1	1	yes	characteristic
361	C₂	—	4	1	no	—
362	C₂	—	4	1	no	—
363	C₂	#8997	1	2	yes	—
364	C₂	#8998	1	2	yes	—
365	C₂	#11212	1	1	yes	characteristic
366	C₂	#11217	1	1	yes	characteristic
367	C₂	#11218	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	#120
commutator	C₂×C₄²	C₂²×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄²	C₂³
socle	C₂³	#386
prime radical	C₂⁴	#121
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
18. #1847	C₄	semidirect
20. #1836	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21979	2
#20819	2
#10840	2
C₂×#1300	2
C₂×#1299	2
#8013	2
#7900	2