Group #120318 — subgroups

Subgroups — #120318

Order 512.

494 conjugacy classes of subgroups; only the 134 normal subgroups are shown.

normal subgroups only

This group has 494 conjugacy classes of subgroups — too many to draw. Only its 134 normal subgroups are shown.

Dotted edges: containments with no intermediate normal subgroup — omitted non-normal subgroups may lie between.

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21970	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20806	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1309	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#8063	C₂	1	2	yes	maximal
5	#8004	C₂	1	2	yes	maximal
6	#2920	C₂²	1	2	yes	—
7	C₂×#430	—	2	2	no	—
8	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#1950	—	2	4	no	—
13	#1849	C₄	1	4	yes	—
14	#1848	—	2	2	no	—
15	#1811	—	2	2	no	—
16	#1309	—	2	2	no	—
17	#1299	—	2	4	no	—
18	#1292	—	2	4	no	—
19	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
20	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
21	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
22	C₂²×M₁₆	Q₈	1	4	yes	—
23	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
24	#432	—	2	2	no	—
25	#432	—	2	2	no	—
26	#431	—	2	2	no	—
27	#431	—	2	2	no	—
28	#430	—	4	8	no	—
29	C₂×#108	—	2	8	no	—
30	C₂×#108	—	2	4	no	—
31	#423	—	2	2	no	—
32	#423	—	2	2	no	—
33	#423	—	2	2	no	—
34	#423	—	2	2	no	—
35	#423	—	2	1	no	—
36	#423	—	2	2	no	—
37	#423	—	2	2	no	—
38	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	#423	D₄	1	4	yes	—
41	#423	D₄	1	2	yes	—
42	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
46	#407	—	2	2	no	—
47	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
48	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
49	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
50	C₄×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
51	C₄×M₁₆	Q₈	1	2	yes	—
52	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
54	#341	—	2	4	no	—
55	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
57	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
58	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
59	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
60	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
61	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
62	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
63	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
64	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
65	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
66	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
67	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
68	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
69	C₂×M₁₆	—	8	4	no	—
70	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
71	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
72	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
73	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
74	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
75	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
78	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
83	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
84	#108	—	4	16	no	—
85	#108	—	8	4	no	—
86	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
87	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
88	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
89	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
90	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
91	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
92	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
93	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
94	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
95	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
96	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
97	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
98	#97	—	2	2	no	—
99	#97	—	4	2	no	—
100	#97	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
101	C₄×C₈	—	2	2	no	—
102	C₄×C₈	—	2	2	no	—
103	C₄×C₈	—	4	2	no	—
104	C₂⁴	C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
108	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
109	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
111	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
112	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
115	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
116	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
117	C₂²×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₄	#124	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×C₄	#125	1	2	yes	—
120	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
121	M₁₆	—	2	8	no	—
122	M₁₆	—	2	8	no	—
123	M₁₆	—	4	4	no	—
124	M₁₆	—	4	4	no	—
125	M₁₆	—	4	4	no	—
126	M₁₆	—	4	4	no	—
127	M₁₆	—	8	2	no	—
128	M₁₆	—	8	2	no	—
129	M₁₆	—	8	4	no	—
130	M₁₆	—	8	4	no	—
131	C₂×C₈	—	2	4	no	—
132	C₂×C₈	—	2	4	no	—
133	C₂×C₈	—	2	4	no	—
134	C₂×C₈	—	2	4	no	—
135	C₂×C₈	—	4	4	no	—
136	C₂×C₈	—	4	2	no	—
137	C₂×C₈	—	4	4	no	—
138	C₂×C₈	—	4	4	no	—
139	C₂×C₈	—	8	2	no	—
140	C₂×C₈	—	8	4	no	—
141	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
142	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
143	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
144	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
145	C₄²	#121	1	2	yes	—
146	C₄²	#121	1	2	yes	—
147	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
148	C₄²	#123	1	2	yes	—
149	C₄²	#125	1	2	yes	—
150	C₄²	#126	1	2	yes	—
151	C₂³	—	2	2	no	—
152	C₂³	—	4	2	no	—
153	C₂³	#391	1	1	yes	characteristic
154	C₂³	#395	1	1	yes	characteristic
155	C₂³	#398	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄	—	2	1	no	—
164	C₂×C₄	—	2	1	no	—
165	C₂×C₄	—	2	1	no	—
166	C₂×C₄	—	2	1	no	—
167	C₂×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄	—	4	2	no	—
170	C₂×C₄	—	4	2	no	—
171	C₂×C₄	—	4	2	no	—
172	C₂×C₄	#380	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄	#386	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄	#387	1	2	yes	—
175	C₂×C₄	#389	1	2	yes	—
176	C₂×C₄	#394	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄	#396	1	2	yes	—
178	C₂×C₄	#398	1	2	yes	—
179	C₂×C₄	#400	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₄	#453	1	2	yes	—
181	C₂×C₄	#456	1	2	yes	—
182	C₈	—	2	8	no	—
183	C₈	—	4	4	no	—
184	C₈	—	8	4	no	—
185	C₈	—	8	2	no	—
186	C₈	—	8	4	no	—
187	C₂²	—	2	2	no	—
188	C₂²	—	2	1	no	—
189	C₂²	—	2	1	no	—
190	C₂²	—	2	2	no	—
191	C₂²	—	2	2	no	—
192	C₂²	—	8	2	no	—
193	C₂²	#1441	1	1	yes	characteristic
194	C₂²	#2060	1	2	yes	—
195	C₄	—	2	1	no	—
196	C₄	—	2	1	no	—
197	C₄	—	2	2	no	—
198	C₄	—	2	2	no	—
199	C₄	—	2	2	no	—
200	C₄	#1886	1	1	yes	characteristic
201	C₄	#1887	1	1	yes	characteristic
202	C₄	#2039	1	2	yes	—
203	C₄	#2069	1	2	yes	—
204	C₄	#2070	1	2	yes	—
205	C₂	—	2	2	no	—
206	C₂	—	4	1	no	—
207	C₂	—	4	1	no	—
208	C₂	#11210	1	1	yes	characteristic
209	C₂	#11252	1	2	yes	—

subgroup

G/H

class size

multiplicity

normal?

properties

#21970

C₂

yes

maximal, characteristic

#20806

C₂

yes

maximal, characteristic

C₂×#1309

C₂

yes

maximal, characteristic

#8063

C₂

yes

maximal

#8004

C₂

yes

maximal

#2920

C₂²

yes

—

C₂×#430

—

C₂×#423

C₂²

yes

characteristic

C₂×#423

C₂²

yes

characteristic

C₂×#423

C₂²

yes

—

C₂×C₄×M₁₆

C₂²

yes

characteristic

#1950

—

#1849

C₄

yes

—

—

—

—

—

—

C₂²×M₁₆

—

C₂²×M₁₆

—

C₂²×M₁₆

D₄

yes

—

C₂²×M₁₆

Q₈

yes

—

C₂²×C₄²

C₂³

yes

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

C₂×C₄

yes

—

#423

C₂×C₄

yes

—

#423

D₄

yes

—

#423

D₄

yes

—

C₂×C₄⋊C₈

—

C₂×C₄⋊C₈

—

C₂×C₄⋊C₈

—

C₂×C₄⋊C₈

—

#407

—

C₄×M₁₆

—

C₄×M₁₆

—

C₄×M₁₆

—

C₄×M₁₆

D₄

yes

—

C₄×M₁₆

Q₈

yes

—

C₂×#97

C₂×C₄

yes

—

C₂×C₄×C₈

—

#341

—

C₂³×C₄

C₂×D₄

yes

characteristic

C₂³×C₄

C₂×Q₈

yes

—

C₂×M₁₆

—

C₂×M₁₆

—

C₂×M₁₆

—

C₂×M₁₆

—

C₂×M₁₆

—

C₂×M₁₆

—

C₂×M₁₆

—

C₂×M₁₆

—

C₂×M₁₆

—

C₂×M₁₆

—

C₂×M₁₆

—

C₂×M₁₆

—

C₂×M₁₆

—

C₂×M₁₆

C₂²⋊C₄

yes

—

C₂²×C₈

—

C₂²×C₈

—

C₂²×C₈

—

C₂²×C₈

—

C₂×C₄²

C₂²×C₄

yes

characteristic

C₂×C₄²

C₂×D₄

yes

characteristic

C₂×C₄²

C₂×D₄

yes

—

C₂×C₄²

C₂×D₄

yes

characteristic

C₂×C₄²

C₂×Q₈

yes

C₂×C₄²

yes

C₂×C₄²

yes

C₂×C₄²

yes

—

C₂×C₄²

#41

yes

—

#108

—

#108

—

C₄⋊C₈

—

C₄⋊C₈

—

C₄⋊C₈

—

C₄⋊C₈

—

C₄⋊C₈

—

C₄⋊C₈

—

C₄⋊C₈

—

C₄⋊C₈

—

C₄⋊C₈

—

C₄⋊C₈

—

C₂²⋊C₈

—

C₂²⋊C₈

—

#97

—

#97

—

100

#97

C₄⋊C₄

yes

—

101

C₄×C₈

—

102

C₄×C₈

—

103

C₄×C₈

—

104

C₂⁴

C₄⋊Q₈

yes

characteristic

105

C₂²×C₄

—

106

C₂²×C₄

—

107

C₂²×C₄

—

108

C₂²×C₄

—

109

C₂²×C₄

C₂×C₂²⋊C₄

yes

characteristic

110

C₂²×C₄

C₄×Q₈

yes

—

111

C₂²×C₄

#120

yes

characteristic

112

C₂²×C₄

#121

yes

characteristic

113

C₂²×C₄

C₂²⋊Q₈

yes

characteristic

114

C₂²×C₄

C₂²⋊Q₈

yes

—

115

C₂²×C₄

C₂²⋊Q₈

yes

—

116

C₂²×C₄

C₂²⋊Q₈

yes

—

117

C₂²×C₄

#123

yes

characteristic

118

C₂²×C₄

#124

yes

characteristic

119

C₂²×C₄

#125

yes

—

120

C₂²×C₄

C₄⋊Q₈

yes

—

121

M₁₆

—

122

M₁₆

—

123

M₁₆

—

124

M₁₆

—

125

M₁₆

—

126

M₁₆

—

127

M₁₆

—

128

M₁₆

—

129

M₁₆

—

130

M₁₆

—

131

C₂×C₈

—

132

C₂×C₈

—

133

C₂×C₈

—

134

C₂×C₈

—

135

C₂×C₈

—

136

C₂×C₈

—

137

C₂×C₈

—

138

C₂×C₈

—

139

C₂×C₈

—

140

C₂×C₈

—

141

C₄²

C₂×C₄⋊C₄

yes

characteristic

142

C₄²

#117

yes

characteristic

143

C₄²

C₄×D₄

yes

—

144

C₄²

#121

yes

characteristic

145

C₄²

#121

yes

—

146

C₄²

#121

yes

—

147

C₄²

C₂²⋊Q₈

yes

characteristic

148

C₄²

#123

yes

—

149

C₄²

#125

yes

—

150

C₄²

#126

yes

—

151

C₂³

—

152

C₂³

—

153

C₂³

#391

yes

characteristic

154

C₂³

#395

yes

characteristic

155

C₂³

#398

yes

characteristic

156

C₂×C₄

—

157

C₂×C₄

—

158

C₂×C₄

—

159

C₂×C₄

—

160

C₂×C₄

—

161

C₂×C₄

—

162

C₂×C₄

—

163

C₂×C₄

—

164

C₂×C₄

—

165

C₂×C₄

—

166

C₂×C₄

—

167

C₂×C₄

—

168

C₂×C₄

—

169

C₂×C₄

—

170

C₂×C₄

—

171

C₂×C₄

—

172

C₂×C₄

#380

yes

characteristic

173

C₂×C₄

#386

yes

characteristic

174

C₂×C₄

#387

yes

—

175

C₂×C₄

#389

yes

—

176

C₂×C₄

#394

yes

characteristic

177

C₂×C₄

#396

yes

—

178

C₂×C₄

#398

yes

—

179

C₂×C₄

#400

yes

characteristic

180

C₂×C₄

#453

yes

—

181

C₂×C₄

#456

yes

—

182

C₈

—

183

C₈

—

184

C₈

—

185

C₈

—

186

C₈

—

187

C₂²

—

188

C₂²

—

189

C₂²

—

190

C₂²

—

191

C₂²

—

192

C₂²

—

193

C₂²

#1441

yes

characteristic

194

C₂²

#2060

yes

—

195

C₄

—

196

C₄

—

197

C₄

—

198

C₄

—

199

C₄

—

200

C₄

#1886

yes

characteristic

201

C₄

#1887

yes

characteristic

202

C₄

#2039

yes

—

203

C₄

#2069

yes

—

204

C₄

#2070

yes

—

205

C₂

—

206

C₂

—

207

C₂

—

208

C₂

#11210

yes

characteristic

209

C₂

#11252

yes

—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	#1441
commutator	C₂×C₄²	C₂²×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄²	C₂³
prime radical	C₂⁴	C₄⋊Q₈
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

subgroup

G/H

center, socle

C₂²

#1441

commutator

C₂×C₄²

C₂²×C₄

Frattini, cosocle

C₂²×C₄²

C₂³

prime radical

C₂⁴

C₄⋊Q₈

LCS

G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

UCS

C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄² ◁ G

LECS

G ▷ C₂²×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21970	2
#20806	2
C₂×#1309	2
#8063	2
#8004	2

subgroup

index

Subgroups — #120318

Conjugacy classes of subgroups

Maximal subgroups