Subgroups — #121412

Order 512.

580 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 263 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#1565	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂²×#334	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₄×#341	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1283	C₂	1	2	yes	maximal
5	#7849	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#341	C₄	1	2	yes	—
12	C₂×#341	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#341	C₄	1	1	yes	characteristic
14	#1565	—	2	4	no	—
15	#1565	—	2	4	no	—
16	C₂×#335	—	2	2	no	—
17	C₂×#334	—	2	4	no	—
18	C₂×#334	—	2	2	no	—
19	C₂×#334	—	2	2	no	—
20	#1283	—	2	4	no	—
21	#1273	—	2	2	no	—
22	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
23	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
24	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
25	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
26	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
27	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
28	#431	—	2	2	no	—
29	#431	—	2	2	no	—
30	#431	—	2	2	no	—
31	#431	—	2	2	no	—
32	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
33	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
34	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
35	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
36	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
37	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
38	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
39	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
40	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
41	C₂×C₂²⋊C₈	Q₈	1	2	yes	—
42	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
43	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
44	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
45	C₄×M₁₆	Q₈	1	4	yes	—
46	C₂×#97	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
51	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
52	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄×C₈	Q₈	1	2	yes	—
54	#341	—	2	4	no	—
55	#341	—	2	2	no	—
56	#341	C₈	1	4	yes	complemented
57	#335	—	2	8	no	—
58	#334	—	2	8	no	—
59	#334	—	2	8	no	—
60	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
62	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
63	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
64	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
65	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
66	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
67	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
68	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
69	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
70	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
71	C₂×M₁₆	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
72	C₂×M₁₆	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
73	C₂×M₁₆	C₂×C₈	1	4	yes	—
74	C₂×M₁₆	M₁₆	1	4	yes	—
75	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
76	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
77	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
78	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
79	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
80	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
81	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
82	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
83	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
84	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
85	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
86	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
87	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
88	C₂²×C₈	—	8	4	no	—
89	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
90	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
91	C₂²×C₈	C₂×C₈	1	2	yes	—
92	C₂²×C₈	M₁₆	1	2	yes	—
93	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
94	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
96	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
99	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
100	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
101	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
102	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
103	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
104	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
105	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
106	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
107	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
108	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
109	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
110	#97	—	2	4	no	—
111	#97	—	2	4	no	—
112	C₄×C₈	—	2	2	no	—
113	C₄×C₈	—	2	4	no	—
114	C₄×C₈	—	2	4	no	—
115	C₄×C₈	—	2	4	no	—
116	C₄×C₈	—	2	2	no	—
117	C₄×C₈	—	4	1	no	—
118	C₄×C₈	—	4	1	no	—
119	C₄×C₈	—	4	1	no	—
120	C₄×C₈	—	4	1	no	—
121	C₂⁴	C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
122	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
123	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
124	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
126	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
128	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
129	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
132	C₂²×C₄	#125	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₄	#125	1	2	yes	—
134	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
136	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
138	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₄	#131	1	2	yes	—
140	C₂²×C₄	#131	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₄	#131	1	1	yes	characteristic
142	M₁₆	—	2	4	no	—
143	M₁₆	—	2	4	no	—
144	M₁₆	—	2	4	no	—
145	M₁₆	—	2	4	no	—
146	M₁₆	—	2	4	no	—
147	M₁₆	—	4	2	no	—
148	M₁₆	—	4	2	no	—
149	M₁₆	C₄⋊C₈	1	8	yes	—
150	C₂×C₈	—	2	2	no	—
151	C₂×C₈	—	2	4	no	—
152	C₂×C₈	—	2	2	no	—
153	C₂×C₈	—	2	4	no	—
154	C₂×C₈	—	2	4	no	—
155	C₂×C₈	—	2	4	no	—
156	C₂×C₈	—	2	4	no	—
157	C₂×C₈	—	2	2	no	—
158	C₂×C₈	—	2	4	no	—
159	C₂×C₈	—	2	2	no	—
160	C₂×C₈	—	2	2	no	—
161	C₂×C₈	—	4	2	no	—
162	C₂×C₈	—	4	2	no	—
163	C₂×C₈	—	4	2	no	—
164	C₂×C₈	—	4	2	no	—
165	C₂×C₈	—	4	4	no	—
166	C₂×C₈	—	4	2	no	—
167	C₂×C₈	—	4	4	no	—
168	C₂×C₈	—	4	2	no	—
169	C₂×C₈	—	4	4	no	—
170	C₂×C₈	—	8	4	no	—
171	C₂×C₈	—	8	4	no	—
172	C₂×C₈	—	8	4	no	—
173	C₂×C₈	C₄⋊C₈	1	4	yes	—
174	C₄²	#120	1	1	yes	characteristic
175	C₄²	#120	1	2	yes	—
176	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
177	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
178	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
179	C₄²	#123	1	1	yes	characteristic
180	C₄²	#123	1	2	yes	—
181	C₄²	#127	1	1	yes	characteristic
182	C₄²	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
183	C₄²	C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
184	C₂³	—	2	2	no	—
185	C₂³	—	2	2	no	—
186	C₂³	#389	1	2	yes	—
187	C₂³	#389	1	1	yes	characteristic
188	C₂³	C₈×Q₈	1	1	yes	characteristic
189	C₂³	#446	1	1	yes	characteristic
190	C₂³	#446	1	2	yes	—
191	C₂×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂×C₄	—	4	2	no	—
198	C₂×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂×C₄	#384	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₄	#385	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
202	C₂×C₄	#392	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₄	#395	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₄	#395	1	2	yes	—
205	C₂×C₄	#398	1	2	yes	—
206	C₂×C₄	#398	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₄	#399	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	2	yes	—
210	C₂×C₄	#423	1	1	yes	characteristic
211	C₂×C₄	#423	1	2	yes	—
212	C₂×C₄	#424	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₄	#424	1	2	yes	—
214	C₂×C₄	#424	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₄	#424	1	2	yes	—
216	C₂×C₄	C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂×C₄	C₈×D₄	1	2	yes	—
218	C₂×C₄	#435	1	2	yes	—
219	C₂×C₄	#435	1	2	yes	—
220	C₂×C₄	#435	1	2	yes	—
221	C₂×C₄	#436	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₄	#436	1	2	yes	—
223	C₂×C₄	#471	1	4	yes	—
224	C₈	—	2	4	no	—
225	C₈	—	2	8	no	—
226	C₈	—	4	2	no	—
227	C₈	—	4	4	no	—
228	C₈	—	8	2	no	—
229	C₈	—	8	2	no	—
230	C₈	—	8	4	no	—
231	C₂²	—	2	2	no	—
232	C₂²	—	2	2	no	—
233	C₂²	—	2	2	no	—
234	C₂²	—	2	2	no	—
235	C₂²	—	2	4	no	—
236	C₂²	#1444	1	1	yes	characteristic
237	C₂²	#1939	1	2	yes	—
238	C₂²	#1939	1	1	yes	characteristic
239	C₂²	#1940	1	2	yes	—
240	C₂²	#1940	1	1	yes	characteristic
241	C₂²	#1951	1	2	yes	—
242	C₂²	#1953	1	2	yes	—
243	C₄	—	2	2	no	—
244	C₄	—	2	1	no	—
245	C₄	—	2	1	no	—
246	C₄	—	2	2	no	—
247	C₄	#1842	1	1	yes	characteristic
248	C₄	#1843	1	1	yes	characteristic
249	C₄	#1850	1	1	yes	characteristic
250	C₄	#1850	1	2	yes	—
251	C₄	#1851	1	1	yes	characteristic
252	C₄	#1851	1	2	yes	—
253	C₄	#2019	1	2	yes	—
254	C₄	#2090	1	2	yes	—
255	C₂	—	2	2	no	—
256	C₂	—	2	2	no	—
257	C₂	#9607	1	2	yes	—
258	C₂	#9609	1	2	yes	—
259	C₂	#11322	1	1	yes	characteristic
260	C₂	#11330	1	1	yes	characteristic
261	C₂	#11332	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	#121
commutator	C₂²×C₄	C₂²×C₈
Frattini, cosocle	C₂²×C₄²	C₂³
socle	C₂³	#389
prime radical	C₂⁴	C₄×Q₈
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
56. #341	C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#1565	2
C₂²×#334	2
C₄×#341	2
C₂×#1283	2
#7849	2